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求数列通项公式的十种方法

时间:2017-07-10


1. 观察法(求出 a1、a2、a3,然后找规律)
即归纳推理,就是观察数列特征,找出各项共同的构成规律,然后利用数学归纳法加以证明 即可。 例 1.设 a1 ? 1 , an ?1 ? 公式. 解:由题意可知: a1 ? 1 ? 1 ?1 ? 1 ,

an ? 2an ? 2 ? b(n ? N ? ) ,若 b ? 1 ,求 a2 , a3 及数列 {an } 的通项
2

a2 ? a1 ?2a1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ,

2

a3 ? a2 ? 2a2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 .
因此猜想 an ? n ?1 ? 1 . 下面用数学归纳法证明上式. (1)当 n=1 时,结论显然成立. (2)假设当 n=k 时结论成立,即 ak ? k ?1 ? 1. (3)则 ak ?1 ?

2

ak ? 2ak ? 2 ? 1 ? (ak ? 1) 2 ? 1 ? 1 ? (k ? 1) ? 1 ? 1 ? (k ? 1) ? 1 ? 1 ,

2

即当 n=k+1 时结论也成立. 由(1) 、 (2)可知,对于一切正整数 n ,都有 an ? n ?1 ? 1(n ? N ) . (最后一句总结
?

很重要)

2.定义法(已知数列为等差或者等比)
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法, 这种方法适应于已知数列类型 的题目。 例 2.已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 , a4 ? a3 ? 2 ,求 ?an ? 的通项公式。 解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 因为 a4 ? a3 ? 2 ,所以 d ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? 10 ,所以 2a1 ? d ? 10 ,故 a1 ? 4 . 所以 an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2 (n ? 1, 2, ?) .

3.公式法
若已知数列的前 n 项和

sn



an

的关系,求数列

?an ? 的 通 项 an

可用公式

求解。 (一定要讨论

n=1,n≥2)

例 3.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 2Sn ? 3n ? 3. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式。 解: (Ⅰ)由

2Sn ? 3n ? 3

1 (3 ? 3) ? 3 , 2 1 n 1 n ?1 n ?1 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? (3 ? 3) ? (3 ? 3) ? 3 ( n ? 2) 2 2
可得:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 而 a1 ? 3 ? 31?1 , 所以 an ? ?

? 3, n ? 1, n ?1 ?3 , n ? 1.

4.累加法
当递推公式为 an?1 ? an ? f (n) 时,通常解法是把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) 。
* 例 4.数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? n ? 1 ( n ? N ) ,则数列{ }的前 10 项和为

解:由题意得:

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
? n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1

?

n(n ? 1) 2

5.累乘法
当递推公式为 an?1 ? an f (n) 时, 通常解法是把原递推公式转化为 (逐商相乘法)求解。

an ?1 利用累乘法 ? f ( n) , an

例 5.已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

2 n , an ?1 ? an ,求 an 的通项公式。 3 n ?1

解:由条件知

an ?1 n ? , an n ?1

在上式中分别令 n ? 1,2,3,?, (n ? 1) ,得 n ? 1 个等式累乘之, 即

a 1 a a2 a3 a4 1 2 3 n ?1 , 即 n ? ? ? ?? ? n ? ? ? ?? ? a1 n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 n
2 2 ? an ? 3 3n

又 ? a1 ?

6.构造法(拼凑法)-共 5 种题型,第 2、3 种方法不必掌握 1、当递推公式为 a n?1? pan ? q (其中 p, q 均为常数,且 pq( p ? 1) ? 0 )时,通常解法是
把原递推公式转化为 an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 解。 例题:已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 1,求 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? 3an ? 1 得 an ?1 ? 又 a1 ?

q ,再利用换元法转化为等比数列求 1? p

1 1 ? 3(an ? ) 2 2

1 3 ? 2 2 1 2 3 ,公比为 3 的等比数列 2

所以 {an ? } 是首项为 所以 an ?

1 3 n ?1 3n ? ?3 ? 2 2 2 3n ? 1 . 2

因此数列 {an } 的通项公式为 an ?

2、 当递推公式为 an?1 ? pan ? kn ? b(其中p, k , b均为常数,且 pk ? 0) 时,通常解法是把
原 递 推 公 式 转 化 为 an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) , 其 中 x , y 的 值 由 方 程

? px ? x ? k 给出。 (了解即可,不必掌握) ? ? py ? x ? y ? b

例题:在数列 {an } 中, a1 =2, an ?1 = 4an ? 3n ? 1 解:由 an?1 ? 4an ? 3n ? 1 得 an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) 又 a1 ? 1 ? 1



求数列 {an } 的通项 an 。

所以数列 {an ? n} 是首项为 1 ,公比为 4 的等比数列 所以 an ? n ? 4n?1 ,即

an ? 4n?1 ? n .

3、当递推公式为 an?1 ? pan ? cn (其中 p , c 均为常数,且 pc ? 0 )时,通常解法是把原递

an ?1 p an 1 an ?1 an 1 an a } 是以 1 为 ? ? n ? 。①若 p ? c ,则 n ? n ? ,此时数列 { n n ?1 ?1 c c c c c c c c c an a1 1 1 ? ? (n ? 1) ? , 首项, 以 为公差的等差数列, 则 n 即 an ? (n ? a1 ?1)c n?1 。 ②若 p ? c , c c c c
推公式转化为 则可化为

an ?1 p an 1 ?t ? ( n ? t )(其中t ? ) 形式求解。 (了解即可,不必掌握) n ?1 c c c c? p
n

例题:已知数列{ an }中, a1 =1, an ?1 = 2an ? 3 ,求数列的通项公式。 解:由 an?1 ? 2an ? 3n 得 an?1 ? 3n?1 ? 2(an ? 3n ) 所以数列 {an ? 3 } 是首项为 a1 ? 3 = ?2 , q ? 2 的等比数列
n 1
n ?1 所以 an ? 3 = ?2 ? 2 ,

n

n n 即 an = 3 ? 2

4、当递推公式为 an ?1 ?

pan ( p, q, s 为常数,且 pqs ? 0 )时,通常两边同时取倒数, qan ? s

把原递推公式转化为

q 1 1 s q 1 ? ? 。①若 p ? s ,则 { } 是以 为首项,以 为公差 p a1 an an ?1 pan p

的等差数列,则

1 1 q p ? a1q(n ? 1) 。 ② 若 p ? s ,则可转化为 ? ? (n ? 1) ? ,即 an ? an a1 p pa1

q 1 s 1 )形式求解。 ? t ? ( ? t ) (其中 t ? p?s an ?1 p an
例 10.已知数列{ an }满足 a1 ? 通项公式。 解:原式可变形为 2an an?1 ? (n ?1)an ? 3nan?1 两边同除以 3 an an?1 得

3 3nan?1 ? ,且 an ? (n ? 2 n? N ) ,求数列{ an }的 2 2an?1 ? n ? 1

n 1 n ?1 2 ? ? an 3 an ?1 3

…… ⑴

构造新数列 {

1 n ? ?} ,使其成为公比 q ? 的等比数列 3 an



n 1 n ?1 ?? ? ( ? ?) an 3 an ?1
∴ ? ? ?1

整理得

2 2 n n ?1 2 ? ? ? 满足⑴式使 ? ? ? 3 3 an 3an?1 3

∴数列 {

1 n 1 1 ? 1} 是首项为 ? 1 ? ? ,q= 的等比数列 3 an a1 3

n 1 1 1 ? 1 ? ? ( )n?1 ? ?( )n ∴ an 3 3 3

n ? 3n ∴ an ? n 。 3 ?1

5、当递推公式为 an ? 2 ? p an ?1 ? q an ( p, q 均为常数) (又称二阶递归)时,将原递推公

? 由? 式 an ? 2 ? p an ?1 ? q an 转化为 an ? 2 - ? an ?1 = ? ( an ?1 - ? an ) .其中 ? 、
解出,由此可得到数列{ an ?1 - ? an }是等比数列。 例题:设数列 的前 项和为 , .已知 , ,

?? ? ? ? p ? ?? ? ?q

,且当

时,

.证明:

为等比数列;

证明:因为 4Sn?2 ? 5Sn ? 8Sn?1 ? Sn?1 (n ? 2) 所以 4Sn?2 ? 4Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 4Sn?1 ? 4Sn (n ? 2)

即 4an?2 ? an ? 4an?1 (n ? 2) 因为 4a3 ? a1 ? 4a2 所以 4an?2 ? an ? 4an?1

1 an ? 2 ? an ?1 4a ? 2an ?1 4an ?1 ? an ? 2an ?1 2an ?1 ? an 1 2 因为 ? n?2 ? ? ? 1 4an ?1 ? 2an 4a n ?1 ?2an 2(2an ?1 ? an ) 2 an ?1 ? an 2 1 1 1 {an ?1 ? an } a2 ? a1 ? 1 所以数列 是以 为首项,以 2 为公比的等比数列。 2 2


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