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广东文科数学历年真题(立体几何大题)

时间:2013-12-21


广东文科数学历年真题(立体几何大题)
2012年广州一模 1. (本小题满分14分) 如图 5 所示,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC ? 6 ,平面 PAC ? 平面 ABC ,

PD ? AC 于点 D , AD ? 1 , CD ? 3 , PD ? 2 . (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)证明△ PBC 为直角三角形.

图5 2011 广东文数 2. (本小题满分 13 分) 图 5 所示的几何体是将高为 2,底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一

? ? ? ? 半沿切面向右水平平移后得到的. A, A?, B, B? 分别为 CD , C ?D? , DE , D?E ? 的中点,
O1 , O1? , O2 , O2? 分别为 CD , C ?D ? ,
DE , D ?E ? 的中点.
(1)证明: O1? , A?, O2 , B 四点共面; (2)设 G 为 AA? 中点,延长 A?O1? 到 H ? ,使得 O1? H ? ? A?O1? .证明: BO2? ? 平面

H ?B?G .

图5

1

2010 年广东文数 3.(本小题满分 14 分) 如图 4, 弧AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为
w_w w. k#s5_u.c o *m

线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED , FB = 5a . (1)证明: EB ? FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离.
w_w*w.k_s_ 5 u.c*o*m

2009 年广东文数 4.(本小题满分 13 分) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH, 下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图 (2)求该安全标识墩的体积 (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG

2

2008 年广东文数 5.(本小题满分 14 分) 如图 5 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆 的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP~△BAD. (1)求线段 PD 的长; (2)若 PC= 11 R,求三棱锥 P-ABC 的体积.
P

A

D

B C

1. (2012年广州一模) (1) 证明: 因为平面 PAC ? 平面 ABC , 平面 PAC ? 平面 ABC ? AC , PD ? 平面 PAC ,

PD ? AC , 所以 PD ? 平面 ABC . 记 AC 边上的中点为 E ,在△ ABC 中,因为 AB ? BC , 所以 BE ? AC .
因为 AB ? BC ? 6 , AC ? 4 , 所以 BE ?

BC 2 ? CE 2 ?

? 6?

2

? 22 ? 2 .

所以△ ABC 的面积 S ?ABC ? 因为 PD ? 2 ,

1 ? AC ? BE ? 2 2 . 2

所以三棱锥 P ? ABC 的体积 VP ? ABC ?

1 1 4 2 ? S ?ABC ? PD ? ? 2 2 ? 2 ? . 3 3 3

(2)证法 1:因为 PD ? AC ,所以△ PCD 为直角三角形. 因为 PD ? 2 , CD ? 3 , 所以 PC ?

PD2 ? CD2 ? 22 ? 32 ? 13 .

连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,
o 因为 ?BED ? 90 , BE ? 2 , DE ? 1 ,

所以 BD ?

BE 2 ? DE 2 ?

? 2?

2

? 12 ? 3 .
3

由(1)知 PD ? 平面 ABC ,又 BD ? 平面 ABC , 所以 PD ? BD . 在 Rt △ PBD 中,因为 ?PDB ? 90 , PD ? 2 , BD ? 3 ,
o

所以 PB ?

PD 2 ? BD 2 ? 22 ?

? 3?

2

? 7.

在 ?PBC 中,因为 BC ? 6 , PB ? 所以 BC ? PB ? PC .
2 2 2

7 , PC ? 13 ,

所以 ?PBC 为直角三角形.
o 证法 2:连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 ?BED ? 90 , BE ? 2 , DE ? 1 ,

所以 BD ?

BE 2 ? DE 2 ?

? 2?

2

? 12 ? 3 .

在△ BCD 中, CD ? 3 , BC ? 6 , BD ? 3 ,
2 2 2 所以 BC ? BD ? CD ,所以 BC ? BD .

由(1)知 PD ? 平面 ABC , 因为 BC ? 平面 ABC , 所以 BC ? PD . 因为 BD ? PD ? D , 所以 BC ? 平面 PBD . 因为 PB ? 平面 PBD ,所以 BC ? PB . 所以 ?PBC 为直角三角形. 2.(2011 广东文数) 证明: (1)连接 BO2 , O2O2? , 依题意得 O1 , O1? , O2 , O2? 是圆柱底面圆的圆心 ∴ CD, C ?D?, DE, D?E? 是圆柱底面圆的直径

? ? ? ∵ A?, B, B? 分别为 C ?D? , DE , D?E ? 的中点
∴ ?A?O1? D? ? ?B?O2? D? ? 90 ∴ A?O1? ∥ BO2? ∵ BB? / / O2O2? ,四边形 O2O2? B?B 是平行四边形 ∴ BO2 ∥ BO2? ∴ A?O1? ∥ BO2
4
?

∴ O1? , A?, O2 , B 四点共面 (2)延长 A?O1 到 H ,使得 O1? H ? AO1? ,连接 HH ?, HO1? , HB ∵ O1? H ? ? A?O1? ∴ O1? H ? / / O2? B ? ,四边形 O1?O2? B ?H ? 是平行四边形 ∴ O1?O2? ∥ H ?B ? ∵ O1?O2? ? O2O2? , O1?O2? ? B ?O2? , O2O2? ? B?O2? ? O2? ∴ O1?O2? ? 面 O2O2? B?B ∴ H ?B ? ? 面 O2O2? B?B , BO2? ? 面 O2O2? B?B ∴ BO2? ? H ?B ? 易知四边形 AA?H ?H 是正方形,且边长 AA? ? 2

? ∵ tan ?HO1 H ? ?

A?G 1 HH ? ? ? 2 , tan ?A?H ?G ? A?H ? 2 O1?H ?

? ∴ tan ?HO1H ? ? tan ?A?H ?G ? 1

? ∴ ?HO1H ? ? ?A?H ? ? 90? G
∴ HO1? ? H ?G 易知 O1?O2? / / HB ,四边形 O1?O2? BH 是平行四边形 ∴ BO2? ∥ HO1? ∴ BO2? ? H ?G , H ?G ? H ?B? ? H ? ∴ BO2? ? 平面 H ?B?G . 3.(2010 年广东文数) 法一: (1)证明:∵点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, ∴点 B 为圆的圆心 又∵E 是弧 AC 的中点,AC 为直径, ∴ BC ? EB 即 BD ? EB ∵ FC ? 平面 BDE , EB ? 平面 BDE , ∴ FC ? EB 又 BD ? 平面 FBD , FC ? 平面 FBD 且 BD ? FC ? C ∴ EB ? 平面

FBD
又∵ FD ? 平面 FBD , ∴ EB ? FD (2)解:设点 B 到平面 FED 的距离(即三棱锥 B ? FED 的高)为 h .

5

∵ FC ? 平面 BDE , ∴FC 是三棱锥 F-BDE 的高,且三角形 FBC 为直角三角形 由已知可得 BC ? a ,又 FB ?

5a

∴ FC ?

( 5a) 2 ? a 2 ? 2a

在 Rt?BDE 中, BD ? 2a, BE ? a ,故 S ?BDE ? ∴ V F ? BDE ?

1 ? 2a ? a ? a 2 , 2

1 1 2 S ?BDE ? FC ? ? a 2 ? 2a ? a 3 , 3 3 3 又∵ EB ? 平面 FBD ,故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角形,
∴ EF ? 6a, DE ? 5a ,在 Rt?FCD 中, FD ?

5a , ∴ S ?FED ?

21 2 a , 2

∵ VF ? BDE ? VB ? FED 即

1 21 2 2 4 21 ? a ? h ? a 3 ,故 h ? a, 3 2 3 21 4 21 a. 21

即点 B 到平面 FED 的距离为 h ?

法二:向量法,此处略,请同学们动手完成。 4.(2009 年广东文数) 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? VP? EFGH ? VABCD? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3
(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , 又 EG ? HF 又 BD P HF

? cm ?
2

? PO ? HF

? HF ? 平面 PEG ? BD ? 平面 PEG;

6

5.(2008 年广东文数) 解: (1)因为 BD 是园的直径,所以 ?BAD ? 90 又△ADP~△BAD.
?

3 ? 4R2 ? AD DP AD 2 ? BD sin 60 ? 4 ? 3R 所以 ? , DP ? ? ? BA AD BA ? BD sin 30? ? 2 R ? 1 2 ? (2)在 Rt ? BCD 中, CD ? BD cos 45 ? 2R 2 2 2 2 2 因为 PD ? CD ? 9R ? 2R ? 11R ? 所以 PD ? CD 又 ?PDA ? 90 所以 PD ? 底面 ABCD ? 3 1 1 2 1 2? 3? 2 S? ABC ? AB ? BC sin ? 60? ? 45? ? ? R ? 2 R ? ? ? ? R ?? ? 2 2 2 2 2 2 ? 4 ? ? 三棱锥 P ? ABC 体积为
1 1 3 ?1 2 3 ?1 3 VP ? ABC ? ? S? ABC ? PD ? ? R ? 3R ? R 3 3 4 4
7. (本题满分 13 分)(肇庆文科数学模拟题) 如 图 4 , 已 知 三 棱 锥 P ? ABC 的 则 面 PAB 是 等 边 三 角 形 , D 是 AB 的 中 点 , (2)求点 C 到平面 PAB 的距 PC ? BC ? AC ? 2, PB ? 2 2 .(1)证明: AB ? 平面 PCD ;

离.
7

17 证明:(1)∵ PC ? BC ? AC ? 2, PB ? 2 2 , PAB 是等边三角形 ∴ PC ? BC ? PB ,故 ?PCB 是直角三角形, ?PCB ? 90
2 2 2 0

∴ PC ? BC 同理可证 PC ? AC ∵ BC , AC ? 平面 ABC ,∴ PC ? 平面 ABC 又∵ AB ? 平面 ABC ,∴ AB ? PC 又∵ D 是 AB 的中点,∴ AB ? CD ∵ PC ? CD ? C , ∴ AB ? 平面 PCD (2) ∵ BC ? AC ? 2, AB ? PB ? 2 2 ,

(2 分) (3 分) (4 分) (5 分) (6 分) (7 分)

∴ AC ? BC ? AB ,故 ?ACB 是直角三角形, ?ACB ? 90 (8 分)
2 2 2 0

1 1 AC ? BC ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2 由(1)可知, PC 是三棱锥 P ? ABC 的高 1 1 4 ∴ V p ? ABC ? S ?ABC ? PC ? ? 2 ? 2 ? 3 3 3
∴ S ?ABC ? 又∵ ?PAB 是边长为 2 2 等边三角形, ∴ S?ABP ?

(9 分)

(10 分)

1 1 3 PA ? PB sin 600 ? ? 2 2 ? 2 2 ? ?2 3 2 2 2 1 2 3 S?PAB ? h ? h 3 3

(11 分)

设点 C 到平面 PAB 的距离为 h ,则 VC ? PAB ?

(12 分)

∵ VC ?PAB ? Vp? ABC ,即

2 3 4 2 3 h ? ,解得 h ? 3 3 3 2 3 3
(13 分)

∴点 C 到平面 PAB 的距离为

9.(本小题满分 14 分) (2013 年汕头市文科数学模拟题) 在如图所示的几何体中,平面 ACE ? 平面 ABCD,四边形 ABCD 为平行四边形,

?ACB ? 90? , EF // BC , AC ? BC ? 2
AE=EC=1. (1)求证: AE ? 平面 BCEF; (2)求三棱锥 D-ACF 的体积.



.解:(1)∵平面 ACE ? 平面 ABCD,且平面

8

ACE ? 平面 ABCD=AC

? BC ? AC BC ? 平面 BCEF AE ? 平面 AEC ? BC ? AE ,
又 AC ?

? BC ? 平面 AEC

………2 分 …………3 分 …4 分 ……6 分

2 , AE ? EC ? 1

? AC 2 ? AE 2 ? CE 2

? AE ? EC

且 BC ? EC ? C ,? AE ? 平面 ECBF.

(2)设 AC 的中点为 G,连接 EG,? AE ? CE ∵平面 ACE ? 平面 ABCD,且平面 ACE

? EG ? AC

……7 分

? 平面, ABCD ? AC ,
? BC ? EG ,……8 分
………9 分

? EG ? 平面 ABCD ………9 分 (法二:由(1)可知 BC ? 平面 AEC,? EG ? 平面 AEC
又 AC

?BC ? C

? EG ? 平面 ABCD.

? EF // BC , EF ? 平面 ABCD, ?
所以点 F 到平面 ABCD 的距离就等于点 E 到平面 ABCD 的距离 即点 F 到平面 ABCD 的距离为 EG 的长 …………………11 分

1 ?VD? ACF ? VF ? ACD ? VE ? ACD ? s?ACD EG 3 ? S ?ACD ? 1 1 AC ? AD ? ? 2 ? 2 ? 1 2 2

EG ?

1 2 AC ? 2 2

…………13 分

1 2 2 ? VD ? ACF ? ?1? ? 2 6 3

即三棱锥 D-ACF 的体积为

2 . …………14 分 6

17. (本小题满分 14 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , D 、E 分别为 A1 B1 、
C1

1 AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ? AB . 4

A1

D

B1

(Ⅰ)求证: EF // 平面 BDC1 ; (Ⅱ)在棱 AC 上是否存在一个点 G ,使得平面 EFG 将 三棱柱分割成的两部分体积之比为 1 : 15,若存在,指出 点 G 的位置;若不存在,说明理由. 1 证明:取 AB 的中点 M,? AF ? AB ? F 为 AM 的中点, 4 又? E 为 AA1 的中点,? EF // A1 M 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , M 分别为 A1 B1 , AB 的中点, ? A1 D // BM , A1 D ? BM ,
9
E C G
E C

A

F

C1 D

B

A1

B1

? A1 DBM 为平行四边形,? A1 M // BD
? EF // BD, ? BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D
? EF // 平面 BC1 D

(RMAT II)设 AC 上存在一点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成两 部分的体积之比为 1︰15, 则 VE ? AFG : VABC ? A B C ? 1:16
1 1 1

1 1 ? AF ? AG sin ?GAF ? AE VE ? AFG ? ?3 2 1 VABC ? A1B1C1 AB ? AC ? sin ?CAB ? A1 A 2 1 1 1 AG 1 AG ? ? ? ? ? ? 3 4 2 AC 24 AC 3 1 AG 1 AG 3 ? ? ? ,? ? ,? AG ? AC ? AC 2 24 AC 16 AC 2 所以符合要求的点 G 不存在.

20. (本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 ABCD,且 E,F 分别为 PC,BD 的中点. (1)求证:PAD; (2)求证:平面 PDCPAD; ( 3)求四棱锥积.

解: (1)连接 EF,AC ∵四棱锥底面 ABCD 是边长为 a 的正方形且点 F 为对角 线 BD 的中点 ∴对角线 AC 经过 F 点 ……1 分 又在点 E 为 PC 的中点

∴ EF 为位线 ∴ ……2 分 又……3 分 m ∴PAD ……4 分 (2)∵底面 ABCD 是边长为 a 的正方形 ∴ ……5 分
又侧面 ABCD,面 ABCD=AD

∴ ……7 分 又平面 PDCPAD ……8 分 ∴平面 PDCPAD ……8 分 (3)过点 P 作 AD 的垂线 PG,垂足为点 G ∵侧面 ABCD,面 ABCD=AD ∴PG 为四棱锥 ……9 分 又 D=a ∴ ……10 分
10

∴……12 分

11


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