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函数的表示法教案

时间:2012-09-26


§1.2.2 函数的表示法
一、教学目标:
1.知识与技能 (1)明确函数的三种表示方法; (2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数; (3)通过具体实例,了解简单的分段函数及应用. 2.过程与方法 通过引导学生回答问题,培养学生的自主学习能力;通过画图像,培养学生的动手操 作能力; 3.情感态度与价值观 通过一些实际生活应用题, 让学生感受到学习函数表示的必要性, 并体会数学源于生活 用于生活的价值;通过函数的解析式与图像的结合,渗透数形结合思想方法。

二、教学重难点:
重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念. 难点:根据题目的已知条件,写出函数的解析式并画出图像

三、教学过程:
(一) 、复习引入: 1.函数的定义,函数的三要素(函数相同的条件) . 集合 A

?对应关系f ? 集合 B ?? ?

当对应关系符合下面的条件之一时,则称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数

?对应关系f ? 1(集合 A 和 B 一一对应) ?? ? 对应关系f ? (2)2 或者更多 ??? ? 1(集合 A 多个对 B 一个) 对应关系f ? 误区:1 ??? ? 2 或者更多 ×
(1)1 构成函数的三要素: 定义域、对应关系和值域。 函数相同: 当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致, 而与表示自变量和函数值的字母无 关。 2.课本实例 1、实例 2、实例 3 可以看出对应关系分别由解析式、图像、表格的形式表示。 师:本节将进一步学习函数的表示法和函数图象的作法 (二) 、讲解新课: 师:前面我们学习的三种表示法:解析式法、图像法、列表法各是怎样表示函数的? 师:例如,s=60 t ,A= ? r ,S=2 ?rl ,y=a x +bx+c(a ? 0),y=
2
2

2

x ? 2 (x ? 2)等等都是

用解 析式表示函数关系的. 活动:先让学生思考,然后由老师引导学生一起归纳如下: (1)解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达 式,简称解析式。

说明:①解析式法的优点是:函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值, 便于用解析式来研究函数的性质; ②中学里研究的主要是用解析式表示的函数。 师:以下是我国 1992 年-1998 年的国内生产总值(单位:亿元)
年份 生产总值 1992 26651.9 1993 34560.5 1994 4670.0 1995 57494.9 1996 66850.5 1997 73142.7 1998 76967.1

师:根据我们学习的函数的概念,我们知道年份与生产总值之间构成了函数。而我们 仅仅是通过一个图表就知道生产总值与年份之间的关系, 像这种函数的表示法, 我们称为列 表法。 活动:先让学生思考,然后由老师引导学生一起归纳如下: (2)列表法:列出表格来表示两个变量的函数关系式。例如:数学用表中的平方表、平方 根表、 ,以及银行里常用的“利息表” 。 说明:列表法的优点是:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。 师:另外,在初中我们还学习了一次函数,二次函数,反比例函数的图像。 如:一次函数 y=x 的图像 y

0

x

师:像这种用图像来表示函数的方法叫做图像法。 活动:先让学生思考,然后由老师引导学生一起归纳如下: (3)图象法:用函数图象表示两个变量之间的关系。例如:气象台应用自动记录器,描绘 温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。 (见课本 P53 页图 2-2 我国人口出生变化曲线) 说明:图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况。 (三) 、例题讲解 例 1、例 3 某种笔记本的单价是 5 元,买 x( x? 1,2,3,4,5?) 个笔记本需要 y 元,试用 三种表示法表示函数 y ? f ( x) . 活动:先学生独自做,老师做个别辅导 结果:首先此函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},那么由题意可知用解析法可将函数

?

y ? f ( x) 表示为 y=5x, x??1,2,3,4,5? 。通过计算,用列表法可将函数 y ? f ( x) 表示为
笔记本数 x 钱数 y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25

在直角坐标系上描出各点可得用图像法将函数 y ? f ( x) 表示为

注意: ①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等; ②解析法:必须注明函数的定义域; ③图象法:是否连线; ④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 例 2、 (课本 23 页例 4) 例 3、国内投寄信函(外埠) ,邮资按下列规则计算: 1、信函质量不超过 100g 时,每 20g 付邮资 80 分,即信函质量不超过 20g 付邮资 80 分,信函质量超过 20g,但不超过 40g 付邮资 160 分,依次类推; 2、信函质量大于 100g 且不超过 200g 时,付邮资(A+200)分(A 为质量等于 100g 的 信函的邮资) ,信函质量超过 200g,但不超过 300g 付邮资(A+400)分,依此类推. 设一封 x g(0<x ? 200)的信函应付邮资为 y(单位:分) ,试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式,并画出这个函数的图像
王新敞
奎屯 新疆

解:这个函数的定义域集合是 0 ? x ? 200 ,函数 的解析式为

?80, x ? (0, 20], ?160, x ? (20, 40], ? ?240, x ? (40, 60], y?? ?320, x ? (60,80], ?400, x ? (80,100] ? ?600, x ? (100, 200].
它的图象是 6 条线段(不包括左端点) ,都平行于 x 轴,如图所示. 新概念教学:在上例中,函数对于自变量 x 的不同取值范围,对应法则也不同,这样的 函数通常称为分段函数。 注意:分段函数是一个函数,而不是几个函数. 例 3、课本 24 页例 5 例 4、作出分段函数 y ? x ?1 ? x ? 2 的图像

解:根据“零点分段法”去掉绝对值符号,即:

?? ( 2 x ? 1) ? 3 y ? x ?1 ? x ? 2 = ? ? 2x ? 1 ?
作出图像如右图

x ? ?2 ? 2 ? x ?1 x ?1

y

o

x

作函数 y ? 2x2 ? 4x ? 3,(0 ? x ? 3) 的图象. 解:∵

0? x?3

∴ 这个函数的图象是抛物线 y ? 2 x2 ? 4 x ? 3 介于 0 ? x ? 3 之间的一段弧(如图).

(四) 、课堂练习:

1、一个面积为 100cm2 的等腰梯形,上底长为 xcm,下底长为上底长的 3 倍,则把它的 高表示成 x 的函数为

A) y=50x x>0 50 C) y= x>0 x

B) y=100x x>0 100 D) y= x>0 x

?2x+1 x ? 0 6、已知函数f ? x ? = ? ,则f ?1? =___ ?-2x+1 x<0
(五) 、小结 函数的三种表示方法及图像的作法,以及如何求函数解析式

(六) 、课后作业:课本第 24 页习题 1.2:A 组习题 4,6,7 补充: 1、作出函数 y ?| x 2 ? 2x ? 3 | 的函数图像

?x 2 ? 2x ? 3 解: y ? ? 2 ?? ( x ? 2 x ? 3)
2

x 2 ? 2x ? 3 ? 0 x 2 ? 2x ? 3 ? 0

6

5

4

步骤: (1)作出函数 y= x ?2x?3 的图象 (2)将上述图象 x 轴下方部分以 x 轴为对称轴向上 翻折(上方部分不变) ,即得 y=| x ?2x?3|的图象
2
王新敞
奎屯 新疆

3

2

1

-6

-4

-2

2

4

6

8

-1

-2

2)设f

?

x+1 =x+2 x,求f ? x+1?

?

-3

-4

解2)令t= x+1, x=t-1,f

?

x+1 =f ?t ? = ?t-1? +2t
2

?

f(x+1)=x 2 +2(x+1)=x 2 +2x+2
(七) 、板书设计 课题:函数的表示法 1.函数的三种表示方法 2.分段函数的概念及图象 例1 例2 例3 例4 课堂小结 布置作业 课本第 24 页习题 1.2: 组习 A 3 求函数的解析式 课堂练习 补充 题 4,6,7


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