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高中数学择要练习教师版

时间:2014-07-25


高中数学知识择要练习--教师版 jkm 【练习 1】 、若 P(2,-1)为圆 ( x ?1)2 ? y2 ? 25 的弦 AB 的中点,则 直线 AB 的方程是( A、 x ? y ? 3 ? 0 )

B、 2 x ? y ? 3 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0 D、 2 x ? y ? 5 ? 0

(提示:画出圆和过点 P 的直线,再看四条直线的斜率,即可知 选 A)
?x ? y ? 2 ? 0 ? 【练习 2】 、 (07 辽宁)已知变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 1 , ?x ? y ? 7 ? 0 ?

则 的取值范围是(
? A、 ? , 6? ? ?5 ? 9
y x

y x

) C、 ? ??,3? ?6, ??? D、 ?3,6?

9? B、 ? ? ??, ? ? 6, ?? ? ? 5?

(提示:把 看作可行域内的点与原点所在直线的斜率,不难求得答 案 ,选 A。 )

【练习 3】 、曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 ( x ? ? ?2, 2?) 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个公共点时,
k 的取值范围是(



A、 (0,

5 ) 12 5 C、 ( , ?? ) 12

B、 ( , )

1 1 4 3 5 3 D、 ( , ) 12 4

(提示:事实上不难看出,曲线方程 y ? 1 ? 4 ? x 2 ( x ? ? ?2, 2?) 的图 象为 x2 ? ( y ?1)2 ? 4(?2 ? x ? 2,1 ? y ? 3) ,表示以(1,0)为圆心,2 为半 径的上半圆,如图。直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 过定点(2,4) ,那么斜率的范

围就清楚了,选 D)] 【练习 4】 、函数 y ?| x | (1 ? x) 在区间 A 上是增函数,则区间 A 是( A、 ?? ?,0? C、 ?0,???
1? B、 ? ?0, ? ? 2?



? D、 ? ? ,?? ? 1 ?2 ?

(提示:作出该函数的图象如右,知应该选 B) 【练习 7】 、 (06 湖南理 10)若圆 x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有三个 不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角 ? 的取值 范围是( ) A、 ? ?
, ?12 4 ? ?

? ??

B、 ? ? ,

?12 12 ? ?

? 5? ?

? C、 ? , ? ? ?6 3?

? ?

?? D、 ? ?0, ?
? 2?

(提示:数形结合,先画出圆的图形。圆方程化为
( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? (3 2)2 ,由题意知,圆心到直线

的距离 d 应该满足 0 ? d ? 2 ,在已知圆中画一个半 径为 2 的同心圆, 则过原点的直线 l : ax ? by ? 0 与小圆有公共点, ∴选 B。 ) 【练习 8】 、 (07 浙江文 10)若非零向量 a,b 满足|a-b|=| b |, 则( ) A、|2b| > | a-2b | C、|2a| > | 2a-b | B、|2b| < | a-2b | D、|2a| < | 2a-b |

(提示:关键是要画出向量 a,b 的关系图,为此

先把条件进行等价转换。|a-b|=| b | ? |a-b|2= | b |2 ? a2+b2-2a·b= b2 ? a· (a-2b)=0 ? a⊥(a-2b) ,又 a-(a-2b)=2b,所以|a|,| a-2b |, |2b|为边长构成直角三角形,|2b|为斜边,如上图, ∴|2b| > | a-2b |,选 A。 另外也可以这样解:先构造等腰△OAB,使 OB=AB, 再构造 R△OAC,如下图,因为 OC>AC,所以选 A。 )

【练习 9】 、方程 cosx=lgx 的实根的个数是( A、1 B、2 C、3 D、4



(提示:在同一坐标系中分别画出函数 cosx 与 lgx 的图象,如 图,

由两个函数图象的交点的个数为 3,知应选 C)

【练习 10】 、(06 江苏 7)若 A、B、C 为三个集合, A B ? B C ,则一

定有( ) A、 A ? C B、 C ? A C、 A ? C D、 A ? ?

(提示:若 A ? B ? C ? ? ,则 A B ? A, B C ? B ? A 成立,排除 C、D 选项,作出 Venn 图,可知 A 成立)

【练习 11】 、(07 天津理 7)在 R 上定义的函数 f ( x) 是偶函数,且
f ( x) ? f (2 ? x) 。若 f ( x) 在区间[1,2]上是减函数,则 f ( x) (



A、在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B、在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C、在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D、在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数 (提示:数形结合法, f ( x) 是抽象函数,因此画出其简单图象即 可得出结论,如下左图知选 B)

【练习 12】 、 (07 山东文 11 改编)方程 x 3 ? ( ) x ? 2 的解 x0 的取值区间 是( ) A、 (0,1) B、 (1,2) C、 (2,3) D、 (3,4)
1 2

1 2

(提示: 数形结合, 在同一坐标系中作出函数 y ? x3 , y ? ( ) x ?2 的图

象,则立刻知选 B,如上右图) 【例题】 、 (93 年全国高考)在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, 若 a5a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? log3 a10 ? ( A、12 B、10 C、8 ) D、 2 ? log3 5

【解析】 、思路一(小题大做) :由条件有 9 ? a5a6 ? a1q4 a1q5 ? a12q9 , 从 而
a1 a2 a3
10 a10 ? a1 q1?2? ?9

? (a12q9 )5 ? 310 ,

所以原式= log3 (a1a2

a10 ) ? log3 310 ? 10 ,选 B。

思路二(小题小做) : 由 9 ? a5 a6 ? a4 a7 ? a3 a8? a2 a9 原式 ? a1知 a1 0 = log3 (a5a6 )5 ? log3 310 ? 3 ,选 B。 思路三(小题巧做) :因为答案唯一,故取一个满足条件的特殊数 列 a5 ? a6 ? 3, q ? 1 即可,选 B。 【练习 3】 、 (06 全国 1 理 9) 设平面向量 a1、 a2、 a3 的和 a1+a2+a3=0, 如果平面向量 b1、b2、b3 满足| bi|=2| ai |,且 ai 顺时针旋转 30 以后 与 bi 同向,其中 i=1、2、3 则( A、-b1+b2+b3=0 B、b1-b2+b3=0 ) C、b1+b2-b3=0 D、b1+b2+b3=0

(提示:因为 a1+a2+a3=0,所以 a1、a2、a3 构成封闭三角形,不妨 设其为正三角形,则 bi 实际上是将三角形顺时针旋转 30 后再将其各 边延长 2 倍,仍为封闭三角形,故选 D。 ) 【练习 5】 、 若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数, 则 y ? f (2 x) 的对称轴是 ( A、 x ? 0 B、 x ? 1 C、 x ?
1 2



D、 x ? 2

( 提 示 : 因 为 若 函 数 y ? f ( x ? 1) 是 偶 函 数 , 作 一 个 特 殊 函 数

( x) 则 y ?f 2 y ? ( x ? 1)2 ,

变为 y ? (2x ?1)2 , 即知 y ? f (2 x) 的对称轴是 x ? ,

1 2

选 C) 【练习 6】 、已知数列{an}的通项公式为 an=2n-1,其前 n 和为 Sn,那 么 Cn1S1+ Cn2S2+?+ CnnSn=( A、2n-3n B、3n -2n ) C、5n -2n D、3n -4n

(提示:愚蠢的解法是:先根据通项公式 an=2n-1 求得和的公式 Sn,再代入式子 Cn1S1+ Cn2S2+?+ CnnSn,再利用二项式展开式的逆用裂 项求和得解,有些书上就是这么做的!其实这既然是小题,就应该按 照小题的解思路来求做:令 n=2,代入式子,再对照选项,选 B) 【练习 7】 、 (06 辽宁理 10)直线 y ? 2k 与曲线 9k 2 x2 ? y2 ? 18k 2 x ( k ? R, k ? 1 )的公共点的个数是( A、1 B、2 C、3 ) D、4
y2 ? 1 ,这是两个椭圆,与直线 9

(提示:取 k ? 1 ,原方程变为 ( x ? 1)2 ?
y ? 2 有 4 个公共点,选 D)

【练习 8】 、如图左,若 D、E、F 分别是 三棱锥 S-ABC 的侧棱 SA、SB、SC 上的点, 且 SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1,那么平 面 DEF 截三棱锥 S-ABC 所得的上下两部分 的体积之比为( A、4:31 C、4:23 ) B、6:23 D、2:25

(提示:特殊化处理,不妨设三棱锥 S-ABC 是棱长为 3 的正三棱

锥,K 是 FC 的中点, V1 ,V2 V1 ,V2 分别表示上下两部分的体积 则
VS ? DEF SS ? DEF 2h 2 2 2 8 V 8?4 4 ,? 1 ? ,选 C) ? ? ?( ) ? ? V2 27 ? 8 ? 4 23 VS ? ABC SS ? ABC 3h 3 3 27

【练习 9】 、△ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,
OH ? m(OA ? OB ? OC) ,则 m 的取值是(

) D、2

A、-1

B、1

C、-2

(提示:特殊化处理,不妨设△ABC 为直角三角形,则圆心 O 在斜 边中点处,此时有 OH ? OA ? OB ? OC , m ? 1 ,选 B。 ) 【练习 1】 、 (06 安徽理 6)将函数 y ? sin ? x(? 0) 的图象按向量 a= (? , 0) 平移以后的图象如图所示,则
6

?

平移以后的图象所对应的函数解析式是( A、 y ? sin( x ? )
6


7? 12

?

B、 y ? sin( x ? )
6

?

C、 y ? sin(2 x ? )
3

?

D、 y ? sin(2 x ? )
3

?

(提示:若选 A 或 B,则周期为 2? ,与图象所示周期不符;若选 D,则与 “按向量 a= (? , 0) 平移” 不符,选 C。此题属于容易题)
6

?

【练习 2】 、 (06 重庆理 9)如图,单位圆中 AB 的 长度为 x , f ( x) 表示 AB 与弦 AB 所围成的弓形的面的 2 倍,则函数 y ? f ( x) 的图象是(
2? 2?


2? 2?

? ?
2?

?
? 2?

? ?
2?

? ?
2?

A、 D、

B、

C、

(提示:解法 1 设 ?AOB ? ? ,则 x ? ? , 则 S 弓形=S 扇形- S△AOB= x ?1 ? 2 ? sin cos
2 2 1 1 ? ( x ? sin ? ) ? ( x ? sin x) ,当 x ? (0, ? ) 时, 2 2
0, 则 x ? sin x x, sin x 其图象位于 y ? x 下方; 当 x ? (? , 2? ) 时, 0,

1 2

1 2

?

?

sin x

x ? sin x

x ,其图象位于 y ? x 上方。所以只有选

D。这种方法属于小

题大作。 解法 2 结合直觉法逐一验证。显然,面积 f ( x) 不是弧长 x 的一

次函数,排除 A;当 x 从很小的值逐渐增大时, f ( x) 的增长不会太快, 排除 B;只要 x ? 则必然有面积 f ( x) ? ,排除 C,选 D。事实上,直 觉好的学生完全可以直接选 D)

【练习 6】 、集合 M ? ?(2n ?1)? | n ? Z? 与集合 N ? ?(4k ?1)? | k ? Z? 之间 的关系是( A、 M ? N ) B、 M ? N C、 M ? N D、 M ? N

(提示: C、 D 是矛盾对立关系, 必有一真, 所以 A、 B 均假; 2n ? 1 表示全体奇数,4k ? 1 也表示奇数,故 M ? N 且 B 假,只有 C 真,选 C。 此法扣住了概念之间矛盾对立的逻辑关系。

当然,此题用现场操作法来解也是可以的,即令 k=0,±1,±2, ±3,然后观察两个集合的关系就知道答案了。 ) 【练习 7】 、当 x ???4,0? 时, a ? ? x 2 ? 4 x ? x ? 1 恒成立,则 a 的一 个可能的值是( A、5 B、
5 3

4 3

) C、 ?
5 3

D、 ? 5

(提示:若选项 A 正确,则 B、C、D 也正确;若选项 B 正确,则 C、D 也正确;若选项 C 正确,则 D 也正确。选 D) 【练习 8】 、 (01 广东河南 10)对于抛物线 y2 ? 4x 上任意一点 Q, 点 P(a,0)都满足 PQ ? a ,则 a 的取值范围是( A、 ? ??,0? B、 (??, 2] C、 [0, 2] ) D、 (0, 2)

(提示:用逻辑排除法。画出草图,知 a<0 符合条件,则排 除 C、D;又取 a ? 1 ,则 P 是焦点,记点 Q 到准线的距离为 d,则由抛 物线定义知道, 此时 a<d<|PQ|,即表明 a ? 1 符合条件, 排除 A, 选 B。 另外,很多资料上解此题是用的直接法,照录如下,供“不放心”的 读者比较—— 设点 Q 的坐标为 (
2 2 y0 ( y0 ? 16 ? 8a) ? 0 ,
2 y2 y0 恒成立,而 2 ? 0 的最小值 8 8 2 y0 y2 2 , y0 ) ,由 PQ ? a ,得 y0 ? ( 0 ? a)2 ? a 2 ,整理得 4 4

2 2 ∵ y0 ? 0 ,∴ y0 ?1 6? 8 a? 0 ,即 a ? 2 ?

是 2,∴ a ? 2 ,选 B) 【练习 9】 、 (07 全国卷Ⅰ理 12)函数 f ( x) ? cos 2 x ? cos 2 的一个单调增 区间是( )
x 2

A、 ? ? ,
?3

? 2? ?
? 3 ?

? B、 ? ? , ? 6 2 ? ?

? ?

?? C、 ? ? 0, ?
? 3?

? D、 ? ?? , ? 6 6 ? ?

? ?

(提示: “标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组,再结合图 象解得的, 选 A。 建议你用代入验证法进行筛选: 因为函数是连续的, 选项里面的各个端点值其实是可以取到的,由 f (? ) ? f ( ) ,显然直
6 6

?

?

接排除 D,在 A、B、C 中只要计算两个即可,因为 B 中代入 会出现
? ? ,所以最好只算 A、C、现在就验算 A,有 f ( ) 12 3
f( 2? ) ,符合,选 3

? 6

A) 【例题】 、 (05 辽宁 12)一给定函数 y ? f ( x) 的图象在下列图中, 并 且 对 任 意 a1 ?? 0,1? , 由 关 系 式 an?1 ? f (an ) 得 到 的 数 列 满 足
an?1 an (n ? N ? ) ,则该函数的图象是(



A、 D、

B、

C、

【解析】问题等价于对函数 y ? f ( x) 图象上任一点 ( x, y ) 都满足 y 只能选 A。

x,

【练习 1】 、设 t ? sin ? ? cos ? ,且 sin3 ? + cos3 ? ? 0 ,则 t 的取值范围 是( )

A、[- 2 ,0) C、 (-1,0) ? (1, 2 ]

B、[ ? 2 , 2 ] D、 (- 3 ,0) ? ( 3,??)

(提示:因为 sin3 ? + cos3 ? =(sin ? + cos ? ) (sin2 ? - sin ? cos ? + cos2 ? ) ,而 sin2 ? - sin ? cos ? + cos2 ? > 0 恒成立,故 sin3 ? + cos3 ? ? 0 ? t<0,选 A。另解:由 sin3 ? + cos3 ? ? 0 知 ? 非锐角,而 我们知道只有 ? 为锐角或者直角时 t ? sin ? ? cos ? ? 2 ,所以排除 B、 C、D,选 A) 【练习 2】 、 F1 , F2 是椭圆 ? y 2 ? 1的左、右焦点,点 P 在椭圆上运动,则
PF1 PF2 的最大值是(

x2 4

) C、1 D、2

A、4

B 、5

(提示:设动点 P 的坐标是 ( 2cos ? ,sin ? ) ,由 F1 , F2 是椭圆的左、 右 焦 点 得
F1 (? 3

, ,

0 F2 ( 3,0) )




n ) (

PF1 ? PF2 ? |

( ?? 2

c ? o ? s

? ?| 4cos 3 2 ? ,? 3 ?? sin s 2? | i

?| 3cos2 ? ? 2 |? 2 ,选 D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三

角函数求最值的问题。特别提醒:下列“简捷”解法是掉进了命题人 的“陷阱”的—— PF1 ? PF2 ?
| PF1 | ? | PF2 | ? a2 ? 4 ) 2

【练习 5】 、已知 ? 0, 若函数 f ( x) ? sin 调递增,则 ? 的取值范围是(
2? A、 ? ? 0, ? ? 3? 3? B、 ? ? 0, ? ? 2?

?x
2

sin

? ??x
2

在? ??

, 上单 ? 4 3 ? ?

?? ?

) C、 ? 0, 2? D、 ? 2, ?? ?

(提示: 化简得 f ( x) ? sin ? x ,∵ sin x 在 ? ??
1 2

, 上递增, ? 2 2 ? ?

?? ?

∴ ? ? ?x ?
2

?

?
2

??

? ? ?? ? ?x? ,而 f ( x) 在 ? ? , 上单调递增 ? 2? 2? ? 4 3 ? ?
0, ∴选 B)

3 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? , ? ? ?? , ? 0 ? ? ? ,又 ? ? 2 ? 4 3 ? ? 2? 2? ?

【练习 6】 、把 10 个相同的小球放入编号为 1,2,3 的三个不同 盒子中,使盒子里球的个数不小于它的编号数,则不同的放法种数是 ( ) A、 C63 B、 C62 C、 C93 D、 C92
1 2

(提示:首先在编号为 1,2,3 的三个盒子中分别放入 0,1,2 个小球, 则余下的 7 个球只要用隔板法分成 3 堆即可, 有 C62 种, 选 B; 如果你认为难以想到在三个盒子中分别放入只 0,1,2 个小球,而更 容易想到在三个盒子中分别放入只 1,2,3 个小球,那也好办:你将 余下的 4 个球加上虚拟的(或曰借来的)3 个小球,在排成一列的 7 球 6 空中插入 2 块隔板,也与本问题等价。 ) 【练习 7】 、方程 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 12 的正整数解的组数是( A、24 B、 72 C、144 D、165 )

(提示:问题等价于把 12 个相同的小球分成 4 堆,故在排成一列
3 的 12 球 11 空中插入 3 块隔板即可,答案为 C11 ? 165 ,选 D)

【练习 8】 、从 1,2,3,?,10 中每次取出 3 个互不相邻的数, 共有的取法数是( A、35 B、56 ) C、84 D、120

(提示:逆向思维,问题可以等价地看作是将取出的三个数再插

入余下的 7 个数的 8 个空中, 那么问题转化为求从 8 个空位中任意选 3 个的方法数,为 C83 ? 56 ,选 B) 【练习 9】 、 (理科)已知 lim x ?1 A、4 B、-5
ax 2 ? bx ? 1 ? 3 ,则 b = x ?1





C、-4

D、5

(提示:逆向思维,分母( x ? 1 )一定是存在于分子的一个因式, 那 么 一 定 有 ax2 ? bx ?1 ? ( x ?1)(ax ?1) ? ax2 ? (1? a) x ?1 , ∴ 必 然 有
lim b ? ?( 1 ? a ,且 ) ax 2 ? bx ? 1 ? lim(ax ? 1) ,∴ a ?1 ? 1 ? 3 ? a ? 4, ∴ b ? ?5 , x ?1 x ?1 x ?1

选 B) 【练习 10】 、异面直线 m, n 所成的角为 60 , 过空间一点 O 的直线 l 与 m, n 所成的角等于 60 )条 C、3 D、4 ,
l2

l1

则这样的直线有( A、1 B、2

?

(提示:把异面直线 m, n 平移到过点 O 的位置,记他们所确定的平面 为 ? ,则问题等价于过点 O 有多少条直线与 m, n 所成的角等于 60 ,如 图,恰有 3 条,选 C) 【练习 2】 、点 M 为圆 P 内不同于圆心的定点,过点 M 作圆 Q 与圆 P 相切,则圆心 Q 的轨迹是( A、圆 B、椭圆 ) D、线段

C、圆或线段

(提示:设⊙P 的半径为 R,P、M 为两定点,那 么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数,∴由椭圆定义知圆 心 Q 的轨迹是椭圆,选 B)

【练习 3】 、若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 内有一点 P(1,-1) ,F 为右焦点, 4 3

椭圆上有一点 M,使|MP|+2|MF|最小,则点 M 为( A、 (
2 6, ? 1) 3



2 6, ? 1) 3 c 1 (提示:在椭圆中, a ? 2, b ? 3 ,则 c ? 1, e ? ? ,设点 M 到右准 a 2

B、 (1, ? )

3 2

C、 (1, ? )

3 2

D、 (?

线的距离为|MN|,则由椭圆的第二定义知,

| MF | 1 ? ?| MN |? 2 | MF | , | MN | 2

从而 | MP | ?2 | MF |?| MP | ? | MN | ,这样,过点 P 作右准线的垂直射线与 椭圆的交点即为所求 M 点,知易 M (
2 6, ? 1) ,故选 A) 3

【练习 8】 、点 P 是以 F1 , F2 为焦点的椭圆上的一点,过焦点 F2 作
?F1PF2 的外角平分线的垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹是(



A、圆

B、椭圆

C、双曲线

D、抛物线

(提示:如图,易知 PQ ? PF2 ,M 是 F2Q 的中点, ∴OM 是 F1Q 的中位线,∴ MO ? F1Q ? ( F1P ? PQ) ? ( F1P ? F2 P) ,由 椭圆的定义知, F1P ? F2 P =定值,∴ MO ? 定值(椭圆的长半轴长 a) , ∴选 A) 【练习 9】 、在平面直角坐标系中,若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2 表示的是双曲线, 则m的取值范围是( A、 (0,1) ) C、 (0,5) D、 (5, ? ? )
( x ? 2 y ? 3)2 , x2 ? y 2 ? 2 y ? 1
1 2 1 2 1 2

B、 ( 1, ? ? )

2 (提示: 方程 m (x2+y2+2y+1) = (x-2y+3) 可变形为 m ?

即得

1 ? m

x 2 ? ( y ? 1) 2 5 ,∴ ? x ? 2y ? 3 m

x 2 ? ( y ? 1)2 ,这表示双曲线上一点 x ? 2y ? 3 5

( x, y ) 到定点(0,-1)与定直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的距离之比为常数 e ?

5 , m

又由 e 1 ,得到 0 m 5 ,∴选 C。若用特值代验,右边展开式含有 xy 项,你无法判断) 【例题】 、已知 sin x ? cos x ? , ? A、 ?
4 3

1 5

x ? 2? ,则 tan x 的值为(
3 4



B、 ? 或 ?

4 3

3 4

C、 ?

D、

4 3

【解析】 、由题目中出现的数字 3、4、5 是勾股数以及 x 的范围, 直接意识到 sin x ? ? , cos x ? ,从而得到 tan x ? ? ,选 C 。 【练习 1】 、如图,已知一个正三角形内接于一个边长为 a 的正三 角形中, 问 x 取什么值时,内接正三角形的面积最小( A、
a 2

3 5

4 5

3 4



B、

a 3

C、

a 4

D、

3 a 2

(提示:显然小三角形的边长等于大三角形的边长之半时面积 最小,选 A。 ) 【练习 2】 、 (课本题改编)测量某个零件直径的尺寸,得到 10 个 数据: x1, x2 , x3 , x10 , 如果用 x 作为该零件直径的近似值,当 x 取什么值 时, ( x ? x1 )2 ? ( x ? x2 )2 ? ( x ? x3 )2 ? ? ( x ? x10 )2 最小?( A、 x1 ,因为第一次测量最可靠 可靠 C、
x1 ? x10 ,因为这两次测量最可靠 2



B、 x10 ,因为最后一次测量最

D、

x1 ? x2 ? x3 ? 10

? x10

(提示:若直觉好,直接选 D。若直觉欠好,可以用退化策略, 取两个数尝试便可以得到答案了。 ) 【练习 3】 、若 (1? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ? a7 x7 ,则 | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ? ? | a7 |? ( ) A、-1 B、1 C、0 D、 37

(提示:直觉法,系数取绝对值以后,其和会相当大,选 D。或 者退化判断法将 7 次改为 1 次;还有一个绝妙的主意:干脆把问题转 化为:已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ? a7 x7 ,求 a0 ?a1 ?a2 ? ? a7 ,这与原 问题完全等价,此时令 x ? 1 得解。 ) 【练习 4】 、 已知 a、 b 是不相等的两个正数, 如果设 p ? (a ? )(b ? ) ,
q ? ( ab ?
a?b 2 2 1 2 ? ) ,那么数值最大的一个是( ) ,r ? ( 2 a?b ab

1 a

1 b



A、 p

B、 q

C、 r

D、与 a、b 的值有关。

(提示:显然 p、q、r 都趋向于正无穷大,无法比较大小,选 D。 要注意,这里似乎是考核均值不等式,其实根本不具备条件——缺乏 定值条件! ) 【练习 5】 、 (98 高考)向高为 H 的水瓶中注水,注满为止。如果 注水量 V 与水深 h 的函数关系如下列左图, 那么水瓶的形状是 ( ) 。

O

A D

B

C

(提示:抓住特殊位置进行直觉思维,可以取 OH 的中点,当高 H 为一半时,其体积过半,只有 B 符合,选 B) 【练习 10】 、△ABC 中,cosAcosBcosC 的最大值是( A、
3 3 8



B、

1 8

C、1

D、

1 2

(提示:本题选自某一著名的数学期刊,作者提供了下列 “标 准”解法,特抄录如下供读者比较: 设 y=cosAcosBcosC,则 2y=[cos(A+B)+ cos(A-B)] cosC, ∴cos2C- cos (A-B) cosC+2y=0, 构造一元二次方程 x2- cos (A-B) x+2y=0,则 cosC 是一元二次方程的根,由 cosC 是实数知:△= cos2 (A-B)-8y≥0, 即 8y≤cos2(A-B)≤1,∴ y ? ,故应选 B。 这就是“经典”的小题大作!事实上,由于三个角 A、B、C 的地 位完全平等,直觉告诉我们:最大值必定在某一特殊角度取得,故只 要令 A=B=C=60゜即得答案 B,这就是直觉法的威力,这也正是命题人 的意图所在。 )
1 8

【练习 11】 、 (07 浙江文 8)甲乙两人进行乒乓球比赛,比赛规 则为“3 局 2 胜” ,即以先赢 2 局者为胜,根据以往经验,每局比赛

中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛中甲获胜的概率为( A、0.216 B、0.36 C、0.432

) D、0.648

(提示:先看“标准”解法——甲获胜分两种情况:①甲:乙=2: 0 , 其 概 率 为 0.6 × 0.6=0.36 , ② 甲 : 乙 =2 : 1 , 其 概 率 为
1 所以甲获胜的概率为 0.36+0.288=0.648, 选 D。 [C2 0.6 ? 0.4]? 0.6 ? 0.288 ,

现在再用直觉法来解:因为这种比赛没有平局,2 人获胜的概率 之和为 1,而甲获胜的概率比乙大,应该超过 0.5,只有选 D。 ) 【练习 12】 、 n is s o c ?? 2 ?? A、1 B 、2
?
4

,则 tan ? ? cot ? ? ( C、-1 D、-2



(提示:显然 ? ?

,选 B)

【例题】 、 (06 年全国卷Ⅰ,11)用长度分别为 2、3、4、5、6 (单位:cm)的 5 根细木棍围成一个三角形(允许连接,但不允许折 断) ,能够得到的三角形的最大面积为多少? A、8 5 cm2 B、6 10 cm2 C、3 55 cm2 D、20 cm2

【解析】 、此三角形的周长是定值 20,当其高或底趋向于零时其 形状趋向于一条直线,其面积趋向于零,可知,只有当三角形的形状 趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大,故三边 长应该为 7、7、6,因此易知最大面积为 6 10 cm2,选 B。 ) 【练习 1】 、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成二面角的平面角的取 值范围是( A、 ( ) B、 (
n ?1 ? ,? ) n

n?2 ? ,? ) n

C、 (0, )
2

?

D、 (

n ? 2 n ?1 ?, ?) n n

(提示:进行极限分析,当顶点无限趋近于底面正多边形的中心

时,相邻两侧面所成二面角 ? ? ? ,且 ? ? ;当锥体 h ? ?? 且底面正
?? 多边形相对固定不变时, 正 n 棱锥形状趋近于正 n 棱柱,
?
n?2 ?,选 A n n?2 ?, 且 n

【练习 3】 、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为 ? ,侧 面与底面 所成角为 ? ,则 2cos ? ? cos 2? 的值是( A、1 B、
1 2



C、0

D、-1

(提示:进行极限分析,当四棱锥的高无限增大时,
? ? 90 , ? ? 90 , 那么
2cos ? ? cos 2? ? 2cos90 ? cos180 ? ?1 ,选 D)

【练习 4】 、在△ABC 中,角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c, 若 c-a 等于 AC 边上的高,那么 sin A、1 B、
1 2

C?A C?A ? cos 的值是( 2 2



C、

1 3

D、-1

(提示:进行极限分析, ? ? 0 时,点 C ? ? ,此时高 h ? 0, c ? a , 那么 C ? 180 , A ? 0 ,所以 sin
C?A C?A ? cos ? sin 90 ? cos 0 ? 1 ,选 A。 ) 2 2

【练习 8】 、 若 sin ? ? cos ? ? 1 , 则对任意实数 n, ( sin n ? ? cosn ? ? A、1 B、区间(0,1) C、
1 2n ?1



D、不能确定

(提示:用估值法,由条件 sin ? ? cos ? ? 1 完全可以估计到 sin ? , cos ? 中必定有一个的值是 1,另一个等于 0,则选 A。另外,当 n=1,2 时, 答案也是 1)

【练习 9】 、已知 c 1 ,且 x ? c ? 1? c , y ? c ? c ?1 ,则 x, y 之间

的大小关系是( A、 x
y


y

B、 x

C、 x ? y

D、与 c 的值有关

(提示:此题解法较多,如分子有理化法,代值验证法,单调性 法,但是用趋势判断法也不错:当 c ? 1 时, x ? 2 ?1 ;当 x ??? 时,
x ? 0 ,可见函数 t ? 1 ? t 递减,∴选

B)

【例题】 、已知 x1 是方程 x ? lg x ? 3 的根, x2 是方程 x ? 10x ? 3 的根, 则 x1 ? x2 ? ( A、6 ) B 、3 C、2 D、1

【解析】 、我们首先可以用图象法来解:如图,在同一 坐标系中作出四个函数, y ? 10x , y ? lg x , y ? 3 ? x ,
y ? x 的图象,设 y ? 3 ? x 与 y ? lg x 的图象交于点 A,其

横坐标为 x1 ; y ? 10x 与 y ? 3 ? x 的图象交于点 C,其横坐标 为 x2 ; y ? 3 ? x 与 y ? x 的图象交于点 B,其横坐标为 。因为 y ? 10x 与
y ? lg x 为反函数, 点 A 与点 B 关于直线 y ? x 对称, 所以 x1 ? x2 ? 2×
3 =3, 2

3 2

选 B。 此属于数形结合法,也算不错,但非最好。现在用估计法来解它: 因为 x1 是方程 x ? lg x ? 3 的根,所以 2 x1 3, x2 是方程 x ? 10x ? 3 的根, 所以 0 x2 1, 所以 2 x1 ? x2 4, 选 B。

【练习 3】 、已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于 球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,则球面面积是( A、
16 ? 9



B、 ?

8 3

C、 4?

D、

64 ? 9

(提示:用估计法,设球半径 R,△ABC 外接圆半径为 则 S 球= 4? R 2 ? 4? r 2 ?
16 ? 3 5? ,选 D)

r?

2 3 , 3

【练习 4】 、如图,在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,
EF ? 3 ,EF 与平面 ABCD 的距离为 2,则 2

该多面体的体积为( A、
9 2

) C、6 D、
15 2

B、5

(提示:该多面体的体积比较难求,可连接 BE、CF,问题转化为 四棱锥 E-ABCD 与三棱锥 E-BCF 的体积之和,而 VE ? ABCD =6,所以只能 选 D) 【练习 5】 、在直角坐标平面上,已知 A(-1,0) 、B(3,0) ,点 C 在直线 y ? 2 x ? 2 上,若∠ACB > 90 ,则点 C 的纵坐标的取值范围是 ( )
2 5 2 5 4 5 4 5 ,1 ? ) ) ( , ??) B、 (1 ? 5 5 5 5

A、 (??, C、 ( ?

4 5 4 5 ,0) (0, ) 5 5

D、 ( ?

4 5 4 5 , ) 5 5

(提示:如图,M、N 在直线 y ? 2 x ? 2 上,且∠AMB=∠ANB= 90 ,要 使∠ACB > 90 ,点 C 应该在 M、N 之间,故点 C 的纵坐标应该属于某 一开区间,而点 C 的纵坐标是可以为负值的,选 D)

【练习 6】 、已知三棱锥 P-ABC 的侧面与底面所成二面角都是 60 ,

底面三角形三边长分别是 7、8、9,则此三棱锥的侧面面积为( A、12 5 B、 24 5 C、 6 5 D、18 5



(提示:你可以先求出 ABC 的面积为12 5 ,再利用射影面积公式 求出侧面面积为 24 5 ;你也可以先求出 ABC 的面积为12 5 ,之后求 出 P 在底面的射影到个侧面的距离,都是三棱锥 P-ABC 的高的一半, 再利用等体积法求得结果,但好象都不如用估值法:假设底面三角形 三边长都是 8,则面积为
3 2 ? 8 ? 16 3 ,这个面积当然比原来大了一 4

点点,再利用射影面积公式求出侧面面积为 32 3 ,四个选项中只有
24 5 与之最接近,选 B)

【练习 8】 、 (07 全国Ⅱ理 12)设 F 为抛物线 y2 ? 4x 的焦点,A、B、C
A ? F B F C? 为该抛物线上的三点, 若 FA ? FB ? FC ? 0 , 则F

等于 (



A、9

B、6

C、4

D、3

(提示:很明显(直觉)三点 A、B、C 在该抛物线上的图 形完全可能如右边所示(数形结合) ,可以估计(估值法) 到, FB ? FC 稍大于 MN (通径,长为 4) , ∴ FA ? FB ? FC ? 6 ,选 B。 当然也可以用定义法:由 FA ? FB ? FC ? 0 可知 xA ? xB ? xC ? 3 ,由抛 物线定义有 FA ? xA ? 1, FB ? xB ? 1, FC ? xC ? 1 ,所以 FA ? FB ? FC =6)

【例题】 、 (07 重庆文 12) 已知以 F1 (?2,0), F1 (2,0) 为焦点的椭圆与直

线 x ? 3 y ? 4 ? 0 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( A、 3 2 B、 2 6 C、 2 7 D、 4 2



x2 y2 【解析】 、设长轴长为 2a ,则椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,与直线方 a a ?4

程联立消去 x 得 (4a2 ?12) y2 ? 8 3(a2 ? 4) y ? (16 ? a2 )(a2 ? 4) ? 0 ,由条件知
? ? 0 ,即

得 a ? 0(舍) ,a ? 2(舍) ,a ? 7 192(a2 ? 4)2 ?16(a2 ? 3)(16 ? a2 )(a2 ? 4) ? 0 , ∴ 2a ? 2 7 ,选 C 。 【练习 1】 、函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如右,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2009) =( ) A、0 B、 2 C、2+ 2 D、2- 2
T 2? ? ? 6?2 ? 4 ,? ? ? ,∴ 2 T 4

(提示:直接法。由图知, A=2 ,
f ( x) ? 2 sin

?x
4

,由图象关于点( 4 , 0 )以及直线 x ? 2, x ? 4 对称知: , 由
?
4

f (1) ? f (2) ? ? ? f (8) ? 0 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2

2009=251

×

8+1





? 2 sin ) 0=0+ 0f (1)9

= 2 ,选 B)

【练习 3】 、正方体 AC1 中,E 为棱 AB 的中点,则二面角 C- A1E -B 的 正切值为( A、
5 2

) B、 5 C、 3 D、2

(提示:用直接法。取 C1D1 的中点 F,连接 AF、CF、CE。过点 B 做 A1E 的延长线的垂线于 M,连接 CM,由 CB ? 面 ABB1A1,得 CM ? AE, 所 以 ?C M B就 是 二 面 角 C-A1E-B 的 平 面 角 , 现 在 设 CB=2 , 则
BM? EB s i n? B E M ? 1?
CB 2 ? 5 ,选 B) ,在 Rt△CMB 中,tan ?CMB ? BM 5

x2 y 2 【练习 4】 、设 F1 , F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a a b

b

0)

的两个焦点,以 F1 为圆心,且过椭圆中心的圆与 椭圆的一个交点为 M,若直线 F2 M 与圆 F1 相切, 则该椭圆的离心率是( A、 2 ? 3 B、 3 ? 1 ) C、
3 2

D、

2 2

(提示:用直接法。由已知可得 MF1 ? c ,又 MF1 ? MF2 ? 2a ,∴
MF 1 相 切 , ∴ MF 2 ? 2 a? c , 又 直 线 F2 M 与 圆 F 1 ? MF 2 , ∴
2 MF 1 ?

M22 F ?

1

2 , 即 F F c 2 ?2 (a ? c) 2? 2) ( c 2

2

, 解得 e ? ? ?1 ? 3 , ∵0 e 1,

c a

∴ e ? 3 ?1 ,选 B) 【练习 5】 、 函数 f ( x) ? ax3 ? (a ?1) x2 ? 48(a ? 2) x ? b 的图象关于原点成 中心对称,则 f ( x) 在[-4,4]上的单调性是( A、增函数 C、减函数 )

B、 在[-4,0]上是增函数, [0,4]上是减函数 D、 在[-4,0]上是减函数, [0,4]上是增函数

(提示: f ( x) 的图象关于原点成中心对称, f ( x) 为奇函数,∴

a ? 1, b ? 0 ,∴ f ( x) ? x3 ? 48x ,易知 x ?? ?4, 4? 上 f ' ( x) ? 0 ,∴ f ( x) 递减,

选 B) 【练习 6】 、( x2 ? x? () 1x ) 2? ?8a? (ax ) 1 ?a ) 1x ? ? ( ) 1 a2 x ? 0? ( 1 2 ? =( a1 ?a2 ? ? a1 0 A、-3 ) B 、3 C、2 D、-2
01 01

, 则

(提示: 令 x ? 1 得 a0 ? 3 , 令 x ? 2 可得 a1 ? a2 ? ? a10 ? ?a0 ? ?3 , 选 A) 【练习 7 】 、 ( 06 重庆文 10 )若 ? , ? ? ( 0, ), cos(? ? ) ?
2

?

?

2

3 , 2

sin(

?
2

? ?) ? ?

1 ,则 cos(? ? ? ) ? ( 2

) C、
?
4
1 2

A、 ?

3 2

B、 ?

1 2

D、
?
2

3 2

(提示:∵ ? , ? ? (0, ),∴ ?
?
2 ?? ??

?

?
6

2

??
2 3

?
4

,∴ ? ?

?
2

??

?
6

;同理

,∴ ? ? ? ? 0 (舍)或 ? ? ? ? ? ,所以选 B)

【练习 8】 、 ( 06 全 国 Ⅰ 理 8 ) 抛 物 线 y ? ?x2 上 的 点 到 直 线
4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离的最小值是(


8 5

A、

4 3

B、

7 5

C、

D、3

( 提 示 : 设 直 线 4 x ? 3 y ? m ? 0与 y ? ?x2 相 切 , 则 联 立 方 程 知
3x2 ? 4 x ? m ? 0, 令 ? 0 , 有 m ?
4 ?8 ? (? ) 3 3 ?4
2 2

4 ,∴两平行线之间的距离 3

d?

?

4 ,选 A) 3

【练习 2】如果 f ( x) 的定义域为 R , f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,且
f (1) ? lg 3? lg 2, f (2) ? lg3 ? lg5 ,则 f (2008) =(

) D、-lg3-lg5

A、1

B、-1

C、 l g 2 ? l g 3

(提示:2008 是个很大的数,所以立即意识到这应该是一个周期 函数的问题! 关键是求出周期值。 现在进行现场操作: f (1) =lg3-lg2, f(2)=lg3+lg5,f(3)=f(2)-f(1)=?=1,f(4)= f(3)-f (2)=?lg2-lg3,f(5)= f(4)- f(3)=?-lg5-lg3,f(6)=f (5)- f(4)=?-1,f(7)=f(6)- f(5)=?lg3-lg2= f(1) , 所以周期是 6。 f (2008) =f(334×6+4)= f(4)= lg2-lg3,选 C。当 然你如果演算能力好,可以这样做:
f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ?1) ? f ( x) = ? f ( x ?1) ? ?? f ( x ? 2) ? f ( x ? 3)?

= ?? f ( x ? 3) ? f ( x ? 4) ? f ( x ? 3)? ? f ( x ? 4) ,所以周期是 6。其实凡属于抽 象函数、抽象数列、抽象不等式问题,解题诀窍都不过是不断利用题 目所给的规则而已) 【练习 10】 、 (05 全国)不共面的四个定点到平面 ? 的距离都相等, 这样的平面共有( A、3 B、4 )个。 C、6 D、7

(提示:先画一个三棱锥,然后想象用一个平面以各种方式置于四个 顶点之间,发现四个顶点有被平面分成 2+2 或者 1+3 两类情形,分别 有 3,4 种可能,如图。选 D)

【练习 11】 、 (07 高考模拟)若一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2 且 a3 <a2,则称这样的三位数为凸数(如 343、275、120 等) , 那么所有凸数个数为( )

A.240

B.204

C.729

D.920

( 提示:进行原始操作以发现规律:第二位数字不可能为 1,若 为 2,则左边有 1,右边有 0、1 可选,此时有 1×2 个凸数;若为 3, 则左边有 1、2,右边有 0、1、2 可选,此时有 2×3 个凸数;若为 4, 则左边有 1、 2、 3, 右边有 0、 1、 2、 3 可选, 此时有 3×4 个凸数; ?? 若为 9, 则??此时有 8×9 个凸数, 所以一共有 1×2+2×3+3×4+?? +8×9=240 个凸数,选 A)


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