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2.2.2双曲线与抛物线的参数方程(教学设计)

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SCH 南极数学高中同步教学设计

人教 A 版选修 4-4《坐标系与参数方程》

2.2.2 双曲线与抛物线的参数方程(教学设计) 教学目标: 知识与技能目标:掌握双曲线与抛物线的参数方程,理解参数的几何意义。会用曲线的参数方程解决 一些实际问题。 过程与方法:通过双曲线与抛物线参数方程的推导,进一步掌握求曲线方程的方法。 情感态度价值观:数学问题解法的多样性,思维多样性。 教学重点:双曲线与抛物线参数方程的应用。 教学难点:双曲线与抛物线参数方程的推导。 教学过程: 一、复习回顾: 1、椭圆的参数方程: 椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)参 数方程 a2 b2
2

? x ? a cos? ( ? 为参数) ; ? ? y ? b sin ?

2 ? x ? b cos ? x ? y ? 1(a ? b ? 0) 2 椭圆 2 的参数方程是 ? ( ? 为参数) b a y ? a sin ? ?

二、师生互动,新课讲解: 1、双曲线的参数方程的推导: 1)双曲线

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

? x ? a sec? ( ? 为参数) ? ? y ? b tan?

双曲线

? x ? a sec? y2 x2 ( ? 为参数) ? =1(a>0,b>0) 的参数方程为: a 2 b2 ? y ? b tan?
2500 2000
Q P

1500
B

1000

500

A

-4000

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

M

4000

5000

-500

-1000

-1500

-2000

-2500

-3000

-3500

2、判断双曲线两种参数方程的焦点的位置的方法. 如果 x 对应的参数形式是 secφ ,则焦点在 x 轴上. 如果 y 对应的参数形式是 secφ ,则焦点在 y 轴上.

例 1:如图,设 M 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)任意一点,O 为原点,过点 M 作双曲线两渐近线 a2 b2

的平行线,分别与两渐近线交于 A,B 两点,探求平行四边形 MAOB 的面积,由此可以发现什么结论?

1

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变式训练 1:化下列参数方程为普通方程,并说明它们表示什么曲线?由此你有什么想法?

a 1 ? x ? (t ? ) ? ? 2 t (t为参数,a>0,b>0) ? b 1 ? y ? (t ? ) ? 2 t ?

a ? x ? (e t ? e ? t ) ? ? 2 (t为参数,a>0,b>0) ? ? y ? b (e t ? e ? t ) ? ? 2

小结:参数方程的表示不唯一,如何判断是哪种曲线,必须化为普通方程。 4、抛物线的参数方程的推导:
? ?x=2pt 1)抛物线方程 y =2px(p>0)的参数方程为? ?y=2pt ?
2 2

(t 为参数).

2)抛物线方程 x =2py(p>0)的参数方程为 ?

2

? x ? 2 pt (t 为参数) 2 ? y ? 2 pt
? x ? ?2 pt 2 ? y ? ?2 pt
(t 为参数)

3)抛物线方程 y =-2px (p>0)的参数方程为 ?

2

4)抛物线方程 x = -2py (p>0)的参数方程为 ?

2

? x ? ?2 pt 2 ? y ? ?2 pt

例 2:如图 O 是直角坐标原点,A,B 是抛物线 y =2px (p>0)上异于顶点的两动点,且 OA ? OB,OM ? AB 并 于 AB 相交于点 M,求点 M 的轨迹方程。
2

变式训练 2(探究)在本例中,点 A、B 在什么位置时, ? AOB 的面积最小?最小值是多少?

课堂练习:

? x ? 2 pt 2 1、若曲线 ? (t为参数)上异于原点的不同两点M 1,M 2所对应的参数分别是t1 , t2 , 则弦M 1M 2 ? y ? 2 pt 所在直线的斜率是( ) 1 1 A、t1 ? t2,B、t1 ? t2,C、 ,D、 t1 ? t2 t1 ? t2

2、设M为抛物线y2 ? 2x上的动点,给定点M0 (?1,0),点P为线段M0 M的中点,求点P的轨迹方程。

2

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三、课堂小结,巩固反思: 、 1、双曲线的参数方程; 2、抛物线的参数方程。 3.对同一条曲线选取不同的参数,就得到不同形式的参数方程,对圆锥曲线的参数方程,只要求掌握 上述几种 4.在研究圆锥曲线上的动点或未知点的有关问题时,可利用其参数方程设出点的坐标,从而拓广了解 决问题的途径,优化了解题思路. 形式. 5.利用圆锥曲线的参数方程解题时,一般不考虑参数的几何意义,只利用参数方程的外在形式. 四、课时必记: 1、双曲线的参数方程 1)双曲线

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

? x ? a sec? ( ? 为参数) ? ? y ? b tan?

2)双曲线

? x ? a sec? y2 x2 ( ? 为参数) ? =1(a>0,b>0) 的参数方程为: a 2 b2 ? y ? b tan?
2

2、抛物线的参数方程:
?x=2pt ? 2 1)抛物线方程 y =2px(p>0)的参数方程为? ? ?y=2pt

(t 为参数).

2)抛物线方程 x =2py(p>0)的参数方程为 ?

2

? x ? 2 pt (t 为参数) 2 ? y ? 2 pt

? x ? ?2 pt 2 3)抛物线方程 y =-2px (p>0)的参数方程为 ? (t 为参数) ? y ? ?2 pt
2

4)抛物线方程 x = -2py (p>0)的参数方程为 ?

2

? x ? ?2 pt 2 ? y ? ?2 pt

五、分层作业:

?x=2 3tan α , 1.双曲线? (α 为参数)的两焦点坐标是( ?y=6sec α
A.(0,-4 3),(0,4 3) C.(0,- 3),(0, 3) 解:A B.(-4 3,0),(4 3,0) D.(- 3,0),( 3,0)

)

3

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α α ? ?x=sin 2 +cos 2 , 2.参数方程? (α 为参数)的普通方程为( ? ?y= 2+sin α A.y2-x2=1 解:C B.x2-y2=1 C.y2-x2=1(|x|≤ 2)

) D.x2-y2=1(|x|≤ 2)

?x=t2, ? 3.点 P(1,0)到曲线? (t 为参数,t∈R)上的点的最短距离为( ?y=2t ?

)

A.0 解:B

B.1

C. 2

D.2

?x=2pt, ? 4.若曲线? 2 (t 为参数)上异于原点的不同两点 M1、M2 所对应的参数分别是 t1、t2,则弦 M1M2 ? ?y=2pt

所在直线的斜率是( A.t1+t2 解:A

) B.t1-t2 1 C. t1+t2 1 D. t1-t2

?x= 3sec 2, 5.双曲线? 的顶点坐标为________. ?y=tan 2
解:(- 3,0)、( 3,0)
?x=t2, ? 6.圆锥曲线? (t 为参数)的焦点坐标是________. ?y=2t ?

解:(1,0) B 组: 1、 (课本 P34 习题 3.2 NO:3) a ? ?x=cos φ, 证明:设等轴双曲线的普通方程为 x -y =a (a>0),则它的参数方程为? (φ 为参数),设 ? ?y=atan φ
2 2 2

a M ?cos φ,atan φ? 是 双 曲 线 上 任 意 一 点 , 则 点 M 到 两 渐 近 线 y = x 及 y = - x 的 距 离 之 积 是

?

?

? a -atan φ? ? a +atan φ? | a -a2tan φ| 2 ?cos φ ? ?cos φ ? cos2 φ a
12+12 · 12+12 = 2

2

= (常数). 2

2、 (课本 P34 习题 3.2 NO:4)
2 2 证明:设点 A,B 的坐标分别为(2pt2 1,2pt1),(2pt2,2pt2),则点 C 的坐标为(2pt2,-2pt2).直线 AB 的

1 1 方程为 y-2pt1= (x-2pt2 所以点 D 的坐标为(-2pt1t2, 0). 直线 AC 的方程为 y-2pt1= (x-2pt2 1), 1), t1+t2 t1-t2
4

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所以 E 的坐标为(2pt1t2,0).因为 DE 的中点为原点 O(0,0),所以抛物线的顶点 O 平分线段 DE. 3、 (课本 P34 习题 3.2 NO:5)
?y=kx, ? 2p 2p? 1 解析: 直线 OA 的方程为 y=kx, 直线 OB 的方程为 y=- x.解方程组? 2 得点 A 的坐标是? ? k2 , k ?; k ? ?y =2px

1 +2pk2 ? ?y=-kx, k2 p 2 解方程组? 得点 B 的坐标是(2pk ,-2pk).设点 M 的坐标为(x,y),则 x= = 2+pk2,y 2 k ? ?y2=2px p 2p x= 2+pk2, -2pk k k p = = -pk,所以线段 AB 的中点 M 的轨迹的参数方程是 (k 为参数). 2 k p y= -pk k

2p

? ? ?

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