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高三数学一轮复习课件:几何概型

时间:2017-10-10

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理数
课标版

第五节 几何概型

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教材研读

1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的① 长度(面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.

2.几何概型的特点
(1)无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有② 无限多 个. (2)等可能性:试验结果在每一个区域内③ 均匀 分布. 3.几何概型的概率公式

P(A)=④

?

构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

.

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考点突破
1.已知函数f(x)=x2-2x-3,x∈[-1,4],则f(x)为增函数的概率为? ( A.?
1 5

)

B.?

2 5

C.?

3 5

D.?

4 5

答案 C f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,x∈[-1,4],∴f(x)在[1,4]上是增函数.∴f(x) 为增函数的概率为P=?
4 ?1 3 =? . 4 ? (?1) 5

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2.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1, 则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是? ( )

?
A.?
2

?

B.?
4

?

C.?
6

?

D.?
8

?

答案 B

1 2 ? ? ? 1 S半圆 2 ? 概率为P=? = =? .故选B. 2 ?1 S矩形 4

?

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3.(2016课标全国Ⅱ,8,5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替 出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需 要等待15秒才出现绿灯的概率为? ( A.?
7 10

)

B.?

5 8

C.?

3 8

D.?

3 10

答案 B 行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待 15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P=?=? , 故选B.
25 5 40 8

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4.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方 形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为? ,则阴影区域的面积 为 .
2 3

?
答案
8 ? 3
4 S 2 8 解析 设阴影区域的面积为S,则由题意知? =? ,所以S=? .

3

3

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5.在长为3 m的线段AB上任取一点P,则点P与线段AB两端点的距离都大 于1 m的概率等于 答案
1 ? 3

.

解析 将线段AB平均分成3段,如图.

?
设中间的两点分别为C,D,当点P在线段CD上(不包括两端点)时,符合题 意,∵线段CD的长度为1 m,∴所求概率P=? .
1 3

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考点突破
考点一 与长度有关的几何概型

典例1 (1)(2015重庆,15,5分)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程
x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为 ;

(2)(2016山东,14,5分)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与 圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为 答案 解析 (1)? (2)? (1)要使方程x2+2px+3p-2=0有两个负根,
2 3 3 4

.

? Δ ? 4 p 2 ? 12 p ? 8 ? 0, 2 ? 必有 ??2 p ? 0, 解得? <p≤1或p≥2, 3 ?3 p ? 2 ? 0, ?

?

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?2 ? 结合p∈[0,5]得p∈? ? ,1? ∪[2,5], ?3 ?

1 2 故所求概率为 3 ? 3 =? . 3 5

?

(2)直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交的充要条件为?
解之得-? < k <? ,
3 ? 3? ??? ? 3 4 4 故所求概率为P= ? ? =? . 1 ? ( ?1) 4

| 5k ? 0 | 1? k
2

<3,

3 4

3 4

?

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方法技巧 与长度有关的几何概型 如果试验结果构成的区域可用长度度量,则其概率的计算公式为P(A)=
构成事件A的区域长度 ? . 试验的全部结果所构成的区域长度

1-1 函数f(x)=sin x(x∈[0,π]),在区间[0,π]上任取一数x0,则f(x0)≥? 的概 率为? (
2 A.? 3 2

1 2

)
1 B.?

3 6 5? ? 1 1 答案 A 令f(x)≥? ,即sin x≥? ,又x∈[0,π],所以? ≤x≤? ,则在区间 6 6 2 2 5? ? ? 1 2 [0,π]上任取一数x0,使f(x0)≥? 的概率P= 6 6 =? . ? ?0 3 2

? C.?

? D.?

?

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1-2 若k∈[-3,3],则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆(x-k)2+y2=2 相切的概率等于? ( A.?
1 2

) D.?
3 4

B.?

1 3

C.?

2 3

答案 C 当点A在圆外时,过该点可作两条直线与圆相切,故使圆心与 点A的距离大于半径即可,则(1-k)2+1>2,解得k<0或k>2,又k∈[-3,3],所以k ∈[-3,0)∪(2,3],故所求概率P=? =? .
4 2 6 3

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考点二 与面积有关的几何概型
典例2 (1)(2016黑龙江实验中学期末)已知线段AB的长为10,在线段AB 上随机取两个点C、D,则CD>2的概率为? (
2 A.? 5 4 B.? 5
4 C.? 25 16 D.? 25

)

(2)(2016课标全国Ⅱ,10,5分)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2, …,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对 共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为? ( A.? 答案 解析
4n m

)

B.? (1)D (2)C

2n m

C.?

4m n

D.?

2m n

(1)设CA=x,DA=y,则x,y∈[0,10],

CD=|CA-DA|=|x-y|.

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由题意知点(x,y)形成的区域是边长为10的正方形及其内部,其面积为S= 10×10,而满足CD>2的区域如图中阴影部分所示,其面积为S1=2×? ×8×8 =64,则CD>2的概率为P=? =?.
64 16 100 25

1 2

?

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(2)如图,数对(xi,yi)(i=1,2,…,n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内 (包括边界),两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之
1 ? m 4 4m 一圆(阴影部分)内,则由几何概型的概率公式可得? = 2 ?π=? .故选 n 1 n

?

C.

?

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方法技巧 与面积有关的几何概型问题的求解策略 求解与面积有关的几何概型问题的关键是弄清某事件对应的面积,必要 时要根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果 构成的平面图形,进而求解. 2-1 (2016安徽江淮十校第一次联考)设不等式组

?
2 A.?

域为N,向M内随机投一个点,则该点落在N内的概率为? (
? ? B.?
4

? x ? y ? 2, ? ? ? x ? y ? ? 2, ?y ? 0 ? ?

所表示的区域为M,函数y=?

1 ? x2

的图象与x轴所围成的区 )

? C.?
8

? D.?
16

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答案 B

1 ? x 2 的图象与x轴所围成的区域为阴影部分,易知区域M的面积为 数y=?

? x ? y ? 2, ? ? 如图,不等式组 ? x ? y ? ? 2, 表示的区域为△ABC及其内部,函 ?y ? 0 ? ?

?

? ? ? 2,区域N的面积为? ,由几何概型的概率公式知所求概率为 2 =? . 2 2 4

?

?

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2-2 (2015福建,13,4分)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数 f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 .

?
答案
5 ? 12
2
2

x3 2 5 ? 8 1 ? =? 解析 由题图可知S阴影=S矩形ABCD-? x d x =1 × 4? ? ? =4? ,则所求 ? 1 ? ? ?1 3 5 3 3 ? ? 3 3 5 S阴影 事件的概率P=? = 4 =?. 12 S矩形ABCD

?

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考点二

与面积有关的几何概型

典例3 (1)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的 中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于 1的概率为? (
? A.?
12

)
12

? B.1-?

C.?
6

?

D.1-?
6

?

(2)已知正棱锥S-ABC的底面边长为4,高为3,在正棱锥内任取一点P,使得 VP-ABC<? VS-ABC的概率为? ( A.?
3 4 1 2

) D.?
1 4

B.?

7 8

C.?

1 2

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答案 解析

(1)B (2)B (1)点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心,以1为半径的半球

1 4? 3 23 ? ? ?1 ? 2 3 的外部.记点P到点O的距离大于1为事件A,则P(A)= =1? . 23 12 1 (2)如图,由题意知,当点P在三棱锥的中截面以下时,满足VP-ABC<? VS-ABC,故 2 3 1 ?1? 7 使得VP-ABC<? VS-ABC的概率P=1- ? ? =? . 2 ?2? 8

?

?

?

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方法技巧 与体积有关的几何概型问题求法的关键点 对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以 及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的事件也可利用其对立事件 去求.

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3-1 (2017沈阳二十中月考)一个多面体的直观图和三视图如图所示,点

M是AB的中点,一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞翔,则它飞入几何
体F-AMCD内的概率为? ( )

A.?

3 4

B.?

2 3

C.?
1 3

1 3

D.?
1 4 1 2

1 2

答案 D 因为VF-AMCD=? S四边形AMCD· DF=? a3,VADF-BCE=? a3,
1 3 a 1 4 所以蝴蝶飞入几何体F-AMCD内的概率为 1 =? . 3 2 a 2

?


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