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上海市徐汇区2014届高三上学期期末(一模)考试数学(理)试题Word版含解析-精编解析版

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一、填空题(每题 4 分,满分 56 分,将答案填在答题纸上)
1.计算: lim
x ??

2n ? 10 = 3n ? 23

.

2.函数 y ? sin 2 x cos2 x 的最小正周期是

.

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3.计算: 2 ? ?

?1 2? ? 2 4? ??? ?= ?3 4? ? 3 2?

.

【答案】 ? 【解析】

?4 8 ? ? ? 9 10 ?

试题分析:本题是矩阵的运算,涉及到矩阵的数乘与矩阵的加法,因此 2 ? ?

?1 2? ? 2 4? ??? ? ?3 4? ? 3 2?

的数乘与 ? ?

? 2 4? ? 2 4? ? 4 8 ? ??? ??? ? ? 6 8 ? ? 3 2 ? ? 9 10 ?

考点:矩阵的运算.

4.已知 sin x ?

3 ?? ? , x ? ? , ? ? ,则 x= 5 ?2 ?

.(结果用反三角函数表示)

5.直线 l1 : ? a ? 3? x ? y ? 3 ? 0 与直线 l2 :5x ? ? a ? 3? y ? 4 ? 0 , 若 l1 的方向向量是 l2 的法向 量,则实数 a= .

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6.如果 f ? n ? ? 1 ? 项. 【答案】 2 【解析】
k

1 1 ? ? 2 3

1 1 ? ? ? n n ?1

?

1 ( n ? N * )那么 f ? k ? 1? ? f ? k ? 共有 2n

试题分析: f ( n) 是一个数列的和,我们要弄清它到底是多少项的和,观察每项的特征, 每项都是一个分数,分子都是 1,分母依次为 1, 2,3, 4,

, 2n ,因此有共 2n 项,从而

f (k ? 1) ? f (k ) 中共有项数为 2k ?1 ? 2k ? 2k .
考点:数列的项数.

7.若函数 f ? x ? 的图像经过(0,1)点,则函数 f ? x ? 3? 的反函数的图像必经过点

.

8.某小组有 10 人,其中血型为 A 型有 3 人,B 型 4 人,AB 型 3 人,现任选 2 人,则此 2 人 是同一血型的概率为 .(结论用数值表示)

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9.双曲线 mx2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=

.

10.在平面直角坐标系中,动点 P 和点 M(-2,0)、N(2,0)满足 MN ? MP ? MN ? NP ? 0 ,则 动点 P(x,y)的轨迹方程为 .

11.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数 为 10,方差为 2,则 x ? y 的值为 .

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12.如图所示,已知点 G 是△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB、AC 两边分别交于 M、N 两点, 且 AM ? xAB, AN ? yAC ,则

xy 的值为 x? y

.

【答案】 【解析】

1 3

13.一个五位数 abcde 满足 a ? b, b ? c ? d , d ? e, 且 a ? d , b ? e (如 37201,45412),则称这 个五位数符合“正弦规律”.那么,共有 个五位数符合“正弦规律”.

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14.定义区间 ? c, d ? 、? c, d ? 、? c, d ? 、? c, d ? 的长度均为 d ? c ? d ? c ? .已知实数 a, b ? a ? b ? . 则满足

1 1 ? ? 1 的 x 构成的区间的长度之和为 x?a x?b

.

【答案】2 【解析】 试题分析:本题实质上就是解分式不等式,把不等式

1 1 ? ? 1 变形为 x?a x?b

x 2 ? (a ? b ? 2) x ? (ab ? a ? b) ? 0 ,即 ( x ? a)( x ? b)
(x ? a?b?2? ? a?b? 2? ? )( x ? )( x ? a)( x ? b) ? 0 ,且 x ? a , x ? b ,其中 2 2 a?b?2? ? 2

? ? (a ? b ? 2)2 ? 4(ab ? a ? b) ? (a ? b)2 ? 4 ,因此不等式的解为 a ? x ?
a?b?2? ? ,因此所求长度之和为 2. 2

或b ? x ?

考点:解含参数的分式不等式.

二、选择题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
15.直线 bx ? ay ? ab ?a ? 0,b ? 0? 的倾斜角是-----------------------( (A) ? ? arctan ) (D) arctan ? ?

a b

(B) ? ? arctan

b a

(C) arctan ? ?

? a? ? ? b?

? b? ? ? a?

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16.为了得到函数 y ? 2sin ?

?x ?? ? ? , x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2sin x, x ? R 的图像上 ?3 6?


所有的点----------------------------------------------------------------------------------------------( (A) 向右平移

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? (B) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? 1 (C) 向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 ? 1 (D) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3
【答案】B 【解析】 试题分析: 这题考查函数图象的两个变换, 平移变换, 周期变换, 当把函数 y ? A sin( x ? ? ) 图象上各点横坐标变为原来的 题选 B. 考点:三角函数的图象变换.

1

?

,纵坐标不变,则得函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象,故本

17.函数 f ? x ? ? x x ? a ? b 是奇函数的充要条件是--------------------------------------------( (A) ab ? 0 (B) a ? b ? 0 (C) a ? b ? 0
2 2



(D) a ? b

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18.已知集合 M ?

?? x, y ? y ? f ? x ?? ,若对于任意 ? x , y ? ? M ,存在 ? x , y ? ? M ,使得
1 1 2 2

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
① M ? ?? x, y ? y ?

? ?

1? ?; x?
2

②M ?

?? x, y ? y ? sin x ? 1? ;

③M ?

?? x, y ? y ? log x? ;
(B) ②③

④M ?

?? x, y ? y ? e
(D) ②④

x

?2 .


?

其中是“垂直对点集”的序号是----------------------------------------------------( (A) ①② (C) ①④

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
19.(本题满分 12 分) 在△ABC 中,BC=a,AC=b,a、b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且 A ? B ? 120 ,
2

求△ABC 的面积及 AB 的长.

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20.(本题满分 14 分,第(1)小题 7 分,第(2)小题 7 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?1 , g ? x ? ? ? x ? 6x ? 5 .
2

(1)若 g ? x ? ? f ? x ? ,求实数 x 的取值范围; (2)求 g ? x ? ? f ? x ? 的最大值.

大值中取最大的一个就是我们所要求的最大值;当然这题我们可以借助于(1)的结论,最 大值一定在(1)中解集区间里取得,从而可以避免再去分类讨论,从而简化它的过程.

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21.(本题满分 14 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 9 分) 某种海洋生物身体的长度 f ? t ? (单位:米)与生长年限 t(单位:年) 满足如下的函数关系: f ? t ? ?

10 .(设该生物出生时 t=0) 1 ? 2?t ? 4

(1)需经过多少时间,该生物的身长超过 8 米; (2)设出生后第 t 0 年,该生物长得最快,求 t0 ?t0 ? N *? 的值.
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由 f (4) ? f (3) ? f (5) ? f (4) ? 米.???14 分

5 5 知,所求有年份为第 4 年和第 5 年,两年内各生长了 3 3

考点: (1)解不等式; (2)换元法与函数的最值.

22.(本题满分 16 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 7 分)

x2 y 2 给定椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? , 称圆心在坐标原点 O, 半径为 a 2 ? b2 的圆是椭圆 C a b
的“伴随圆” ,已知椭圆 C 的两个焦点分别是 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

2, 0 .

?

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(1)若椭圆 C 上一动点 M 1 满足 M1 F1 ? M1F2 ? 4 ,求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程; (2)在(1)的条件下,过点 P ? 0, t ??t ? 0? 作直线 l 与椭圆 C 只有一个交点,且截椭圆 C 的“伴随圆”所得弦长为 2 3 ,求 P 点的坐标; (3)已知 m ? n ? ?

cos ? 3 , mn ? ? ? m ? n,? ? ? 0, ? ? ? ,是否存在 a,b,使椭圆 C 的 sin ? sin ?

2 2 “伴随圆” 上的点到过两点 m, m , n, n 的直线的最短距离 d min ?

?

??

?

a 2 ? b 2 ? b .若存在,

求出 a,b 的值;若不存在,请说明理由.

3 ? a2 ? b2 ? a2 ? b2 ? b ,又有 a 2 ? b2 ? 2 ,可解得 a ? 3, b ? 1,故存在.

试题解析: (1)由题意:

,则

,所以椭圆

的方程为



------2 分
其“伴随圆”的方程为

.-----------------------4 分

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(3)过

的直线的方程为:





,得

------------------------12 分

由于圆心

到直线

的距离为

,---------------------------------------14 分

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考点:

23.(本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 9 分) 称满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ① a1 ? a2 ? a3 ?

, an 为 n ? n ? 2,3, 4,

: ? 阶“期待数列”

? an ? 0 ;② a1 ? a2 ? a3 ?

? an ? 1.

(1)若等比数列 ?an ? 为 2k ? k ? N *? 阶“期待数列” ,求公比 q 及 ?an ? 的通项公式; (2)若一个等差数列 ?an ? 既是 2k ? k ? N *? 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通 项公式; (3)记 n 阶“期待数列” ?ai ? 的前 k 项和为 Sk ? k ? 1,2,3, (i)求证: Sk ?

, n? :

1 ; 2

(ii)若存在 m ??1,2,3,

, n? 使 S m ?

1 ,试问数列 ?Sk ? 能否为 n 阶“期待数列”? 2

若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.

【答案】 (1)







(2)



(3) (i)证明见解析; (ii)不能,证明见解析.
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如果 ?Sk ? 是 n 阶“期待数列” , 记数列 ?Sk ? (k ? 1, 2,3,

, n) 的前 k 项和为 Tk ,

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