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6.2 等差数列-5年3年模拟北京高考

时间:


1

6.2

等差数列

五年高考
考点 1 等差数列的基本运算 1. (2013 课标全国 l, 7, 5 分) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 sm?1 ? ?2, sm ? 0, S m?1 ? 3, 则 m= ( )

A.3

B .4

C .5

D.6

2. (2011 全国.4,5 分)设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? 1, 公差 d ? 2, sk ?2 ? S k ? 24, 则 k ? ( )

A.8

B .7

C.6

D.5
)

3. (2009 福建,3,5 分)等差数列 {an } 的前 n 项和为 s n , 且 s3 ? 6, a3 ? 4, 则公差 d 等于(

A.1

B.

5 3

C.2

D.3

4. (2013 广东.12.5 分)在等差数列 {an } 中,已知 a3 ? a8 ? 10, 则 3a5 ? a7 ? 5. (2013 课标全国 l1,16.5 分)等差数列 {an } 的前 n 项和为 s n ? 已知 s10 ? 0, S15 ? 25, 则 nsn 的最小值 为 6. (2012 北京.10,5 分)已知 {an } 为等差数列, sn 为其前 n 项和.若 a1 ?

1 , s 2 ? a3 , 则 a2 ? 2



sn ?
2 7. (2012 广东,”.5 分)已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1, a3 ? a2 ? 4, 则 an ?

8.(2011 湖北,13,5 分 )《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成 等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 升 9. (2011 湖南.12.5 分)设 S n 是等差数列 {an }(n ? N*) 的前 n 项和,且 a1 ? 1, a4 ? 7, 则 s5 ? 10.(2013 山东.20,12 分)设等差数列 {a ~ } 的前 n 项和为 s n , 且 s4 ? 4S 2 , a2n ? 2an ? 1. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 且 Tn ? 前 n 项和 Rn ? 11.(2011 辽宁.17,12 分)已知等差数列 {an } 满足 a2 ? 0, a6 ? a8 ? ?10 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {

an ? 1 ? ?(? 为常数) , 令 cn ? b2n (n ? N *),求数列 {cn } 的 2n

an } 的前 n 项和, 2n?l

2

智力背景
雪花曲线(一) 雪花曲线因其形状类似雪花而得名,它的产生假定也跟雪花类似,由等边三角形开 始,然后把三角形的每条边三等分,并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形,但要去掉与原 三角形叠合的边.接着对每个等边三角形尖出的部分继续上述过程,即在每奈边三等分后的中段,向外 画新的尖形. 考点 2 等差数列的性质 1. (2013 辽宁,4,5 分)下面是关于公差 d>0 的等差数列 {an } 的四个命题:

p1 : 数列 {an } 是递增数列;
p2 : 数列 {nan } 是递增数列;

an p3 :数列 ? { n } 是递增数列;
p4 : 数列 {an ? 3nd}是递增数列.
其中的真命题为( ) ) 2. (2012 辽宁.6,5 分)在等差数列 {an } 中,已知 a4 ? a8 ? 16, 则该数列前 11 项和 S11 ? (

A ? p1 , p 2

B ? p3 , p4

c ? p 2 , p3

D ? p1 , p4
)

3. (2012 福建.2,5 分)等差数列 {an } 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7, 则数列 {an } 的公差为 (

A.58

B.88

C.143

D.176

x 4. (2011 福建,10,5 分)已知函数 f ( x) ? e ? x, 对于曲线 y ? f ( x) 上横坐标成等差数列的三个点 A,B,

C,给出以下判断: ①△ABC -定是钝角三角形; ②△ABC 可能是直角三角形; ③△ABC 可能是等腰三角形; ④△ABC 不可能是等腰三角形. 其中,正确的判断是 ( )

A.1

B .2

C .3

D.4
)

5. (2010 全国Ⅱ.4,5 分)如果等差数列 {an }?, a3 ? a4 ? a5 ? 12, 那么 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? (

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④
n? ? 1, 前 n 项和为 S n , 则 S 2012 ? 2

6. (2012 福建.14,4 分)数列 {an } 的通项公式 a n ? n cos

A.14

B.21

C .28

D.35

7. (2012 江西.12,5 分)设数列 {an },{bn } 都是等差数列.若 a1 ? b1 ? 7, a3 ? b3 ? 21 , 则 a5 ? b5 ?
2 2 8. (2012 北约联盟自主招生. 2) 已知 ( x ? 2 x ? m)(x ? 2 x ? n) ? 0 的 4 个根组成首项为

1 的等差数列, 4

3

则 | m ? n |? 9. (2013 福建.20,12 分)已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ?( 的周期为π ,图象的一个对称 ) ? ? 0,0 ? ? ? ?) 中心为 (

?
4

,0) ? 将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所得到的

图象向右平移

? 个单位长度后得到函数 g ( x) 的图象. 2

(1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式; (2)是否存在 x 0 ? (

? ?

, ), 使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列?若存在, 请确定 6 4

x0 的个数;若不存在,说明理由;
(3)求实数 a 与正整数 n,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag( x) 在 (0,n? ) 内恰有 2013 个零点.

解读探究

智力背景
雪花曲线(二) 不断重复这样的过程,便产生了雪花曲线.雪花曲线令人惊异的性质是:它具有有 限的面积,但却有着无限的周长!雪花曲线的周长持续增加而没有界限,但整条曲线却可以画在一张很 小的纸上,所以它的面积是有限的,实际上其面积等于原三角形面积的

8 倍。 5

知识清单
1. 等差数列的定义 如果一个数列①, 列,这个常数叫做等差数列的② 2.等差数列的通项公式 那么这个数列就叫做等差数 表示.

,通常用字母③

如果等差数列 {an } 的首项为 a1 , 公差为 d,那么它的通项公式是④ 3.等差中项 如果⑤ ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 4.等差数列的前 n 项和公式

4

设等差数列 {an } 的公差为 d,其前 n 项和 sn ? ⑥

或 sn ? ⑦

【知识拓展】 利用数形结合的思想方法解决等差数列的有关问题时应明确两点: 1.通项的几何意义:由 an ? a1 ? (n ? 1)d 可变形为 an ? dn ? (a1 ? d ). 若 d=0,则 a n ? a1 是常数函数; 若 d≠0,则 an 是 n 的一次函数.

(n, an ) 是直线 y ? dx ? (a1 ? d ) 上一群孤立的点.
单调性:d>0 时, {an } 为单调递增数列;d<0 时, {an } 为单调递减数列. 2 . 数 列 {an } 的 前 n 项 和 sn 可 变 形 为 S n ?

d 2 d d d n ? ( a1 ? ) n, 令 A ? , B ? a1 ? , 则 2 2 2 2

sn ? An2 ? Bn.
当 A≠0 即 d≠0 时, sn 是关于 n 的二次函数, (n, S n ) 在二次函数 y ? Ax2 ? Bx 的图象上,为抛物线

y ? Ax2 ? Bx 上一群孤立的点.利用其几何意义可解决前 n 项和 sn 的最值问题.

知识清单答案

突破方法 方法 1
等差数列的基本运算

数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量,用 它们表示已知和未知是常用方法, 例 1 (2012 重庆,1,5 分)在等差数列 {an } 中, a2 ? 1, a4 ? 5, 则 {an } 的前 5 项和 S 5 ? ( )

A.7
解题思路

B.15

C .20

D.25

解析 ?{an } 是等差数列,

5

?a2 ? a1 ? d ? 1, ?a ? ?1, ?? ?? 1 ?a4 ? a1 ? 3d ? 5 ?d ? 2,
? s5 ? 5a1 ?
答案 B 【方法点拨】 ①等差数列 {an } 中, a1 和 d 是两个基本量,用它们可以表示数列中的任何一项,利用 等差数列的通项公式与前 n 项和公式,列方程组解 a1 和 d,是解决等差数列问题的常用方法;②由

5? 4 d ? 5 ? (?1) ? 10 ? 2 ? 15, 故选 B. 2

a1 , d , n, an , S n 这五个量中的三个量可求出其余两个量,需选用恰当的公式,利用方程组观点求解.

方法 2

等差数列的性质及应用

等差数列在项的关系及和的问题方面都有槽应的性质,充分利用好性质,如从整体思想、方程思想考 虑问题,可以大大减少运算,达到事半功倍的效果. 例 2 (1)(2012 河南开封=模.6,5 分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 s n , 若 s3 ? 9, S 6 ? 36, 则 a7 ? a8 ? a9 等于( )

A.63

B.45

C .36

D.27

(2)(2012 浙江宁波二模.4,5 分)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有 项的和为 390,则这个数列的项数为 ( )

A.13

B.12

C .11

D.10

(3) ( 2012 山 东 济 南 三 模 , 9,5 分 ) 已 知 S n 是 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , 若

s 0 S2 0 0 4 a1 ? ?2 0 1 , 02 0 1 ? ? 6, 则 s2011 ? ( ) 2 0 1 02 0 0 4 A.2011 B.2010 C.0 D.2
解题思路

智力背景
说说奇妙的圆形(一) 一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔,那些孔有的就很 圆.山顶洞人是用一种尖状器转着钻孔的,一面钻不透,再从另一面钻,石器的尖是圆心,它的宽度的一 半就是半径,一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔.以后到了陶器时代,许多陶器都是圆的.圆的陶器是 将泥土放在一个转盘上制成的.当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤.

6

解析 (1)由 {an } 是等差数列,得 s3 , s6 ? S3 , s9 ? S 6 为等差数列,即 2(s6 ? s3 ) ? s3 ? (s9 ? s6 ), 得到

S 9 ? s6 ? 2S 6 ? 3S 3 ? 45 , 故选 B.
(2)因为 a1 ? a2 ? a3 ? 34, an?2 ? an?1 ? an ? 146 ,

a1 ? a2 ? a3 ? an?2 ? an?1 ? an ? 34 ? 146 ? 180,
又因为 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 , 所以 3(a1 ? an ) ? 180 , 从而 a1 ? an ? 60, 所以 S n ?

n(a1 ? a n ) n ? 60 ? ? 390, 即 n ? 13 . 2 2

n (3)由等差数列的性质可得 ? { n } 也为等差数列,

s

S 2010 S 2?4 ? ? 6d ? 6,? d ? 1. 2010 2004 S S 故 2011 ? 1 ? 2010 d ? ?2010? 2010? 0, 2011 1
又 ∵

? S 2011 ? 0, 故选 C.
答案 (1)B (2)A (3)C 【方法点拨】 1.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广: an ? am ? (n ? m)d (n, m ? N ?). (2)若 {an } 是等差数列,且 k ? l ? m ? n(k , l , m, n ? N *), 则 ak ? al ? am ? an ? (3)若 {an } 是等差数列,公差为 d,则 {a 2 n } 也是等差数列,公差为 2d. (4)若 {an },{bn } 是等差数列,则 { pan ? qbn }( p, q ? N*) 是等差数列. (5)若 {an } 是等差数列,则 ak , ak ?m , ak ?2m ,?(k , m ? N*) 组成公差为 md 的等差数列. 2.等差数列与等差数列各项的和有关的性质
n (1)若 {an } 是等差数列,则 { n } 也成等差数列,其首项与 {an } 首项相同,公差是 {an } 的公差的

s

1 ? 2

(2)sm , s2m , s3m 分别为 {an } 的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和, sm , s2m ? sm , s3m ? s2m 成等差数列.
(3)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 a.若项数为 2n,则 S偶 ? S 奇 ? nd , s ? a n ? 偶 n ?1

s奇

a

7

b.若项数为 2n-1,则 S偶 ? (n ? 1)an , S奇 ? nan , S奇 ? S偶 ? an ,

S奇 L n ? ? S偶. n ? 1

(4)两个等差数列 {an } {bn } 的前 n 项和 S n、Tn 之间的关系为

an s 2 n?1 ? bn T2. n?1

方法 3

等差数列前 n 项和的最值问题

例3 (2012 山西太原二模, 16,12 分) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a3 ? 12, s12 ? 0, S13 ? 0. (1)求公差 d 的取值范围;

(2)S1. , S 2 ,?, S12 中哪一个值最大?并说明理由.
解题思路

解析

(1) ? s12 ? 0, S13 ? 0,

12 ? 11 ? 12a1 ? d ? 0, ? ? 2 ?? ?13a ? 13? 12 d ? 0, 1 ? 2 ?
即?

(3 分)

?2a1 ? 11d ? 0, ?a1 ? 6d ? 0.

又 a3 ? a1 ? 2d ? 12, ∴ 解得 ?

24 ? d ? ?3. 7

(6 分)

(2)解法一:

sn ? na1 ? n(n1 ? d ? n ? 1,2,3,?,12).
n(n ? 1) d 2
(8 分)

? S n ? n(12 ? 2d ) ?

d 5 12 2 (5d ? 24) 2 ? [n ? ( ? )] ? ? 8d 2 2 d
24 ? d ? ?3, 7 5 12 13 ?6 ? ? ? , 2 d 2 ??

(10 分)

∴ 当 n=6 时, sn 有最大值,所以 sn 的值最大为 s 6 ? (12 分) 解法二:由题意及等差数列的性质可得

8

12(a1 ? a12 ) ? ? 6(a6 ? a7 ) ? 0, ?s12 ? 2 ? 13(a1 ? a13 ) ? s13 ? ? 13a7 ? 0. 2 ?
? a7 ? 0, a6 ? 0.
(10 分)

(8 分)

∴ 在数列 {an } 中,前 6 项为正,从第 7 项起,以后各项为负,故 S 6 最大. (12 分) 【方法点拨】求等差数列前 n 项和 S n 的最值问题,主要有以下方法:

智力背景
说说奇苗的圆形(二) 会作圆,但不一定就懂得圆的性质.古代埃及人就认为:圆,是神赐给人的神圣 图形,一直到两千多年前我国的墨子(约公元前 468~前 376 年)才给圆下了一个定义:“一中同长也”, 意思是说:圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等,这个定义比希腊数学家欧几里得(约公元前 330~前 275 年)给圆下定义要早 100 年,圆周率,也就是圆周与直径的比值,是一个非常奇特的数《周髀算经》 上说“径一周三”,把圆周率看成 3,这只是一个近似值美索不迭米亚人在做第一个轮子的时候,也只知 道圆周率是 3.

三年模拟
2011-2013 年模拟探究专项基础测试 时间:50 分钟 分值.65 分 一、选择题(每题 5 分,共 30 分)
1. (2013 北京东城高三上学期期末)已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 S n , 若 a3 ? 6, s3 ? 12, 则公差 d 等于 ( )

A组

A.1

5 B. 3

C.2

D.3

2. (2013 北京昌平高三上学期期末)设 sn 是公差不为 O 的等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S1 , s 2 , s 4 成等比 数列,则 a2 等于 1

a





A.1

B .2

C .3

D.4

3. (2013 河南南阳一模.9)等差数列 {an } 的前 n 项和为 s n , 若 s17 为一确定常数,则下列各式也为确定常 数的是 ( )

9

A.a2 ? a15

B.a2 .a15

C.a2 ? a9 ? a16

D.a2 .a9 .a16
3 ? ? , 则 sin( 2a 4 ? ) ? ( 2 3
)

4. (2013 北京平谷一模,10)在等差数列 {an } 中, a 2 ? a 6 ?

A.

3 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D. ?

1 2

5. (2013 天津河西 5 月.6)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 s n , 若 a11 ? a8 ? 3, s11 ? s8 ? 3, 则使 an ? 0 的最小正整数 n 的值是( )

A.8

B .9

C .10

D.11

6. (2012 山东济南三模,9)在等差数列 {an } 中, a1 ? ?2012 , 其前 n 项和为 S n , 若 ;

s12 S10 ? ? 2, 则 12 10

S 2012 的值等于
A. ? 2011

(

)

B. ? 2012

C. ? 2010

D. ? 2013

二、解答题【共 35 分) 7. (2013 北京海淀高三月考)数列 {an } 中, a1 ? 8, a4 ? 2, 且满足 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0. (1)求数列的通项公式; (2)设 sn ?| a1 | ? | a2 | ??? | an |, 求 s n ? 8. (2013 山东烟台二模,19)设数列 {an } 的各项都为正数,其前 n 项和为 S n , 已知对任意 n ? N *, S n 是
2 和 an 的等差中项. an

(1)证明数列 {an } 为等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)证明

1 1 1 ? ? ? ? ? 2. s1 s 2 sn

9. (2012 山东临沂二模,19)在数列 {an } 中, a1 ? 1,3an an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ? 2) ? (1)证明数列 {

1 } 是等差数列; an

(2)求数列 {an } 的通项; (3)若 ?a n ?

1 a n?1

? ? 对任意 n≥2 的整数恒成立,求实数 ? 的取值范围.

B 组 2011-2013 年模拟探究专项提升测试 时间:30 分钟 分值:45 分 一、选择题(每题 5 分,共 20 分)

10

1. (2013 云南临沧 3 月.4)已知等差数列 {an } 的前 13 项之和为

13? , 则 tan(a6 ? ?a7 ? a8 ) 等于( 4

)

A.

3 3

B. 3

C. ? 1

D.1

2. (2013 河南开封二模,7)已知等差数列 {an } 满足 a2 ? 3, S n ? sn?3 ? 51 (n ? 3), sn ? 100, 则 n 的值为 ( )

A.8

B .9

C .10

D.11
)

3. (2013 山西太原二模, 7)设 {an } 为等差数列,公差 d ? ?2, sn 为其前 n 项和, 若 s10 ? s11 , 则 al ? (

A.18

B.20

C .22

D.24
)

4. (2013 福建龙岩一模.8)已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ? an ? 2 an ? 1 ? 1, 则 a13 ? (

A.143

B.156

C.168

D.195

二、填空题(共 5 分) 5. (2013 北京朝阳高三上学期期末)已知数列 1, a1 , a2 ,9 是等差数列,数列 1, b1 , b2 , b3 ,9 是等比数列,则

b2 a1 ? a2 的值为

智力背景
人类能瞬间穿越时空燧道吗 直线是一维的,平面是二维的,空间是三维的,这是早年人类对我们 居住空间的认识, 是爱因斯坦的相对论使我们认识到宇宙是“空间”, 那么除了长宽高, 第四维是什么呢? 假设一些生活在二维空间的“扁”人,只有平面概念,将其关起来,只需用线把他围住即可,在二维空间 内, 他无论如何也逃不出, 因为他不知有“高度”的概念. 人类能瞬间穿越时空隧道吗?—可怜”我们“三 维的人”也不能感知第四维啊! 三、解答题(共 25 分) 6. (2013 广东中山二模,19)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 s n , 若 a1 ? 0, S 20? ? 0. (1)求 sn 的最小值及此时 n 的值; (2)求 n 的取值集合,使 an ? s n ? 7. ( 2012 辽 宁 大 连 庄 河 二 模 . 19 ) 已 知 各 项 全 不 为 零 的 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 s n , 且

sn ?

1 a n a n ?1 (n ? N ? ), 其中 a1 ? 1. 2

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)试求所有的正整数 m,使得 ;

a m ?1 a m ? 2 为数列 {sn } 中的项. am


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