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福建省厦门六中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

时间:


2014-2015 学年度厦门六中高一年级上学期期中考试
数 学 试 题
命题:任春雨 审题:杨福海

2014-11-03

一、选择题:本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 4 个选项中, 只有一项符合题目要求。 1 .设集合 M ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2}, N ? {n ? N | ?1 ? n ? 3} ,则 M A. {0,1} B. {?1, 0,1} C. {0, 1, 2} D. {?1 , 0, 1, 2}

N?(



2.已知集合 P ? {x 0 ? x ? 4} ,集合 N ? { y 0 ? y ? 2} ,下列从 P 到 Q 的各对应关系 f 不是函数的是 A. f : x ? y ? ( )

1 1 2 x B. f : x ? y ? x C . f : x ? y ? x D . f : x ? y ? x 2 3 3 3 3.已知点 M ( ( ) ,3) 在幂函数 f ( x) 的图象上,则 f ( x) 的表达式为 3
A. f ( x) ? x
1 2

B. f ( x ) ? x

?

1 2

C. f ( x) ? x2

D. f ( x) ? x ?2 ( D. c ? b ? a ( D. (1, 2) ( ) ) )

4.设 a ? 70.3 , b ? log7 0.3, c ? 0.37 ,则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c
x

B. b ? c ? a

C. c ? a ? b

5. 函数 f ( x) ? e ? x ? 2 的零点所在的一个区间是 A. (?2, ?1) 6.函数 y ? B.

(?1, 0)

C. (0,1)

log 1 ?4 x ? 3? 的定义域为
2

+?) A. ( ,
2

3 4

, +?) B. [1

C. ( ,1)

3 4

D. ( ,1] )

3 4

7.函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ?1? x ? 2 在 ?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?3 8.函数 f ? x ? ? A. (??,1)
x

B. a ? ?3

C. a ? 5

D. a ? 3 ( )

1 的值域是 3 ?1 B. (0,1)

C. (1, ??)

D. (??,1) ? (1, ??) )

9.若函数 f ( x) ? loga x 在区间 [a,3a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 的值为( A. 3
2

B.

3 9

C. 3 或

3 3

D. 3 或

3 9

10.已知函数 y ? x ? 2x ? 3 在区间 ?0, m? 上的最大值为 3,最小值为 2,则 m 的取值 范围是 A. 0, 2 ( )

?

?

B. 1, 2

? ?

C.
? x ?1

? ??,2?

D. ?1, ?? ? )

11.函数 f ( x) ? 1 ? log2 x 与 g ( x) ? 2

在同一直角坐标系下的图象大致是 (

12.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且在 [0, ??) 上为增函数, 若 f (log2 x) ? f (1) , 则 x 的取值范围是 A. (2, ??) ( )

1 B. ( , 2) 2

1 C. (0, ) ? (2, ??) 2

D. (0,1) ? (2, ??)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上。 13. 已知函数 f ? x ? ? ?

? ? 1 ?? ?lnx, x ? 0 ,则 f ? f ? ? ? 的值是 x ? ? e ?? ?3 ,x ?0

. .

14.函数 f ( x) ? log a ( x ? 2) ? 1 (a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 P ,则 P 点的坐标是 15.设奇函数 f ( x) 的定义域为 ? ?5,5? ,若当 x ? [0,5] 时,

f ( x) 的图象如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解集为



16.若函数 f ?x ? 同时满足:①对于定义域上的任意 x ,恒有

f ?x ? ? f ?? x ? ? 0
②对于定义域上的任意 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时,恒有 “理想函数” 。

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,则称函数 f ?x ? 为 x1 ? x2

1 2x ?1 2 给出下列四个函数中:① f ? x ? ? ;② f ?x ? ? x ; ③ f ? x ? ? x ; x 2 ?1
④ f ?x ? ? ?

?? x 2 2 ? x

x?0 ,能被称为“理想函数”的有_ x?0

_ (填相应的序号) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (12 分)计算下列各式
3

(1)

xy 2
4

6

x5

y3

(x>0,y>0) (结果用指数表示)

(2) log8 4 ? log 2 6 ? log 2 3 + log36?log69-lg100+

2

?

log 23

18. (本题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 3} , B ? {x | ?2 ? x ? 4} ,全集 U ? R (Ⅰ)当 a ? 2 时,求 A ? B 和 (CR A) ? B ; (Ⅱ)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

(1)用函数单调性定义证明: f ( x ) 在 (?1, ??) 是增函数; (2)试求 f ( x) ?

x , x ?1

2x 在区间 [1, 2] 上的最大值与最小值. 2x ? 1

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x? ? loga ?1 ? x? ? loga ?1 ? x? ?a ? 0, a ? 1? . (1)判断函数 f ?x ? 的奇偶性,并说明理由; (2)求使 f ?x ? ? 0 的 x 的取值范围.

21. (本题满分 12 分) 某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额 成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资 1 万元时 两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元(如图) .

(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系; (2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大 收益,其最大收益为多少万元?

22.(本题满分 14 分) 设 a ∈R,函数 f ( x) ? x x ? a ? 2x . (1)若 a =2,求函数 f ( x ) 在区间[0,3]上的最大值; (2)若 a >2,写出函数 f ( x ) 的单调区间(不必证明) ; (3)若存在 a ∈[3,6],使得关于 x 的方程 f ( x) ? t ? 2a 有三个不相等的实数解,求实数 t 的取值范围.

厦门六中 2014—2015 学年上学期高一半期考

数学答题卷
一、选择题:本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一个是正确的,把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上.

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13._______________ 15.________________________ 14._____________ 16. ________ _____________

三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分;解答应写出文字说明与演算步骤)
17. (本小题满分 12 分)解:

17.

18.(本小题满分 12 分)解:

19. (本小题满分 12 分)解.

20.(本小题满分 12 分)解:

21.(本小题满分 12 分)解:

22.(本小题满分 14 分)解:



18.解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, A ? {x |1 ? x ? 5}

A ? B ? {x | ?2 ? x ? 5} , CR A ? {x | x ? ?1或x ? 5}

(CR A) ? B ? {x | ?2 ? x ? ?1} A ? B ? A ,? A ? B (Ⅱ) ①若 A ? ? ,则 a ? 1 ? 2a ? 3 解得 a ? ?4 ;
? a ? 1 ? 2a ? 3 ? A ? B 则 ? a ? 1 ? ?2 ? 2a ? 3 ? 4 ?
1 2 1 2

??6 分 ??8 分

②若 A ? ? ,

解得 ?1 ? a ?

综上: a 的取值范围是 ( ??, ?4] ? [ ?1, ] 19. 证明: (1)任取 x1 , x2 ? (?1, ??), 且 x1 ? x2 , 则

??12 分

x1 ? x2 1 1 1 1 ) ? (1 ? )? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) x1 , x2 ? (?1, ??), 且 x1 ? x2 , ? x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, x1 ? x2 ? 0 , ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x) 为 (?1, ??) 上的增函数。 ??6 分 t x (2)令 t ? 2 , 则 t ? [2, 4], 由(1)可知 g (t ) ? 在 [2, 4] 上为增函数, t ?1 2 4 f max ? g (4) ? . 则 f min ? g (2) ? , ??12 分 3 5 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (1 ?
20.解: (1)? ?

?1 ? x ? 0 ,? ?1 ? x ? 1 , ?1 ? x ? 0
??2 分 ??6 分

函数的定义域为 ?? 1,1? . ? f ( x ) 的定义域关于原点对称 又 f ?? x? ? loga ?1 ? x? ? loga ?1 ? x? ? ? f ?x? , ? f ?x ? 为奇函数. (2)? f ?x? ? 0,? loga ?1 ? x? ? loga ?1 ? x?

当 0 ? a ? 1 时, 1 ? x ? 1 ? x,? ?1 ? x ? 0; 当 a ? 1 时, 1 ? x ? 1 ? x,? 0 ? x ? 1 . 综上可知:当 0 ? a ? 1 时, x 都范围是 (?1,0 ;当 a ? 1 时, x 都范围是 (0,1 ??12 分 ) ) 21. 解: (1)f(x)=k1x, , (x≥0) (2)设:投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为 20﹣x 万元. (0≤x≤20) , , (x≥0) ,



,则

=

=

所以当 t=2,即 x=16 万元时,收益最大,ymax=3 万元

22.解: (1)当 a=2,x∈[0,3]时, 作函数图象,

可知函数 f(x)在区间[0,3]上是增函数. 所以 f(x)在区间[0,3]上的最大值为 f(3)=9. (2)

① 当 x≥a 时,



因为 a>2,所以



所以 f(x)在[a,+∞)上单调递增. ② 当 x<a 时, 因为 a>2,所以 所以 f(x)在 . 上单调递增,在 上单调递减. 和[a,+∞) ,递减区间是[ ,a]. .

综上所述,函数 f(x)的递增区间是 (3)当 3≤a≤6 时,由(1)知 f(x)在 上是减函数,

和[a,+∞)上分别是增函数,在

当且仅当

? a ? 2? 2a ? t ? 2a ?
4
2

2

时,方程 f(x)=t+2a 有三个不相等的实数解.



? a ? 2? 0?t ?
4

令 g (a) ?

? a ? 2?
4

2

,g(a)在 a∈[3,6]时是增函数,

故 g(a)max=4. ∴ 实数 t 的取值范围是(0,4).


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