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第六章特征值和特征向量.ppt_图文

时间:2019-03-24

第六章

矩阵的特征值和特值向量

矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之 一, 它有着广泛的应用. 本章将引进特征值和特征向量的 概念及其计算. 并给出将矩阵对角化的方法.

§1 矩阵的特征值和特征向量
一. 定义和求法 定义6.1 设A是n阶方阵, 如果数?0和n维非零列向量? 满足关系式 A?=?0 ?

则称?0为A的特征值, ?为A的属于?0的一个特征向量.

如果A是奇异矩阵(|A|=0), 则齐次线性方程组Ax=0 有非零解, 若记?为Ax=0的非零解, 则有 A?=0=0? 可见, ?0=0为奇异矩阵A的特征值, 方程组Ax=0的非零解 都是A的属于特征值?0=0的特征向量. 一般地, 由A?=?0 ?可得 (?0E ? A)?=0 可见, ?是n元齐次线性方程组 (?0E ? A)x=0 的非零解. 所以有|?0E ? A|=0.

定义6.2 设A是n阶方阵, ?是参数, 则行列式

??a 1 1
d e t(? E -A )? ? a 2 1 ? a n 1
征方程.

? a 1 2 ??a 2 2 ? a n 2

? a 1 n ? a 2 n

??a n n

称为方阵A的特征多项式. 称det(?E ? A)=0为方阵A的特 A的特征值就是特征方程的解, n阶方阵A有n个特征值.
A的属于特征值?i的特征向量就是齐次线性方程组 (?E ? A)x=0 的所有非零解.

例1 求矩阵
? 2 ?1 0? ? ? A ? ? ?1 2 0? ? 1 3 1? ? ?

的特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为

??2 1 0 1 ??2 0 =(?-1)[(?-2)2-1]=(?-1)2(?-3) ?1 ?3 ? ? 1
所以A的特征值为?1=?2=1, ?3=3. 对?1=?2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于

? ?1 1 0 ? ? 1 ? ? ? E ? A ? ? 1 ?1 0 ? ~ ? 0 ? ?1 ?3 0 ? ? ? ? ?0

0 1 0

0? ? 0? 0? ?

x1 ? 0 ? 得同解方程: ? , 基础解系为?1=(0,0,1)T. ?x2 ? 0

所以k?1(k≠0)是属于?1=?2=1的全部特征向量.

对?3=3, 解方程(3E-A)x=0, 由于
?1 ? 3E ? A ? ? 1 ? ?1 ? x1 ? ? x 3 ? 得同解方程: ? ? x 2 ? x3 0? ?1 ? ? 0? ~ ?0 ?0 ?3 2 ? ? ? 1 1

0 1 0

1 ? ? ? 1? 0 ? ?

, 基础解系为?2=(-1, 1, 1)T.

所以k?2(k≠0)是属于?3=3的全部特征向量.

例2 求矩阵
? 2 ?1 0? ? ? A ? ? ?1 2 0? ? 1 ?1 1? ? ?

的特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为

??2 1 0 1 ??2 0 =(?-1)[(?-2)2-1]=(?-1)2(?-3) ?1 1 ? ?1
所以A的特征值为?1=?2=1, ?3=3.

对?1=?2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于

T, ? =(0,0,1)T. 得同解方程: x , 基础解系为 ? =(1,1,0) ? x 1 2 1 2 所以属于?1=?2=1的全部特征向量为

? ?1 1 0 ? ? 1 ? ? ? E ? A ? ? 1 ?1 0 ? ~ ? 0 ? ?1 1 0 ? ? 0 ? ? ?

?1 0? ? 0 0? 0 0? ?

K1?1+k2?2 (k1,k2 不同时为0)

对?3=3, 解方程(A-3E)x=0, 由于
? 1 1 0? ?1 ? ? ~ ?0 3E ? A ? ? 1 1 0 ? ? ? ?1 1 2 ? ? 0 ? ? ?

0 1 0

x1 ? x 3 ? 得同解方程: ? , 基础解系为?3=(1, -1, 1)T. ? x 2 ? ? x3

? 1? ? 1 ? 0 ? ?

所以k?3(k≠0)是属于?3=3的全部特征向量.

例3 设方阵A可逆, 且λ是A的特征值, 证明1/λ是A-1 的特征值. 证 首先证明λ≠0. 用反证法: 假设λ=0是A的特征

值, 则
?0E - A?=?-A?=0 , 这与A可逆矛盾, 故λ≠0. 再设?是A对应特征值λ的特征向量 , 则 A?=λ?

?

A-1 ? =1/λ?

所以1/λ是A-1的特征值, 而且与A有相同的特征向量. 类似地, 若λ是A的特征值, 则λk是Ak的特征值. 一般地, 若λ是A的特征值,则?(λ)=a0+a1?+…+am?m

是?(A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值.

二. 特征值和特征向量的性质 由于

??a 1 1
d e t(? E -A )? ? a 2 1 ? a n 1

? a 1 2 ??a 2 2 ? a n 2

? a 1 n ? a 2 n

??a n n

=?n-(a11+a22+…+ann)?n-1+…+(-1)n|A| 利用多项式方程根与系数的关系可得: 定理6.1 设?1,?2,…,?n是n阶方阵A 的全部特征值, 则 ?1+?2+…+?n=a11+a22+…+ann

?1?2…?n=detA

定理6.2 设?1, ?2,…, ?s是方阵A 的互异特征值, ?1,

?2,…, ?s是分别属于它们的特征向量, 那么?1, ?2,…, ?s线性
无关. 证明 设x1?1+x2?2+…+xs?s=0 则, A(x1?1+x2?2+…+xs?s)=0, 即 ?1x1?1+?2x2?2+…+?sxs?s=0 类似地有: ?1kx1?1+?2kx2?2+…+?skxs?s=0 (k=0,1,…,s-1), 即
? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? (x ξ , x ξ ,..., x ξ ) 11 2 2 s s ? ? ? 1 ? s ?
s ? 1 ? ? 1 s ? 1? ? 2 ?

? ( 0 ,0 , ,0 ) ? ? s ? 1? ? s ?

所以有

(x1?1, x2?2,…, xs?s)=(0, 0, …, 0)
即, xj?j=0, 但?j?0, 故xj=0, (j=1,2,…,s)

所以向量组?1, ?2,…,?s线性无关.
定理6.3 设?1, ?2是A 的两个互异特征值, ?1, ?2,…, ?s

和?1, ?2,…, ?t分别是属于?1, ?2的线性无关的特征向量, 则
?1, ?2,…, ?s, ?1, ?2,…, ?t线性无关. 证明 设k1?1+k2?2+…+ks?s+l1?1+l2?2+…+lt?t=0 若?=k1?1+k2?2+…+ks?s ?0, ?=l1?1+l2?2+…+lt?t?0 则?+?=0, 而?, ?分别是属于?1, ?2的特征向量, 矛盾. 所以?=?=0, 即k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0, 线性无关.

例4 设3阶方阵A的特征值为1, -1, 2, 求|A*+3A-2E|. 解 由于A的特征值都不为0, 故A可逆. 而|A|=-2 于是 A*=?A?A-1=-2A-1. 于是 A*+3A-2E=-2A-1 +3A-2E=?(A) ?(A)的3个特征值为: ?(1)=-1, ?(-1)= -3, ?(2)=3, 于是 |A*+3A-2E|=|?(A)|=(-1)(-3)3=9

§2 相 似 矩 阵
一. 相似矩阵的定义和性质 定义6.3 设A ,B都是n阶方阵, 若存在可逆矩阵P, 使

P-1AP=B
则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵 A与B相似. 对A进行运算

P-1AP=B称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A 变成B
的相似变换矩阵. A与B相似记作A~B. 矩阵的相似关系具有下述性质: (ⅰ) 反身性: A~A; (ⅱ) 对称性: 若A~B, 则B~A; (ⅲ) 传递性: 若A~B, B~C, 则A~C.

定理6.4 相似矩阵有相同的特征多项式, 因此也有相

同的特征值.
证 若矩阵A与B相似, 则存在矩阵P, 使P-1AP=B , 故

??E - B?=?P-1(?E)P- P-1AP?=?P-1(?E - A)P?
=?P-1???E - A??P?=??E -A?

注意: 定理6.4的逆命题不成立. 例如矩阵

? 1 0 ? ? 1 1? ? ?和? ? ? 0 1 ? ? 0 1?
的特征多项式都是(?-1)2, 但它们不相似.

二. 与对角矩阵相似的条件 假设n阶方阵A与对角矩阵 ? ?1 ? ?2 ? ? ? ? ? ?n ? 相似. 也就是存在可逆矩阵P, 使得 P-1AP=?

? ? ? ? ? ?


AP=P? 记P=(?1, ?2,…, ?n), 则有

(A?1, A?2,…, A?n)=(?1?1, ?2?2,…, ?n?n)



A?i=?i?i , i=1,2,…,n
因为矩阵P可逆, 所以?1, ?2,…, ?n线性无关, 故?i?0, 于是?i

是矩阵A属于特征值?i的特征向量.

可见, 矩阵A与对角矩

阵相似, 则A有n个线性无关的特征向量. 反之, 设A有n个线性无关的特征向量?1, ?2,…, ?n, 且 A?i=?i?i , i=1,2,…,n, 令P=(?1, ?2,…, ?n), 则P可逆, 且 AP=(A?1, A?2,…, A?n)=(?1?1, ?2?2,…, ?n?n)=P? 即, P-1AP=?, 也就是说矩阵A与对角矩阵相似. 定理6.5 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件 是矩阵A有n个线性无关的特征向量.

可见, 前面的分析不但证明了定理6.5, 还给出了相似 变换矩阵P和对角矩阵?的求法.
? 2 ?1 0? ? ? 例如例1中的矩阵 A ? ? ? 1 2 0 ? ? 1 3 1? ? ?

没有3个线性无关的特征向量, 故A不与对角矩阵相似.
? 2 ?1 0? ? ? 而例2中的矩阵 A ? ? ? 1 2 0 ? ? 1 ?1 1? ? ?

由于其3个特征值为?1=?2=1, ?3=3. 对应的特征向量:

?1=(1,1,0)T, ?2=(0,0,1)T, ?3=(1, -1, 1)T线性无关, 所以

?1 取相似变换矩阵P=(?1, ?2, ?3)= ? 1 ? ?0 ? 可求得P的逆矩阵为
? 1 1 0? 1? ? ?1 P ? ? ?1 1 2 ? 2? ? 1 ? 1 0 ? ? 与A相似的对角矩阵为
Λ =P A P
1

0 0 1

1 ? ? -1 ? 1 ??

10 1 0 1? ? 1 ?1 1 0 ? ?2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 1 2 ? 1 2 0 1 0 ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 0 1 1 0 1 1 ? ? ? ? ? ? ?

1

? ? ? 3 ??

推论 若n阶矩阵A有n个互异特征值, 则A与对角矩阵 相似. 注意, 若矩阵A与对角矩阵Λ相似, 则Λ的对角线元素

恰是A的n个特征值, 故如不计对角线上元素的顺序, 则与
A相似的对角矩阵是唯一的. 若A= P-1BP, 则有: Ak=P-1Λk P, ?(A)=P-1?(Λ)P 而且有:
?λ k1 ? φ? λ1? ? ? ? ? ? ? k λ2 φ? λ2? ? ? k ? ? Λ ?? , φ ? Λ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k ? ? ? ? λ φ ? λ ? ? n? ? n ?

例5 设
求A50.

?5 ? A ? ?6 ?2 ?

?3 ?4 ?1

0 ? ? 0 ? ?1? ?

解 矩阵A的特征多项式为
? ?5
| ?E-A| ? ?6 ?2 3 0 ? ? 4 0 =(λ+1)2(λ-2) 1 ? ?1

可见, A的特征值是λ1=λ2=-1, λ3=2.

对于特征值λ1=λ2=-1, 由于
? ?2 ? ?6 3 0 ? ? ? ? ? 0 -E - A ? ? ? 6 3 0 ? ? ? 0 ? ?2 1 0 ? ? ? ? 1 0 0 0? ? 0? 0? ?

所以, 齐次线性方程组(-E-A)x=0的一个基础解系为: ?1=(1, 2, 0)T, ?2=(0, 0, 1)T. ?1, ?2就是属于特征值λ1=λ2=-1的线性无关的特征向量. 对于特征值λ3=2, 由于
?1 ? ?3 3 0 ? ? ? ? 2E - A ? ? ? 6 6 0 ? ? ? 0 ?0 ? ?2 1 3 ? ? ? ? 0 1 0 ?3? ? ?3? 0 ? ?

可见属于特征值λ3=2的一个特征向量为?3=(3, 3, 1)T. 令
? 1 0 3? ? ? P=(ξ, ξ, ξ )= 2 0 3 1 2 3 ? ? ? 0 1 1? ? ?

则有

? 3 3 0 5? 3 0? 103 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 PA P ?? ? 2 1 3 6 ? 4 0 2 0 3 ? ? ? ? ? ? 3 ?2 ? ? ? ? ? ? 1 0 2 ? 1 ? 1 0 1 1 ? ? ? ? ? ?


? ?1 0 0 ? ? ? ? 0 ?1 0 ? ? 0 0 2? ? ?

? ?1 0 0 ? ? ? A ? P ? 0 ?1 0 ? P -1 ? 0 0 2? ? ?
所以有

A50

? 251 ?1 ?1 0 0 ? ? ? -1 ? 51 ? P ? 0 1 0 ?P ? ? 2 ?2 50 ? 0 0 250 ? 2 ? (2 ?1) ? ? ?3

0? ? 50 2?2 0? 50 1 ? (1 ? 2 ) 1 3 ? 1? 250

定理6.6 设?0是n阶矩阵A的k重特征值, 则属于?0的 线性无关的特征向量的个数不大于k.

证明 设?1, ?2,…, ?t是属于?0的线性无关的特征向量.
则存在向量?t+1, ?t+2,…, ?n使?1, ?2,…, ?n线性无关. 令P=(?1, ?2,…, ?n), 则P可逆, 而且有

AP=(?0?1, ?0?2,…, ?0?t, A?t+1, A?t+2,…, A?n)
由于?1, ?2,…, ?n线性无关, 所以A?t+1, A?t+2,…, A?n都能由

?1, ?2,…, ?n线性表示, 所以可以令

AP=(?0?1, ?0?2,…, ?0?t, A?t+1, A?t+2,…, A?n)

??0 ? ? ?0 ? ? ? (?1,?2, ,?t ,?t?1,?t?2, ?n)? ? ? ? ? ? ? ?

c11 c12

c21 c22 c2t

?0 c1t

c1t?1 c2t?1 c1t?2 c2t?2 c1n c2n

cn?t1 ? ? cn?t2 ? ? ? cn?tt ? cn?tt?1 ? ? cn?tt?2 ? ? ? cn?tn ? ?

? Λ1 C1 ? ? P? ? ? PB ? 0 C2 ?

即矩阵A与B相似.

所以, A与B有相同的特征多项式, 即 |?E-A|=|?E-B|

?

? E 1 ?Λ 1
0

? E C 2? 2

? C 1

? ? E ? Λ E ? C 1 1? 2 2

? ? ? ? E C ? ?? 0 2? 2
t

因此, ?0的重数k?t. 推论 矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是, 对A 的任意特征值?0(重数为k), 属于?0的线性无关的特征向量

必有k个. 也就是R(?0E-A)=n-k.

§3 实对称矩阵的相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 设矩阵A=(aij), 用?aij表示aij的共轭复数, 记 ?A=(?aij ) 称?A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,?A=A. 共轭矩阵具有下列性质:

( 1 ) A + B = A + B;

_ _ _ _ _ _ _ _

(2) ?A=?A , 其中?是常数;
(3 ) A B=A B;
(4) A =AT ;
_____ T

____

_ _ _ _ _

定理6.7 实对称矩阵的特征值都是实数. 证 设λ为实对称矩阵A的特征值, ?是属于λ的特征 向量, 则有
T T T ξ A ξ = ξ ? ξ ? ? ξξ ,

由于AT=A,?A=A, 故有

ξA ξ= ( ξ A) ξ ? (A ξ) ξ ? ? ξ ξ
T T T
T

____

T

于是有

( ???)ξT ξ?0
由于??0, 所以??T??0, 因此????, 即?是实数.

显然, 实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量.

定理6.8 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量 是正交的. 证 设?1, ?2是实对称矩阵A的特征值, ?1, ?2分别是

属于它们的特征向量, 则有

ξA ξ ?ξ ξ 1=
T 2

T 1 2 1

而且
T T T T T = ? ξ ξ A ξ = ξ A ξ = ( A ξ ) ξ 2 2 ξ1 2 1 2 1 2 1

于是

( ? ? ) ξξ = 0 1? 2
T 2 1

由于?1??2, 所以?2T?1=0, 即?1, ?2正交.

二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理6.9 设A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵Q, 使 得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵. 证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立. 取n阶实对称矩阵A的任一特征值?1, 和属于?1的特征向量?1,

(取?1为单位向量).
再取?2, ?3,…, ?n 使 ?1, ?2,…, ?n为Rn的一组规范正交基.

于是有
A(?1, ?2,…, ?n )=(?1?1, A?2,…, A?n)

? ?1 =(?1, ?2,…, ?n ) ? ? 0

0 ? C ? B ?

记Q1=(?1, ?2,…, ?n) , 则Q1为正交矩阵, 且有

? ?1 0 ? Q1 ? 1= ? 0 B ? ? B是n-1阶实对称矩阵, 由假设, 存在n-1阶正交矩阵P, 使得
-1AQ

? ?2 ? P -1 BP ? ? ? ? ?

?3

? ? ? ? ? ?n ?

取n阶正交矩阵

?1 0 ? Q2 ? ? ? ?0 P?

则有

? ?1 ? ? 0? 2 1 T ?? ? Q2 ? ?Q2 ? ? ? 0 B? ? ?

? ? ? ? ? ?n ?

即, Q2-1 Q1-1AQ1Q2=Q2T Q1TAQ1Q2为对角矩阵. 只要取Q=Q1Q2是正交矩阵, 定理结论成立. 推论 设?0是实对称矩阵A的k重特征值, 则属于?0的 线性无关的特征向量恰有k个, 也即R(?0E-A)=n-k.

三. 实对称矩阵正交相似对角化的方法 用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的步骤如下: (1) 求出A的全部特征值; (2) 对每个特征值, 若其重数为k, 求出其k个线性无 关的特征向量. (3) 将求出的k个线性无关的特征向量规范正交化. (4) 用求出的n个规范正交的特征向量构造正交矩阵. (5) 写出对角矩阵.

例6 设

?1 ? A ? ?2 ?4 ?

2 1 4

4? ? 4? 7? ?

求一个正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角矩阵. 解 先求A的所有特征值 det(?E-A)
? ? 1 ?1 ? ? ?4 ? ? 1 ?2 ?4 ? ?3 0 ?8 ? ? 2 ? ? 1 ? 4 ? ?2 ? ? 1 ?4 ? ? 2 ? ? 1 ? 4 ?4 0 ? ?7 ?4 ?4 ? ? 7 ?4 0 ? ?7

=(?+1)(?2-10?-11)=(?+1)2(?2-11) 得特征值λ1=λ2=-1, λ3=11.

对λ1=λ2=-1, 由于
? ?2 ?2 ?4 ? ? ? -E-A ? ? ? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? ?4 ?4 ?8 ? ? ?

?1 ? ?0 ?0 ?

1 0 0

2? ? 0? 0 ??

所以方程组(-E-A)x=0等价于x1+x2+2x3=0, 一基础解系为 ?1=(-1, 1, 0)T, ?2=(-2, 0, 1)T, 将其正交化得: ?1=?1=(-1, 1, 0)T, ?2=?2-(?2T ?1/ ?1T?1)?1=?2-?1=(-1, -1, 1)T, 再单位化得:
1 1 1 1? ? , ? = ? /| ? | ? 1 ?1= ?1/| ?1 | =? , 0? 2 2 2 = ?? , ? , ? ?? , ? 2 2 ?
T

T

?

3

3

3?

对λ3=11, 由于
? 10 ?2 ?4 ? ? 1 ? ? 11E-A ? ? ?2 10 ?4 ? ? ? ?0 ? ?4 ?4 4 ? ? 0 ? ? ?

0 1 0

- 12 ? ? - 12 ? 0 ? ?
T

所以方程组(11E-A)x=0的一个基础解系为?3= (1, 1, 2)T,
1 1 2? 将其单位化得: ?3= ?3/| ?3 | =? , ? , ? ? 6 6 6?

而且, QTAQ=diag(-1, -1, 11).

?? 1 ? 2 所以得正交矩阵: Q=(?1, ?2, ?3) = ? 1 2 ? ? 0 ?

? ?

1 3 1 3 1 3

1 6 1 6 2 6

? ? ? ? ? ?

注意:方程组x1+x2+2x3=0的基础解系可直接取为:
1 ? 2 ? 1 ξ1= ? 2 ? ? 0

? ? ? , ? ?

? ? ξ2= ? ? ??

1 3 1 3 1 3

? ? ? ? ? ?

再如, 方程组x1-2x2-x3=0的基础解系可直接取为:

? 5 ? ? 1 ? ξ1= ? 5 ? ? ? ? 0 ?
2

? 1 ? ? ? ,β 2 = ? - 2 ? ,ξ 2 = ? 5 ? ? ?

? ? ?? ? ?

1 30 2 30 5 30

? ? ? ? ? ?

这样, 就不需要再进行规范正交化了.

作 业
习题A 第117页

矩阵特征值: 1 、5 、7 、8、12、13 相似对角化: 2、6、9、16、17 实对称矩阵相似对角化: 3、14


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