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2012届高三数学一轮复习

时间:2011-12-26


第9章 第3节
一、选择题 1.(2010·深圳市 调研)已知 E、F、G、H 是空间内四个点,条件甲:E、F、G、H 四点不共面,条件乙: 直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 点 E、F、G、H 四点不共面可以推出直线 EF 和 GH 不相交;但由直线 EF 和 GH 不相交不一定能 推出 E、F、G、H 四点不共面,例如:EF 和 GH 平行,这也是直线 EF 和 GH 不相交的一种情况,但 E、 F、G、H 四点共面.故甲是乙成立的充分不必要条件. 2.(文)设 a、b 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,给出下列结论:①a∥b,b?α?a∥α;②α ∥β,a∥β,a?α?a∥α;③ α∩β=a,b∥α,b∥β?b∥a;④a∥α,b?α?a∥b. 其中正确的有( A.1 个 C.3 个 [答案] B [解析] ①可能有 a?α;④可能有 a 与 b 异面,故只有②③正确. (理)已知直线 m、l,平面 α、β,且 m⊥α,l?β,给出下列命题: ①若 α∥β,则 m⊥l; ②若 α⊥β,则 m∥l; ③若 m⊥l,则 α∥β; ④若 m∥l,则 α⊥β. 其中正确命题的个数是( A.1 C.3 [答案] B [解析] (1)中,若 α∥ β,且 m⊥α?m⊥β,又 l?β?m⊥l,所以①正确.(2)中,若 α⊥β,且 m⊥α?m∥ β 或 m?β,又 l?β,则 m 与 l 可能平行,可能异面,所以②不正确.(3)如图,α∩β=a,m⊥α,l?β,l ∥a,满足 m⊥l,但得不出 α∥β.(4)中,若 m⊥l,且 m⊥α?l⊥α,又 l?β?α⊥β,∴④正确.故选 B. ) B.2 D.4 ) B.2 个 D.4 个 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.(2010·湖北文,4)用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c; ③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b; ④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b. 其中真命题的序号是( A.①② C.①④ [答案] C [解析] ①平行关系的传递性. ) B.②③ D.③④

②举反例: [来源:Z§xx§k.Com]

在同一平面 α 内,a⊥b,b⊥c,有 a∥c.[来源:学科网 ZXXK]

③举反例:

如图的长方体中,a∥γ,b∥γ,但 a 与 b 相交.

④垂直于同一平面的两直线互相平行.故①,④正确. 4.(文)α、β 是相异平面,a、b、c 是相异直线,A、B 是相异点,则在下列命题中错误的是( A.α∩β=a,b?α,c?β,b∩c=A?A∈a[来源:Zxxk.Com] B.α∥β,a?α,b?β,P∈a?P?b[来源:Z.xx.k.C om] C.α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,a∩b=A?b∩c=A D.a?α,b?α,a?β,b?β,a∩b=A?α∥β [答案] D [解析] ∵a?α 可能是 a∥α,也可能是 a 与 α 相交,当 a 与 α 相交时,∵a?β,∴交点在 β 内,故 D 错. (理)(2010·东北四市联考)两个平面 α 与 β 相交但不垂直,直线 m 在平面 α 内,则在平面 β 内 ( ) )

A.一定存在直线与 m 平行,也一定存在直线与 m 垂直 B.一定存在直线与 m 平行,但不一定存在直线与 m 垂直 C.不一定存在直线与 m 平行,但一定存在直线与 m 垂直 D.不一定存在直线与 m 平行,也不一定存在直线与 m 垂直 [答案] C [解析] 直线 m 在平面 α 内,直线 m 与平面 α、β 的交线的位置关系有两种可能:平行或相交,当平行时, 在平面 β 内一定存在直线与 m 平行,也一定存在直线与 m 垂直,当相交时,在平面 β 内不存在直线与 m 平行,但一定存在直线与 m 垂直,故选 C. [点评] 当 m 与平面 α、β 的交线 l 相交时,若在平面 β 内存在直线 a∥m,则由线面平行的判定定理知 a ∥α,再由性质定理知 a∥l,∴m∥l,这与 m 和 l 相交矛盾. 5.(2010·济南模拟)给出下列命题:①若平面 α 内的直线 m 与平面 β 内的直线 n 为异面直线,直线 l 是 α 与 β 的交线,那么 l 至多与 m、n 中一条相交;②若直线 m 与 n 异面,直线 n 与 l 异面,则直线 m 与 l 异 面;③一定存在平面 γ 同时和异面直线 m、n 都相交.其中正确的命题是 ( ) B.② D.①③

A.① C.③ [答案] C

[解析] ①错误,l 可能与 m,n 两条都相交;②错误,直线 m 与 l 亦可共面;③正确. 在 m、n 上分别取点 M、N,则经过直线 MN 可以作出平面与 m、n 都相交. 6.已知不重合的平面 α、β 和不重合的直线 m、n,给出下列命题: ①m?α,n?β,α⊥β?m⊥n ②m⊥α,n⊥β,α 与 β 相交?m 与 n 相交 ③m⊥n,n?β,m?β?m⊥β ④m∥α,n∥β,m∥n?α∥β 其中正确命题的个数为( A.0 C.2 [答案] A [解析] 四个命题全错,图(1)中 α∩β=l,m∥l∥n,知①错;图(2)中取 n 上一点 P,过 P 作 m′⊥α,当 m ∥m′时满足②的条件,但 m 与 n 不相交;③、④显然错误,故选 A. ) B.1 D.3

7.正方体的棱长为 1,C、D、M 分别为三条棱的中点,A、B 是顶点,那么点 M 到截面 ABCD 的距离是 ( )

2 A. 3 [答案] C

B.

6 3

1 C. 3

D.

6 2

[解析] 设点 M 到 ABCD 的距离为 h, 连结 AC, CF⊥AB, 作 垂足为 F, BF= 则 连 CM,则 VC-ABM=VM-ABC. 1 1 1 1 VC-ABM= S△ABM×CM= × ×1= , 3 3 4 12 1 1 又 VM-ABC= × ×AB×CF×h 3 2 1 1 3 2 h = × × 2× ×h= , 3 2 4 4 h 1 1 则由 = 得 h= ,故选 C. 4 12 3 8.(2010·淄博一中)已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,则 α∥β 是 l⊥m 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2 5 3 2 , BC= , ∴CF= , 4 2 4

)

[解析] 若 α∥β,则由 l⊥α 知 l⊥β,又 m?β,可得 l⊥m;若 α 与 β 相交(如图),设 α∩β=n,当 m∥n 时, 由 l⊥α 可得 l⊥m,而此时 α 与 β 不平行.于是 α∥β 是 l⊥m 的充分不必要条件.故选 A.

9.(2010·襄樊测试)设 m、n 是平面 α 内的两条不同直线,l1、l2 是平面 β 内的两条相交 直线,则 α⊥β 的

一个充分不必要条件是( A.l1⊥m,l1⊥n [答案] B

) B.m⊥l1,m⊥l2 C.m⊥l1,n⊥l2 D.m∥n,l1⊥n

[解析] 由 m⊥l1,m⊥l2,l1、l2 是平面 β 内两条相交直线,知 m⊥β,又 m?α,所以 α⊥β;若 α⊥β, m?α,则未必有 m⊥β,未必有 m⊥l1,m⊥l2,故选 B. 10. (2010·江西理)过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都 相等,这样的直线 l 可以作( A.1 条 C.3 条 [答案 ] D [ 解析] 如图,连结 AC1,可知 AC1 与三棱 AB,AD,AA1 所成角相等,由两条异 面直线所 成角的定义知, 分别过点 B、 D 的体对角线 BD1、 C、 CA1、 DB1 与三棱 AB、 AD、AA1 成的角也都相等,故过点 A 作与 BD1,CA1,DB1 平行的直线也满足直线 l 的要求,故这样的直线可作 4 条 二、填空题 11.(文)(2010·江苏盐城调研)已 知 l 是一条直线,α,β 是两个不同的平面.若从“①l⊥α;②l∥β;③α⊥β” 中选取两个作为条件,另一个作为结论,试写出一个你认为正确的命题________.(请用代号表示) [答案] ①②?③ [解析] 在 β 内任取一点 P,P 与 l 确定一个平面 γ,则 γ 与 β 相交于过 P 点的一条直线 l′, ∵l∥ β,∴l∥l′,∵l⊥α,∴l′⊥α,∴β⊥α. (理)(2010·哈三中)已知 α,β,γ 是三个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,有下列三个条件 ①m ∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③m?γ,n∥β 要使命题“若 α∩β=m,n?γ,且________,则 m∥n”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(把 你认为正确条件的序号填上) [答案] ①或③ ) B.2 条 D.4 条

②如图,正方体 ABC D-A1B1C1D1 中,α、β、γ 分别为平面 ADD1A1、平面 ABCD、平面 A1B1C1D1, m 为 AD,n 为 A1B1,满足 α∩β=m,n?γ,m∥γ,n∥β,但 m 与 n 显然不平行.

]12.如图是一正方体的表面展开图,MN 和 PB 是两条面对角线,则在正方体中,直线 MN 与直线 PB 的 位置关系为________.(从相交、平行、异面、重合中选填)

[答案] 异面 [解析] 将表面展开图折起还原为正方体如图,故 MN 与 PB 异面.

13.(2010·东北师大附中等三校)一个几何体的三视图如图所示:其中,正(主)视图中大三角形是边长为 2 的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的体积为________.

[答案]

3 2

[解析] 由三视图可知 ,该几何体是正六棱锥,底面边长为 1,侧棱长为 2,如图设底面中心为 O,易知 OD=1,

又 PD=2,∴PO= 3, 1 3 3 ∴体积 V= ×?6× ×12?× 3= . 3 ? 4 2 ? 14.(2010·上海大同中学模拟)给出如下四个命题:①有三个角是直角的四边形一定是矩形;②不共 面的四 点可以确定四个平面;③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线;④若点 A、B、C∈平面 M, 且点 A、B、C∈平面 N,则平面 M 与平面 N 重合.其中真命题的序号是________. [答案] ② [解析] 如图(1),平面 α 内∠ABC 为直角,P?α,过 P 作 PD⊥AB,PE⊥BC,则四边形 PDBE 有三个直角, 故①假;在图②的平面 α 内,四边形 ABCD 中任意三点 不共线,知③假;图③中,M∩N=l,A、B、C 都 在 l 上,知④假,只有②真.

三、解答题 15.(文)(2010·江苏通州调研)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是矩形,PA⊥平 面 ABCD,PA=AD=1,AB= 3,点 E 在 CD 上移动. (1)求三棱锥 E-PAB 的体积; (2)试在 PD 上找一点 F,使得 PE⊥AF,并证明你的结论. [解析] (1)∵PA⊥平面 ABCD, 1 ∴VE-PAB=VP-ABE= S△ABE·PA 3 1 1 3 = × ×1× 3×1= . 3 2 6 (2)F 是 PD 的中点 ∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,∴CD⊥PA[来源:学科网] ∵ABCD 是矩形,∴CD⊥AD ∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面 PAD

∵F 是 PD 上的点,AF?平面 PAD,∴AF⊥DC ∵PA=AD,点 F 是 PD 的中点,∴AF⊥PD 又 CD∩PD=D,∴AF⊥平面 PDC ∵PE?平面 PDC,∴PE⊥AF. (理)(2010·黑龙江哈三中)如图,矩形 ABCD 中,AB=6,BC=2 3,沿对角线 BD 将△ABD 向上折起,使 点 A 移至点 P,且点 P 在平面 BCD 内的投影 O 在 CD 上.

(1)求证:PD⊥BC; (2)求二面角 P-DB-C 的正弦值; (3)求点 C 到平面 PBD 的距离. [解析] (1)∵BC⊥CD,BC⊥OP,∴BC⊥平面 PCD,∴PD⊥BC; (2)过 O 作 OE⊥BD 于点 E,连接 PE ∵BD⊥OP,∴BD⊥平面 OPE,∴BD⊥PE, ∴∠PEO 为二面角 P-BD-C 的平面角, 在△POE 中,PE=3,OE=1,PO=2 2,则 2 2 sin∠PEO= ; 3 (3)VC-PBD=VP-BCD, 1 1 ∴ ×?2×6×2 3?×h[来源:Z。xx。k.Com] ? 3 ? 1 1 = ×?2×6×2 3?×2 2,解得 h=2 2. ? 3 ? 16.如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,SD⊥平面 ABCD,E 是 SD 的中点. (1)求证:SB∥平面 EAC; (2)求证:AC⊥BE.

(3)(理)若 SD=2,AD= 2,求二面角 C-AS-D 的余弦值. [解析] (1)证明:连结 BD 交 AC 于 点 O,连结 EO. 因为底面 ABCD 是正方形, 所以 O 是 BD 的中点. 又因为 E 是 SD 的中点, 所以 EO∥SB. 又因为 E O?平面 EAC,SB?平面 EAC, 所以 SB∥平面 EAC.

(2)因为底面 ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD. 因为 SD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, 所以 AC⊥SD. 又因为 SD∩BD=D,所以 AC⊥平面 BDS. 因为 BE?平面 BDS,所以 AC⊥BE. (3)(理)解法 1 :因为 SD⊥平面 ABCD,所以 SD⊥CD.

因为底面 ABCD 是正方形,所以 AD⊥CD. 又因为 SD∩AD=D, 所以 CD⊥平面 SAD,所以 CD⊥AS. 过点 D 在平面 SAD 内作 DF⊥AS 于 F,连结 CF. 由于 DF∩CD=D, 所以 AS⊥平面 DCF. 所以 AS⊥CF. 故∠CFD 是二面角 C-AS-D 的平面角. 在 Rt△ADS 中,SD=2,AD= 2,可求得 DF= 在 Rt△CFD 中,DF= 所以 cos∠CFD= 2 3. 3

30 2 3,CD= 2,可求得 CF= . 3 3

DF 10 = . CF 5 10 . 5

即二面角 C-AS-D 的余弦值为

解法 2:如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz.

则 D(0,0,0),A( 2,0,0),B( 2, 2,0),C(0, 2,0),E(0,0, 2),S(0,0,2), → → SA=( 2,0,-2),SC=(0, 2,-2). 设平面 ACE 的法向量为 n=(x,y,z),则由 → → n⊥SA,n⊥SC得, → ?n·SA=0 ? ? 2x-2z=0 ? ,即? , ? 2y-2z=0 ? → ?n·SC=0 取 z= 2,得 n=(2,2, 2). → 易知平面 ASD 的一个法向量为DC=(0, 2,0). 设二面角 C-AS-D 的平面角为 θ.

→ |n·DC| 10 则 cosθ= = . → 5 |n||DC| 即二面角 C-AE-D 的余弦值为 10 . 5

17.(文)(2010·东北师大附中月考 )如图,在几何体 P-ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD, AB=PA=2.

(1)当 AD=2 时,求证:平面 PBD⊥平面 PAC; (2)若 P C 与 AD 所成角为 45°,求几何体 P-ABCD 的体积. [解析] (1)当 AD=2 时,四边形 ABCD 是正方形,则 BD⊥AC, ∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴PA⊥BD, 又 PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC, ∵BD?平面 PBD,∴平面 PB D⊥平面 PAC. (2)若 PC 与 AD 成 45°角,∵AD∥BC,∴∠PCB=45°. ∵BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A, ∴BC⊥平面 PAB,PB?平面 PAB, ∴BC⊥PB, ∴∠CPB=90°-45°=45°,∴BC=PB=2 2, 1 ∴几何体 P-ABCD 的体积 V= ×(2×2 2)×2 3 = 8 2 . 3

(理)(2010·湖南文)如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中 点. (1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (2)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M.

[解析] 方法 1:(1)如图,因为 C1D1∥B1A1,所以∠MA1B1 为异面直线 A1M 与 C1D1 所成的角. 因为 A1B1⊥平 面 BCC1B1,所以∠A1B1M=90°, 而 A1B1=1,B1M= B1C12+MC12= 2,故 B1M tan∠MA1B1= = 2. A1B1 即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为 2 . (2)由 A1B1⊥平面 BCC1B1,BM?平面平面 BCC1B1,得 A1B1⊥BM① 由(1)知,B1M= 2, 又 BM= BC2+CM2= 2,B1B=2, 所以 B1M2+BM2=B1B2,从而 BM⊥B1M② 又 A1B1∩B1M=B1,∴BM⊥平面 A1B1M,而 BM?平面 ABM,因此平面 ABM⊥平面 A1B1M. → → → 方法 2:以 A 为原点,AB,AD,AA1的方向分别作为 x、y、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐 标系,则 A(0,0,0),B(1,0,0),A1(0,0,2),B1(1,0,2),C1(1,1,2),D1(0,1,2),M(1,1,1).

→ → (1)A1M=(1,1,-1),C1D1=(-1,0,0), -1 3 → → cos〈A1M,C1D1〉= =- . 3 3×1 设异面直线 A1M 与 C1D1 所成角为 α,则 cosα= ∴tanα= 2. 3 , 3

即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值是 2. → → → (2)A1B1=(1,0,0),BM=(0,1,1),B1M=(0,1,-1), → → → → A1B1·BM=0,BM·B1M=0,[来源:Zxxk.Com] → → → → ∴A1B1⊥BM,BM⊥B1M,即 BM⊥A1B1,BM⊥B1M, 又 B1M∩A1B1=B1, ∴BM⊥平面 A1B1M,而 BM?平面 ABM, 因此 ABM⊥平面 A1B1M.


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