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2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本:第十章 计数原理 第三节 二项式定理 Word版含解析

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第三节

二项式定理

A 组 基础题组
1.(2014 四川,2,5 分)在 x(1+x)6 的展开式中,含 x3 项的系数为( A.30 2.二项式 A.180 3.在 A.20 B.15 B.90 B.20 C.15 D.10 ) )

的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大,则展开式中常数项是( C.45 D.360 )

的展开式中,如果 x3 的系数为 20,那么 ab3=( C.10 D.5

4.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且 a1+a2+…+a6=63,则实数 m 的值为( A.1 或 3 B.-3 C.1 D.1 或-3

)

5.(2015 湖北,3,5 分)已知(1+x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项 式系数和为( A.212 B.211 ) C.210 D.29 的展开式中,常数项是 .(用数字作答) .

6.(2016 北京昌平期末)在 7.已知 8.(1+ )6

的展开式的各项系数和为 32,则展开式中 x4 的系数为 的展开式中的常数项为 .

9.已知(a2+1)n 的展开式中的各项系数之和等于 开式中系数最大的项等于 54,求 a 的值.

的展开式的常数项,而(a2+1)n 的展

10.已知函数 f(x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n(n≥3). (1)求展开式中 x2 的系数; (2)求展开式中各项的系数之和.

B 组 提升题组
11.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则 a1+2a2+3a3+4a4+5a5=( A.32 B.-1 C.10 D.1 的展开式中 ,含 x2 的项的系数为 )

12.(2016 福建厦门海沧实验中学等联考 ) 在 ( A.10 ) B.30 C.45 D.120

13.若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中 a0,a1,a2,…,a5 为实数,则 a3= . cosxdx,则 的展开式中常数项为 .

14.(2016 河北保定期末)若 a= 15.在(2x-3y)10 的展开式中,求: (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和;

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和.

16.(2016 吉林长春检测)已知二项式

.

(1)若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的 项的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.

答案全解全析 A 组 基础题组
1.C 在(1+x)6 的展开式中,含 x2 的项为 T3= · x2=15x2,故在 x(1+x)6 的展开式中,含 x3 的项的系

数为 15. 2.A 由二项展开式中系数的性质,得 n=10,∴Tr+1= =180. a4-rbrx24-7r,令 24-7r=3,得 r=3,则 a0=(1+0)6=1. 令 x=1, 得 ab3=20,∴ab3=5. (1+m)6=a0+a1+a2+…+a6. 又 · ( )10-r =2r · ,令 5- r=0,则 r=2,

从而展开式的常数项是 T3=4 3.D 展开式的通项为 Tr+1= 4.D 令 x=0, 得

a1+a2+a3+…+a6=63,∴(1+m)6=64=26,∴1+m=±2,∴m=1 或 m=-3. 5.D ∵(1+x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数分别为 ∵ 又 + + + + +…+ = + =210, +…+ + , +…+ =29. , ,∴ = ,得 n=10.

+…+

∴奇数项的二项式系数和为 6.答案 60 解析 T5=22×

展开式的通项为 Tr+1= =60.

(2x2)6-r·

=(-1)r· 26-r· · x12-3r, 令 12-3r=0,得 r=4,∴常数项是

7.答案 10 解析 令 x=1,得 2n=32,所以 n=5,则展开式的通项为 Tr+1= r=2,所以展开式中 x4 的系数为 8.答案 4246 解析 分别求两个因式的通项 :Tr+1= ,Tr'+1= ,由 · = , 令 - =0, 又 =10. (x2)5-r = x10-3r,令 10-3r=4,得

0≤r≤6,0≤r'≤10,且 r、r'为整数,解得 r=r'=0,或 r=3 且 r'=4,或 r=6 且 r'=8.

∴常数项为 1+ 9.解析 Tr+1= 令 =0,得 r=4,

+

=4246. 的展开式的通项为 = · · ,

所以常数项为 T5=

× =16.

又(a2+1)n 的展开式中的各项系数之和等于 2n, 所以 2n=16,n=4, 所以(a2+1)4 的展开式中系数最大的项是 T3= 所以 a=± . + + +…+ a4=54,

10.解析 (1)展开式中 x2 的系数为 = = = + + + + +…+

+…+ +…+ = = . =2n+1-2.

=…=

(2)展开式中各项的系数之和为 f(1)=2+22+23+…+2n=

B 组 提升题组
11.C 原 等 式 两 边 求 导 得 10(2x-3)4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4, 令 x=1, 得

a1+2a2+3a3+4a4+5a5=10.故选 C. 12.C 因为 = =(1+x)10+ (1+x)9 +…+ =45.故选 C. , 所以

x2 项只能在(1+x)10 的展开式中出现,所以含 x2 的项为 13.答案 10 解析 由于 f(x)=x5=(1+x)-1]5,所以 a3= 14.答案 解析 ∵a= cosxdx=2 cosxdx (-1)2=10.

x2,系数为

=2sinx =2sin =2, ∴ = = , · ( )r.

通项公式为 Tr+1= 当 r=0,2,4 时才会有常数项, 故展开式的常数项为

+ +

· ··· ( +…+

)2+ =210.

(

)4= +12+4= .

15.解析 (1)二项式系数的和为

(2)令 x=y=1,则各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1. (3)奇数项的二项式系数和为 偶数项的二项式系数和为 + + +…+ +…+ =29, =29.

(4)设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10, 令 x=y=1,得 a0+a1+a2+…+a10=1,① 令 x=1,y=-1(或 x=-1,y=1), 得 a0-a1+a2-a3+…+a10=510,② ①+②得 2(a0+a2+…+a10)=1+510, ∴奇数项系数和为 ;

①-②得 2(a1+a3+…+a9)=1-510, ∴偶数项系数和为 . + =2 ,∴n2-21n+98=0,

16.解析 (1)由题意知 ∴n=7 或 n=14.

当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5, T4 的系数为 T5 的系数为 23= , 24=70.

当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8,

T8 的系数为 (2)由题意知 + +

27=3432. =79,∴n2+n-156=0.

∴n=12 或 n=-13(舍去). 设 Tk+1 项的系数最大, ∵ ∴ ∴9.4≤k≤10.4,又 k 为整数,∴k=10. ∴展开式中系数最大的项为 T11, T11= · · 210· x10=16896x10. = (1+4x)12,


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