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山东省巨野一中2010-2011学年高二“每周一练”数学试题

时间:2012-09-30


山东省巨野一中 2010—2011 学年度高二数学“每周 一练”系列试题(31)
(命题范围:导数及其应用 2) 1.已知函数 f ( x ) ?
e
x

x?a

(其中常数 a ? 0 ).

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 及单调区间; (2)若存在实数 x ? ? a , 0 ? ,使得不等式 f ( x ) ? 2.设函数 f ( x) ? xe ( k ?0)
kx

1 2

成立,求 a 的取值范围。

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x ) 在点(0, f (0)) (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 在区间( ?1,1) 3.已知函数 f ( x ) ? ln ( a x ? 1) ?

处的切线方程 ;

内单调递增 ,求k 的取值范围.
, x ? 0 ,其中 a ? 0 .

1? x 1? x

(1)若 f ( x ) 在 x=1 处取得极值,求 a 的 值; (2)求 f ( x ) 的单调区间; (3)若 f ( x ) 的最小值为 1,求 a 的取值范围.

4.设函数 f ( x ) ?

e

x

x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,求不等式 f ( x ) ? k (1 ? x ) f ( x ) ? 0 的解集.
'

5.已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? b x ? c 在 x ? ?
3 2

2 3

与 x ? 1 时都取得极值

(Ⅰ)求 a , b 的值与 函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若对 x ? [ ? 1, 2 ] ,不等式 f ( x ) ? c 恒成立,求 c 的取值范围。
2

参考答案

1、解:函数 f ( x ) 的定义域为 ? x | x ? a ?

f '( x ) ?

e ( x ? a ) ? e ?1
x x

(x ? a)

2

?

e

x

? x ? (a
(x ? a)

? 1) ?
2

由 f '( x ) ? 0 ,解得 x ? a ? 1 ,由 f '( x ) ? 0 ,解得 x ? a ? 1 且 x ? a
? f ( x ) 的单调 递增区间为 ( a ? 1, ? ? ) , 单调递减区 间为 ( ? ? , a ) 和 ( a , a ? 1)
x

(2)由题意可知,当且仅当 a ? 0 ,且 f ( x ) ? 在 ? a , 0 ? 上的最小值小于或等于 使得不等式 f ( x ) ?
1 2 1 2

e

x?a

时,存在实数 x ? ? a , 0 ? ,

成立

若 a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 时
x
f '( x ) f (x) ( a , a ? 1)
a ?1

( a ? 1, 0 )

?

0 极小值
a ?1

+ 单增

单减

? f ( x ) 在 ? a , 0 ? 上的最小值为 f ( a ? 1) ? e



则e

a ?1

?

1 2

,得 a ? ln

1 2

?1

若 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ? 1 时, f ( x ) 在 ? a , 0 ? 上单调递减,则 f ( x ) 在 ? a , 0 ? 上的最小值为
f (0) ? ? 1 a

,由 ?

1 a 1 2

?

1 2

,得 a ? ? 2 (舍)

综上所 述, a ? ln
'

?1
kx '

2.解: (Ⅰ) f ? x ? ? ? 1 ? kx ? e , f ? 0 ? ? 1, f ? 0 ? ? 0 , 曲线 y ? f ( x ) 在点 (0, f (0 )) 处的切线方程为 y ? x (Ⅱ)由 f ? x ? ? ? 1 ? kx ? e
' kx

? 0 ,得 x ? ?

1 k

?k

? 0? ,

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ? ? , ?
? ? ? ? , ? ? , ? 时, f k ? 1

?

1 ? ? 时, f k ?

'

? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减,

当x???

'

? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增,

若 k ? 0 , 则当 x ? ? ? ? , ?
? ? ? ? , ? ? , ? 时, f k ? 1

?

1 ? ? 时, f k ?

'

? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调 递增,

当x???

'

? x ? ? 0 ,函数

f

? x ? 单调递减,
1 k ? ? 1 ,即 k ? 1 时, 1 k ?1,

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若 k ? 0 ,则当且仅 当 ?

函数 f ( x ) 在 ? ? 1,1 ? 内单调递增;若 k ? 0 ,则当且仅当 ? 即 k ? ? 1 时 ,函数 f ( x ) 在 ? ? 1,1 ? 内单调递增,

综上可知,函数 f ( x ) 在区间 ? ? 1,1 ? 内单调递增时, k 的取值范围是 ? ? 1, 0 ? ? ? 0 ,1 ? 3、解: (Ⅰ) f '( x ) ?
a ax ? 1 ? 2 (1 ? x )
2

?

ax ? a ? 2
2

( a x ? 1)(1 ? x )

2

,

∵ f ( x ) 在 x=1 处取得极值,∴ f ? (1) ? 0 ,解得 a ? 1 .
ax ? a ? 2
2

(Ⅱ) f '( x ) ?

( a x ? 1)(1 ? x )

2

,

∵ x ? 0, a ? 0,

∴ ax ? 1 ? 0.

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ? ? ) 上 , f '( x ) ? 0, ∴ f ( x ) 的单调增区间为 (0, ? ? ).

②当 0 ? a ? 2 时, 由 f '( x ) ? 0 解 得 x ?
2?a a 2-a a , 由 f '( x ) ? 0 解 得 x ? 2?a a 2-a a ,

∴ f ( x )的 单 调 减 区 间 为 ( 0 ,

), 单 调 增 区 间 为 (

, ?) . ?

(Ⅲ)当 a ? 2 时,由(Ⅱ)①知 , f ( x )的 最 小 值 为 f (0 ) ? 1;
2?a a 2?a a

当 0 ? a ? 2 时, (Ⅱ) 由 ②知,f ( x ) 在 x ?

处取得最小值 f (

) ? f ( 0 ) ? 1,

综上可知,若 f ( x ) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [ 2 , ? ? ).

4、解析

(1) f ( x ) ? ?
'
'

1 x
2

e ?
x

1 x

e ?
x

x ?1 x
2

e , 由 f ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 .
x
' ' '

因为 当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ; 所 以 f ( x ) 的单调增区间是: [1, ? ? ) ;
(0,1] . 单调减区间是: ( ? ? , 0 ),

(2 )由

x ?1 ? k x ? k x f ( x )? k ( 1 x ) f ( x ?) ? 2 x
2 '

x

e ?

( x ? 1 ) ? k x ? 1 x) ( e ? 0, 2 x

得: ( x ? 1)( kx ? 1) ? 0 . 故:当 0 ? k ? 1 时, 解集是: { x 1 ? x ? 当 k ? 1 时,解集是: ? ; 当 k ? 1 时, 解集是 : { x
3 2

1 k

};

1 k

? x ? 1} .
' 2

(Ⅰ) f ( x ) ? x ? a x ? b x ? c , f ( x ) ? 3 x ? 2 a x ? b 5、解: 由 f (?
'
'

2 3

)?
2

12 9

?

4 3

a ? b ? 0 , f (1) ? 3 ? 2 a ? b ? 0 得 a ? ?
'

1 2

,b ? ?2

f ( x ) ? 3 x ? x ? 2 ? (3 x ? 2 )( x ? 1) ,

当 x 变化时, f ( x ) 、 f ( x ) 的变化情况如下表:
? ) 2 3 (? 2 3 ? ,1)
1

'

x

(?? , ?

2 3

(1, ? ? )

f (x)
f (x)

'

?

0

0

?

?

极大值

?
2 3

极小值

?
2 3 ,1) ;

所以函数 f ( x ) 的递增区间是 ( ? ? , ? (Ⅱ)由(1)可知 f ( x ) ? x ?
3

) 与 (1, ? ? ) ,递减区间是 ( ?

1 2

x ? 2 x ? c , x ? [ ? 1, 2 ] ,
2

当x ? ?

2 3

时, f ( ?

2 3

)?

22 27

? c 为极大值,

而 f ( 2 ) ? 2 ? c ,则 f ( 2 ) ? 2 ? c 为 最大值, 要使 f ( x ) ? c , x ? [ ? 1, 2 ] 恒成立,
2

则只需要 c ? f ( 2 ) ? 2 ? c ,
2

得 c ? ? 1, 或 c ? 2 。


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