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圆锥曲线常见题型归纳

时间:2014-11-02


圆锥曲线常见题型归纳

一、基础题

涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质,
a, b, c, e, p

如求圆锥曲线的标准方

程,求准线或渐近线

方程,求顶点或焦点坐标,求与有关的值,求与焦半 径或长(短)轴或实(虚)轴有关的角和三角形面积。 此类题在考试中最常见,解此类题应注意: (1) 熟练掌握圆锥曲线的图形结构, 充分利用图形来 解题;注意离心率与曲线形状的关系; (2)如未指明焦点位置,应考虑焦点在 x 轴和 y 轴的 两种(或四种)情况; (3)注意 a,2a, a , b,2b, b , c,2c, c , 2 p, p, p 2 的区别及其几
2 2 2

何背景、出现位置的不同,椭圆中 c 二、 定义题

2

? a 2 ? b 2 ,双曲线中

c 2 ? a 2 ? b 2 ,离心率 e ? c a ,准线方程 x ? ? a 2 c ;

对圆锥曲线的两个定义的考查, 与动点

到定点的距离(焦半径)和动点到定直线(准线)的 距离有关,有时要用到圆的几何性质。此类题常用平 面几何的方法来解决,需要对圆锥曲线的(两个)定 义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面 几何知识有:中垂线、角平分线的性质,勾股定理, 圆的性质,解三角形(正弦余弦定理、三角形面积公 式) , 当条件是用向量的形式给出时, 应由向量的几何 形式而用平面几何知识;涉及圆的解析几何题多用平

面几何方法处理; 三、直线与圆锥曲线的关系题 (1)写直线方程时,先考虑斜率 k 存在,把直线方程 设为 y ? kx ? b 的形式, 但随后应对斜率 k 不存在的情况作 出相应说明, 因为 k 不存在的情况很特殊, 一般是验证 前面的结论此时是否成立; (2)联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 x 或消去 y , 得到方程 ax 或 ay
2
2

? bx ? c ? 0



? by ? c ? 0

②,此方程是后一切计算的基础,应确

保不出错。 (3)当方程①或②的二次项系数 a ? 0 时,方程是一次 方程,只有唯一解,不能用判别式,这种情况是直线 与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平 行; (过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直 线有三条,过双曲线含中心的区域内一点(不在渐近 线上)作与双曲线只有一个公共点的直线有四条; ) (4) 当方程①或②的二次项系数 a ? 0 时, 判别式△ ? 0 、 △ ? 0 、△ ? 0 ,与之相对应的是,直线与圆锥曲线分别 相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点,应 用△ ? 0 来求斜率 k 的范围; (5)直线与圆锥曲线相交成弦(前提 a ? 0 ,△ ? 0 ) , 记为 AB ,其中 A( x , y ) ,B( x , y ) , AB 的坐标可由方程①或
1 1 2 2

②求得, 一般是由方程①求出 x , x , 再代入直线方程求
1 2

y1 , y2 ,或由方程②求出 y1 , y2 ,再代入直线方程求 x1 , x 2 。

(6) 涉及弦长问题, 可用韦达定理, 由方程 ax ①求出 x
1

2

? bx ? c ? 0

? x2 , x1 x2 ,

? A( x1 , y1 )

, B( x , y ) 在 直 线
2 2

y ? kx ? b

上,∴

y1 ? kx1 ? b



y 2 ? kx2 ? b ,

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ,∴ AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2
? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? (1 ? k 2 ) ?
a

。 请注意,如果联立直
2

线和圆锥曲线方程,消去 x ,得到 ay 而用韦达定理,求出 y
AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? (1 ?
1

? by ? c ? 0
1

②,继 ,∴

? y2 , y1 y2

,? x

? x2 ?

1 ( y1 ? y 2 ) k

1 )( y1 ? y 2 ) 2 k2

?

(1 ?

1 )[(y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] ? k2

(1 ?

1 ? ) a k2



(7)涉及弦中点问题,可用韦达定理,由方程
ax2 ? bx ? c ? 0

①求出 x
x1 ? x 2 2

1

? x2 ,设弦 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) 的中点为

M ( x0 , y0 ) ,则 x 0 ?

, ? M 点也在直线 y ? kx ? b 上,∴

y0 ? kx0 ? b 。如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率 k 有关,

而不涉及弦长,则可把弦 AB 的坐标 ( x , y ) ,( x , y ) 直接代
1 1 2 2

入曲线方程,然后相减,因式分解,所得的式子中只 有 (x
1

? x2 ) 、 ( x1 ? x2 ) 、 ( y1 ? y2 ) 、 ( y1 ? y2 ) ,这些都与弦中点坐

标和弦的斜率 k 有关。

(8)弦 AB 满足有关的向量的条件,如 OA ? OB ? 0 ( O 为 原点) ,则
x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

,?

y1 ? kx1 ? b



y 2 ? kx2 ? b

,∴

x1 x2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b 2 ? 0
2 2

.
1

又如过椭圆 x ? 2 y ? 2 的右焦点 F 的直线 l 与该椭圆交 于 M , N 两点, 且 F M ? F M ? 2 26 3 , 求直线 l 的方程。
1 2

四、关于圆锥曲线的最值 (1) 圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。 设 动点的坐标 M ( x , y ) ,用两点间的距离公式表示距离 d ,
0 0

利用点 M 的坐标 ( x , y ) 满足圆锥曲线方程,消去 y (或
0 0 0

消去 x ) , 把 d 表示成 x (或 y ) 的二次函数, 因为 x (或
2

0

0

0

0

,所以 y0 )有一个取值范围(闭区间或半开半闭区间) 问题转化为:求二次函数在闭区间上的最值。有时须 针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨 论。 (2)圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。 作圆锥曲线与定直线平行的切线, 切点即为所求的点, 切线与定直线的距离即为所求最值。

五、求动点的轨迹方程 (1)待定系数法。适用于已知曲线的类型的情况, (2)五步法(求曲线的基本方法)

(3)定义法(只求轨迹,不求方程,用几何性质及圆 锥曲线定义) (4)相关点法(5)交轨法(6)参数方程法 47、熟悉定比分点的传统定义、向量定义、坐标公式、 在空间坐标系中的应用; 48 、 不 重 合 的 两 条 直 线 为e
? 1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0



? 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 , ? 1 的法向量为: n1 ? ( A1 , B1 ) ,方向向量
1

? (?B1 , A1 ) ? (1, k1 ) , ? 1 ? ? 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0

? 1 ∥ ? 2 ? A1 B2 ? B1 A2 且 A1C2 ? C1 A2 ;


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