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高中数学-立体几何-线面角知识点

时间:2017-12-29

立体几何知识点整理
一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行
l
A

2. 线面相交
l α

3. 线在面内

α

α

l

二.平行关系: 1. 线线平行: 方法一:用线面平行实现。
l ?

l // ? l ? ?

?

m

? ? ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

方法二:用面面平行实现。
l β γ α m

? ? // ? ? ? ? ? ? l ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

方法三:用线面垂直实现。 若 l ? ? , m ? ? ,则 l // m 。

方法四:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 共线且 l、m 不重合,则 l // m 。

2. 线面平行: 方法一:用线线平行实现。

l // m ? ? m ? ? ? ? l // ? l ?? ? ?

方法二:用面面平行实现。

β α

l

? // ? ? ? ? l // ? l ? ??

方法三:用平面法向量实现。 若 n 为平面 ? 的一个法向量, n ? l 且 l ? ? ,则 l // ? 。
α

n

l

3. 面面平行: 方法一:用线线平行实现。

? ? m // m' ? ? ? ? // ? l , m ? ?且相交 ? l ' , m' ? ?且相交? ? l // l '
方法二:用线面平行实现。

β α l' m'

m

l

l // ?

? ? m // ? ? ? ? // ? l , m ? ? 且相交? ?

β α

m

l

三.垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。

l ? AC ? ? l ? AB ? ??l ?? AC ? AB ? A? AC, AB ? ? ? ?

l α A C B

方法二:用面面垂直实现。

? ?? ? ? ? ?? ? m ??l ?? l ? m, l ? ? ? ?

β

l m

α

2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。
β

l ??? ??? ? ? l ? ??
方法二:计算所成二面角为直角。

l

C θ

α

A

B

3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。
l m α

l ?? ? ??l ?m m ? ??
方法二:三垂线定理及其逆定理。

PO ? ? ? ? l ? OA ? ? l ? PA l ?? ? ?
方法三:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 的数量积为 0,则 l ? m 。

P A O

α

l

三.夹角问题。 (一)异面直线所成的角: (1)范围: (0?,90?] (2)求法: 方法一:定义法。 步骤 1:平移,使它们相交,找到夹角。

步骤 2:解三角形求出角。 (常用到余弦定理) 余弦定理:
a
2 2

c b

cos? ?

a ?b ?c 2ab
2

θ

(计算结果可能是其补角)

方法二:向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角):
n α A θ P O

cos? ?

AB ? AC AB ? AC

(二)线面角 (1)定义:直线 l 上任取一点 P(交点除外) ,作 PO ?

? 于 O,连结 AO,则 AO 为斜线 PA
P A θ

在面 ? 内的射影, ?PAO (图中 ? )为直线 l 与面 ? 所成的角。 (2)范围: [0?,90?] 当 ? ? 0? 时, l ? ? 或 l // ? ;当 ? ? 90? 时, l ? ? (3)求法: 方法一:定义法。 步骤 1:作出线面角,并证明。 步骤 2:解三角形,求出线面角。
α

O

(三)二面角及其平面角 (1)定义:在棱 l 上取一点 P,两个半平面内分别作 l 的垂线(射线)m、n,则射线 m 和 n 的夹角 ? 为二面角 ? —l— ? 的平面角。 (2)范围: [0?,180?] (3)求法: 方法一:定义法。 步骤 1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。 步骤 2:解三角形,求出二面角的平面角。 方法二:截面法。 步骤 1:如图,若平面 POA 同时垂直于平面 ?和? ,则交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面 角。 步骤 2:解三角形,求出二面角。
β P θ α O A
? ? ? m P n l

方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 步骤一:计算 cos ? n1 ? n2 ?? ?? ?? ? n1 ? n2

n1 θ

n2

?? ?? ? 步骤二:判断 ? 与 ? n1 ? n2 ? 的关系,可能相等或者互补。

四.距离问题。
P

1.点面距。 方法一:几何法。
? A O

步骤 1:过点 P 作 PO ? ? 于 O,线段 PO 即为所求。 步骤 2:计算线段 PO 的长度。(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法)

2.线面距、面面距均可转化为点面距。
?

m

n

3.异面直线之间的距离 方法一:转化为线面距离。 如图,m 和 n 为两条异面直线, n ? ? 且 m // ? ,则异面直线 m 和 n 之间的距离可转 化为直线 m 与平面 ? 之间的距离。 方法二:直接计算公垂线段的长度。 方法三:公式法。
c B a A m

d n ? b D m'

C

如图,AD 是直线 m 和 n 的公垂线段,m ∥ m`,则异面直线 m 和 n 的距离为

d ? c 2 ? a 2 ? b2 ? 2abcos?


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