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【配套K12】高中数学第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法课堂导学案新人教A版必修1

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小初高试卷教案类

1.2.2 函数的表示法
课堂导学 三点剖析 一、函数的三种表示方法 【例 1】 作出下列函数的图象: (1)y=2-x,x∈Z; 2 (2)y=2x -3x-2(x>0);

?1 ? , (3)y= ? x ?x 2 , ?

x ? 1, x ? 0.

思路分析:作函数图象主要有两种思路:①利用列表描点法,②转化为基础函数,利用基本 函数图象作复杂函数图象. 解:(1)这个函数图象是由一些点组成的,这些点都在直线 y=2-x 上.如图 1 所示.

图1 2 (2)这个函数图象是抛物线的一部分,可先利用描点法作出 y=2x -3x-2 的图象,然后 截出需要的图象,如图 2 所示.

图2 (3)这个图象是由两部分组成的,当 x≥1 时,为双曲线 y= 抛物线 y=x 的一部分,如图 3 所示.
2

1 的一部分,当 x<1 时,为 x

图3 温馨提示 1.从本题可以看出,函数的图象不一定是一条或几条平滑曲线,也可是一些孤立的点、 线段、射线等,这要由定义域对应关系确定. 2.函数的图象对研究函数性质和解决有关问题十分重要,它是研究函数性质的直观图, K12 小学初中高中

小初高试卷教案类 也是数形结合的有力工具. 【例 2】 由函数 f(x)是一次函数,且满足关系式 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数解析式. 思路分析:由于 f(x)是一次函数,因此可设 f(x)=ax+b(a≠0),然后利用条件列方程(组), 再求系数. 解:f(x)是一次函数,设 f(x)=ax+b(a≠0).由于 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 因此 3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17,则得 ?

?a ? 2, ?5a ? b ? 17,

即?

?a ? 2, 故函数解析式为 f(x)=2x+7. ?b ? 7.

温馨提示 求已知函数的解析式通常利用待定系数法.由于常见的已知函数(正比例函数、 反比例函 数、一次函数、二次函数等)的解析式结构形式是确定的,故可用待定系数法确定其解析式, 即若已知函数类型,可设所求函数解析式,然后利用已知条件列方程(组),再求系数. 二、根据已知关系,写出函数的解析式 【例 3】 在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一动点 P,从 B 点开始,沿折线 BCDA 向 A 点运 动(如右图),设 P 点移动的距离为 x,△ABP 的面积为 y,求函数 y=f(x)及其定义域.

思路分析:由于 P 点在折线 BCDA 上位置不同时,△ABP 各有特征,计算它们的面积也有不 同的方法,因此这里要对 P 点位置进行分类讨论,由此 y=f(x)很可能是分段函数. 解:如上图,当点 P 在线段 BC 上时,即 0<x≤4,y= 当 P 点在线段 CD 上时,即 4<x≤8,y=

1 ×4×x=2x; 2

1 ×4×4=8; 2 1 当 P 点在线段 DA 上时,即 8<x<12,y= ×4×(12-x)=24-2x. 2

?2 x , ? ∴y=f(x)= ?8, ?24 ? 2 x, ?

0 ? x ? 4, 4 ? x ? 8, 8 ? x ? 12,

且 f(x)的定义域是(0,12). 温馨提示 分段函数作为一类重要的函数, 其对应关系不能用统一的对应法则来表示, 处理分段函 数的问题时除要用到分类讨论思想外,还要注意其中整体和局部的关系. 【例 4】 (1)已知 f( x +1)=x+2 (2)已知 f(x)满足 af(x)+f(

x ,求 f(x);

1 )=ax(x∈R 且 x≠0,a 为常数,且 a≠±1),求 f(x). x

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小初高试卷教案类 解:(1)解法一:令 t= x +1,则 x=(t-1) ,t≥1 代入原式有 f(t)=(t-1) +2(t-1)=t -2t+1+2t-2=t -1. 2 ∴f(x)=x -1(x≥1). 温馨提示 此种解法称为换元法,所谓换元法即将接受对象“
2 2 2 2

x +1”换作另一个字母“t”,然

后从中解出 x 与 t 的关系,代入原式中便可求出关于“t”的函数关系,此即为所求函数解 析式. 解法二:x+2 x =( x ) +2 x +1-1=( x +1) -1,
2 2

∴f( x +1)=( x +1) -1( x +1≥1),即 f(x)=x -1(x≥1).
2 2

温馨提示 此方法为直接变换法或称配凑法,通过观察,分析将右端的表达式变为“接受对象”的 表达式,即变为关于 x +1 的表达式. (2)∵af(x)+f(

1 1 1 a )=ax,将原式中的 x 与 互换得 af( )+f(x)= , x x x x

于是得关于 f(x)的方程组:

1 ? af ( x) ? f ( ) ? ax, ? ? x ? ?af ( 1 ) ? f ( x) ? a . ? x x ?
解得 f(x)=

a(ax2 ? 1) (a≠±1). (a 2 ? 1) x

温馨提示 本题求解析式的方法称为方程法.函数是定义域到值域上的映射,定义域中的每一个元 素都应满足函数表达式,在已知条件下,x 满足已知的式子,那么 式子,这样得到两个关于 f(x)与 f(

1 在定义域内也满足这个 x

1 )的方程,因而才能解出 f(x). x

三、映射的概念 【例 5】 下面的对应哪些是从集合 M 到集合 N 的映射?哪些是函数? (1)设 M=R,N=R,对应关系 f:y=

1 ,x∈M; x

(2)设 M={平面上的点}, N={(x,y)|x,y∈R}, 对应关系 f:M 中的元素对应它在平面上的坐标; (3)设 M={高一年级全体同学},N={0,1},对应关系 f:M 中的男生对应 1,女生对应 0; 2 (4)设 M=R,N=R,对应关系 f(x)=2x +1,x∈M; (5)设 M={1,4,9},N={-1,1,-2,2,3,-3},对应关系:M 中的元素开平方. 思路分析: 判断一个对应是否构成映射, 关键是看 M 中的任一元素在 N 中按照给定的对应关 系是否有唯一元素与之对应,是映射但不一定构成函数,只有 M、N 都是非空数集,且从 M K12 小学初中高中

小初高试卷教案类 到 N 构成映射时,才能确定构成从 M 到 N 的函数;不是映射的,更不可能构成函数. 解:(1)M 中的 0 在 N 中没有元素与之对应,从 M 到 N 的对应构不成映射. (2)(3)都符合映射定义,能构成从 M 到 N 的映射,但由于 M 不是非空数集,因此构不成 函数. (4)从 M 到 N 的对应既能构成映射,又能构成函数. (5)M 中的元素在 N 中有两个元素与之对应,所以构不成映射. 温馨提示 1.映射概念中的两个集合 A、B,它们可以是数集、点集或其他集合,而函数不同,A、 B 必须是非空数集. 2.A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是不同的,同学们判断时应注意“方向性”否则会导致 错误. 各个击破 类题演练 1 作出下列函数的图象. (1)y=x,|x|≤1; (2)y=1-x,x∈Z 且|x|≤2; (3)y=

x2 ? x ; x ?1

解:(1)此函数图象是直线 y=x 的一部分.

(2)此函数的定义域为{-2,-1,0,1,2},所以其图象是由五个点组成,这些点都在 直线 y=1-x 上.(这样的点叫做整点)

(3)先求定义域,在定义域上化简函数式 y= 所示.

x2 ? x =x,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).如下图 x ?1

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小初高试卷教案类 变式提升 1 设[x]是不超过 x 的最大整数,作下列函数的图象. (1)f(x)=[x]; (2)h(x)=x-[x],x∈[-2,2]. 解:(1)f(x)=[x]=n(n≤x<n+1,n∈Z),即 f(x)=n(n≤x<n+1,n∈Z). ∴f(x)=[x]的图象是无数条线段,不包括线段的右端点.注意在 x 轴上的线段的端点 是(0,0)、(1,0).见下图(A). (2)h(x)=x-[x] x∈[-2,2]化为

? x ? 2, ? x ? 1, ? ? h(x)= ? x, ? x ? 1, ? ? ?0,

? 2 ? x ? ?1, ? 1 ? x ? 0, 0 ? x ? 1, 1 ? x ? 2, x ? 2.

h(x)的图象是四条线段和点(2,0),注意均不含线段上面的端点,见下图(B).

图(A)

图(B) 类题演练 2 已知 f(x)是二次函数,且满足 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x). 2 解析:①设 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 2 2 由 f(0)=1 得 c=1,而 f(x+1)-f(x)=[a(x+1) +b(x+1)+c]-(ax +bx+c)=2ax+a+b. 由已知 f(x+1)-f(x)=2x 得 2ax+a+b=2x.所以 ?
2

?2a ? 2, 解得 a=1,b=-1. ?a ? b ? 0,

故 f(x)=x -x+1. 变式提升 2 求函数 y=2|x-1|-3|x|的最大值. 思路分析:本题为绝对值函数,应先由零点分段讨论法去掉绝对值符号,变为分段函数,再 画出分段函数的图象,然后解之.

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?? x ? 2, ? 解: ?? 5 x ? 2, ? x ? 2, ?

x ? 1, 0 ? x ? 1, x ? 0.

作出函数图象如右上图,由图象可知 x=0 时,ymax=2. 类题演练 3 国家规定个人稿费纳税办法是:不超过 800 元的不纳税;超过 800 元不超过 4 000 元的按超 过 800 元部分的 14%纳税;超过 4 000 元的按全部稿费的 11%纳税. (1)试根据上述规定建立某人所得稿费 x(元)与纳税额 y(元)之间的函数关系式; (2)某人出了一本书,共纳税 420 元,则这个人的稿费是多少元?

?0, ? 答案:(1) ?( x ? 800) ? 14%, ? x ? 11%, ?

x ? x ? 800, 800 ? x ? 4000 , x ? 400.

(2)3 800 变式提升 3 某商场因拆迁将库存的原价 100 元/套的时装 50 套作减价处理, 规定: 不超过 5 件按八五折 (即原价的 85%);6 件到 20 件(包含 20 件)按六五折;20 件以上打五折. (1)你能表示出上述规定中的单价与所买件数之间的函数关系式吗? (2)你能表示出上述规定中付出与购买件数的函数关系式吗?

?85, ? 答案:(1)y= ?65, ?50, ? ?85x, ? (2)y= ?65x, ?50x, ?
类题演练 4

1 ? x ? 5, 6 ? x ? 20, 21 ? x ? 50. 1 ? x ? 5, 6 ? x ? 20, 21 ? x ? 50.

1 x )= ,则 f(x)=____________. x 1 ? x2 x 1 2 1 x x x 解法一:∵f( )= = x 2 = ,∴f(x)= 2 . 2 1 2 x 1? x 1? x x ?1 ( ) ?1 x x2 1 1 解法二:设 t= ,则 x= , x t
如果 f(

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1 x )= , x 1 ? x2 1 t t 得 f(t)= = 2 , 1 2 t ?1 1? ( ) t x 故 f(x)= 2 . x ?1
代入 f( 变式提升 4

x ? 1 x2 ? 1 1 已知 f( )= + ,求 f(x). x x x2
解法一:∵f(

x ? 1 x2 ? 1 1 )= + x x x2

=(

x ? 1 2 2x 1 x ?1 2 1 x ?1 2 x ?1 ) - 2 + =( ) - =( )+1, x x x x x x x
2

∴f(x)=x -x+1. 解法二:设

1? x =u, x 1 则 x= ,u≠1. u ?1
则 f(u)=f(
2

x ? 1 x2 ? 1 1 1 1 2 )= + =1+ 2 + =1+(u-1) +(u-1). 2 x x x x x

∴f(x)=x -x+1(x≠1). 温馨提示 解决这类考查求函数表达式的问题的关键是弄清楚对一个自变量“x”而言,“f”是怎 样的对应规律. 类题演练 5 (1)下列对应是从 A 到 B 的函数的是( ) 2 x ①A={x|x≥0,x∈R},B=R,f:x→y =x ②A=N,B={-1,1},f:x→(-1) ③A={三角形}, B={圆}, 3 f:三角形→三角形的外接圆 ④A=R,B=R,f:x→y=x A.②④ B.② C.④ D.①②④ 答案:A (2)f:A→B 是集合 A 到集合 B 的映射,A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:(x,y)→(kx,y+b),若 B 中的元素 (6, 2) , 在此映射下的原象是 (3, 1) , 则 k=_____________,b=______________. 解析:由 ?

?3k ? 6, ?k ? 2, ?? ?1 ? b ? 2 ?b ? 1.

答案:2 1 变式提升 5 已知集合 A={a|a<5,a∈N}到集合 B 的对应法则是“乘 3 加 2”,集合 B 到集合 C 的对应法则 是“求算术平方根”. K12 小学初中高中

小初高试卷教案类 (1)试写出集合 A 到集合 C 的对应法则 f; (2)求集合 C; (3)集合 A 到集合 C 的对应是映射吗? 解析:(1)设 x∈A,y∈B,z∈C,依题意 y=3x+2,z=

y ,∴z= 3x ? 2 ,

∴从集合 A 到集合 C 的对应法则是 f:x→z= 3x ? 2 . (2)∵A={a|a<5,a∈N}={0,1,2,3,4}, ∴C={ 2 , 5 ,2 2 , 11 , 14 }. (3)因为对于集合 A 内任一元素 x 在集合 C 中都有唯一的一个元素 z 与之对应,所以 A 到 C 的对应法则 f 是 A 到 C 的映射.

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