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北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》立体几何中的向量方法(二).

时间:2012-11-05


法门高中

姚连省
1

一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几

何问题转化为向量问题;(化为向量问题)
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题; (进行向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 义。 (回到图形)
2

1.

二、空间“距离”问 题 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算,
? 利用公式 a ? ?2 a 或
? a ? x ? y ?z
2 2 2

? (其中 a ? ( x , y , z )

)

,可将两点距离问题

转化为求向量模长问题

3

例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点

的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系?
解:如图1,设
AB ? AA 1 ? AD ? 1 , ? BAD ? ? BAA ? ? DAA ? 60 ?
C1
B1

1

1

化为向量问题

D1

依据向量的加法法则, AC 1
进行向量运算
2

? AB ? AD ? AA 1

A1 D

C
B

AC

1

? ( AB ? AD ? AA 1 )
? AB
2

2
2

A 图1

? AD

2

? AA 1 ? 2 ( AB ? AD ? AB ? AA 1 ? AD ? AA 1 )

? 1 ? 1 ? 1 ? 2 (cos 60 ? ? cos 60 ? ? cos 60 ? )

6 所以 回到图形问题 这个晶体的对角线 AC 1 的长是棱长的

? 6 | AC 1 |?

6 倍。

4

思考:
(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系? 分析:
BD 1 ? BA ? BC ? BB 1
1

D1 A1 B1 D

其中 ? ABC ? ? ABB

? 120 ? , B 1 BC ? 60 ? ?

C1

(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,

并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等
于 , 那么由这个四棱柱的对角线的长可以 ? 分析:
设 AC
1

C
B

A

确定棱长吗?
1

? a, AB ? AD ? AA 1 ? x , BAD ? ? BAA ?

1

? ? DAA

1

??

则由 AC
2

? AB ? AD ? AA 1
2

AC


1

? AB
2

? AD
2

2

? AA 1 ? 2 ( AB ? AD ? AB ? AA 1 ? AD ? AA 1 )
2

2

a ? 3 x ? 2 ( 3 x cos ? )

?

x ?

1 3 ? 6 cos ?

a
5

∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。

(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少? 设AB=1
(提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求两点间的距离) 分析:面面距离 ? 点面距离
过 解: A1 点作 A1 H ? 平面 AC 于点 H . 的距离 .
H A A1 B1 C B D1 C1

则 A1 H 为所求相对两个面之间
?
2

D

由 ? A1 AB ? ? A1 AD ? ? BAD 且 AB ? AD ? AA 1 H 在 AC 上 .

AC

? ( AB ? BC ) ? 1 ? 1 ? 2 cos 60 ? ? 3
2

?

AC ?

3

AA 1 ? AC ? AA 1 ? ( AB ? BC ) ? AA 1 ? AB ? AA 1 ? BC ? cos 60 ? ? cos 60 ? ? 1 .
? cos ? A 1 AC ? AA 1 ? AC | AA 1 | ? | AC | ? 1 3

?

sin ? A 1 AC ?
6 3 。

6 3

?

A 1 H ? AA 1 sin ? A 1 AC ?

6 3

∴ 所求的距离是

问题:如何求直线A1B1到平面ABCD的距离?

6

2、向量法求点到平面的距离:
? 一个法向量为 n

如图 A? ? , 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d,已知平面 ? 的
??? ? ,且 A P ? 与n ??? ? 不共线,能否用 A P ? 与n

表示 d ?

分析:过 P 作 PO⊥ ? 于 O,连结 OA.
??? ? ??? ? 则 d=| P O |= | P A | ? co s ? A P O . ? ??? ? ??? ? ? ∵ P O ⊥? , n ? ? , ∴ P O ∥ n . ??? ? ? ∴cos∠APO=|cos ? P A , n ? |.

?P
?O

? n

?

A?

???? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? | P A |? | n | ? | co s ? P A , n ? | | P A ? n | ??? ? P A ||cos ? P A , n ? |= ∴d=| = ?? |n| |n|

.

这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
7

例 2 : 如 图 , 已 知 正 方 形 A B C D 的 边 长 为 4, E 、 F 分 别 是 A B 、 A D 的 中 点 , G C ⊥ 平 面 A B C D , 且 G C = 2, 求 点 B 到 平 面 EFG 的 距 离 .

z
G

分析:用几何法做 相当 困难 ,注 意到坐标 系建立后各点坐标容易 得出 , 又因为 求点到平 面的距离可以用法向量 来计 算 , 而法 向量总是 可以快速算出.

x
F
A

D

C

E

B

果断地用坐标法处理.

y
8

例 2 : 如 图 , 已 知 正 方 形 A B C D 的 边 长 为 4, E 、 F 分 别 是 A B 、 A D 的 中 点 , G C ⊥ 平 面 A B C D , 且 G C = 2, 求 点 B 到 平 面 EFG 的 距 离 .

z

解:如图,建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2). ???? ???? E F ? ( 2, ? 2, 0 ), E G ? ( ? 2, ? 4, 2 ), ? x D
设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x , y , z )
? ???? ? ???? ? 2 x ? 2 y ? 0 n ? E F, ? E G ? ? n

G

C

?

F E B

?? ??? 2 x ? 4 y ? 2 Z ? 0 ? ? 1 1 ? n ? ( , , 1) , B E ? ( 2, 0, 0 ) A 3 3 ? ???? | n ? B E | 2 11 ?d ? ? . ? 11 n

y
11

答:点 B 到平面 EFG 的距离为

2

11

.

9

练习(用向量法求距离): 1.如图, A B C D 是矩形, PD ? 平面 A B C D , PD ? DC ? a , A D ? 2 a , M 、 N 分别是 A D 、 P B 的中点,求点 A 到平面 M N C 的距离.
P
N D C B

M
A

10

解:如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz a a a 则D(0,0,0),A(2 a ,0,0),B( 2 a , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )
∵ M 、 N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M (
2 a ,0,0) 2 ???? ? ???? ? 2 1 1 a ,a ,0) , M N ? ( 0 , a , a ) , ∴ MC ? ( ? 2 2 2 ? z 设 n ? ( x , y , z ) 为平面 MNC 的一个法向量 , P ? ???? ? 2 ax ? ay ? 0 且 ∴ n ? MC ? ? 2 ? ???? ? a a D n ? MN ? y? z ? 0 2 2 M 2 x ? y ? ?z , 解得 A 2 ?? x ∴可取 m ? ( 2 , 1, ? 1) ???? ?
???? ∴MA

N( a , a, a) 2 2 2 ???? 2 MA ? ( a ,0,0) ? ???? 2? ? ???? ? ∴ n ? MN ,n ? MC

2

1

1

N
C B
a 2
11

y

MA ?n ? a ? 在 n 上的射影长 d ? ? 2 n

即点 A 到平面 M N C 的距离为

.

2.如图 3-5,已知两条异面直线所成的角为θ , 在直线 a、b 上分别取 E、F,已知 A’E=m,AF=n, EF=l,求公垂线 A A′的长 d.
??? ? ???? ???? ???? 解 : E F ? E A? ? A? A ? A F ?
???? ???? ???? ???? ? A A ? ? E A ?, A A ? ? A F
??? ? ? EF
2

???? ???? ???? 2 ? ( E A? ? A? A ? A F )

???? 2 ???? 2 ???? 2 ???? ???? ???? ???? ???? ???? ? E A? ? A? A ? A F ? 2 ( E A? ? A? A ? E A? ? A F ? A? A ? A F )

< EA ?, AF >=π —θ (或θ ),
????? ???? 2 ????? ???? ???? 2 2 2 ? l ? E A? ? A? A ? A F ? 2 E A? ? A F
? m ? d ? n ? 2 m n co s ?
2 2 2

当E,F在公垂线同一侧时取负号 当d等于0是即为“余弦定理”
d ? l ? m ? n ? 2 m n co s ?
2 2 2

12

3. 异面直线间的距离
已知a,b是异面直线,n为?的 法向量

b

? n

C A

CD为a,b的公垂线
A,B分别在直线a,b上 则 | CD |?
n ? AB |n|

D

B

?

a

即 l 1 , l 2 间的距离可转化为向量 CD 在n上的射影长,

13

例3. 已知:直三棱柱ABC ? A1B1C1的侧棱AA1 ? 4, 底面?ABC中,
0

AC ? BC ? 2, ?BCA ? 90 , E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解:如图建立坐标系C ? xyz, 则C (0,0,0), E (1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). ? ? ? CE ? (1,1,0), AB1 ? (2,2,4), z C1 ? ? ? 设CE , AB1的公垂线的方向向量为n ? ( x, y, z ).则 A1 ? B1 ? x? y ?0 n ? CE ? 0 即 ? ? ? 2x ? 2 y ? 4z ? 0 n ? AB1 ? 0 C

? 取x=1,则y=-1,z=1,所以 n ? (1,?1,1)

? 在两直线上各取点C , A,? CA ? (1,0,0). ? ? ? ? | n ? CA | 2 3 ? CE与AB1的距离d ? ? . ? |n| 3

A

B

x

E

y

14

三、小结:
1、E为平面α外一点,F为α内任意一
点, n 为平面α的法向量,则点E到平面的
| n ? EF | |n|

距离为:

d?

2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b

上的点, n 是a,b公垂线的方向向量,
则a,b间距离为 d ? | n ? EF |
|n|
15

四、作业布置:课本P121 题

第 2、6

五、教后反思:

16


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