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2009全国卷1数学

时间:2010-11-12


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2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+ 理科数学(必修+选修Ⅱ)

第 Ⅰ卷
考生注意: 考生注意: 1.答题前,考生在答题卡上务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 , 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、 .答题前, 并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 .每小题选出答案后, B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 再选涂其他答案标号.

.........

3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 . 小题, 在每小题给出的四个选项中, 的. 参考公式: 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么

球的表面积公式

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A,B 相互独立,那么

S = 4πR 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P ( A B ) = P ( A) P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么

V=

4 3 πR 3

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn (k ) = Cnk P k (1 ? P ) n ? k (k = 0,2, ,n) 1, L 一、选择题

其中 R 表示球的半径

(1)设集合 A={4,5,7,9} ,B={3,4,7,8,9} ,全集 U=A U B,则集合 [ u ( A (A)3 个 (2)已知 (B)4 个 (C)5 个 (D)6 个

I

B) 中的元素共有

Z =2+i,则复数 z= 1+i
(B)1-3i (C)3+i (D)3-i

(A)-1+3i (3) 不等式

X +1 <1 的解集为 X ?1

(A) 0? x ?1} {x

U{ x x? 1}

(B) x 0? x ?1} (D) x x? 0}

{

(C) { x ?1 ? x? 0}

{

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(4)设双曲线

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x2 y2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心率等于 2 a b
(B)2 (C) 5 (D) 6

(A) 3

(5) 甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学, 则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种 (6)设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则 ( a ? c ) ? ( b ? c ) 的最小值为 (A) ?2 (B) 2 ? 2 (C) ?1 (D) 1 ? 2

(7)已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点,则异 面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为

(A)

3 4

(B)

5 4

(C)

7 4

(D)

3 4

(8)如果函数 y=3 cos ( 2 x+φ ) 的图像关于点 ? (A)

? 4π ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为 ? 3 ?

π
6

(B)

π
4

(C)

π
3

(D)

π
2

(9) 已知直线 y=x+1 与曲线 y = ln( x + a ) 相切,则α的值为 (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

(10) 已知二面角α-l-β为 60

o

, 动点 P、 分别在面α、 Q β内, 到β的距离为 3 , 到α的距离为 2 3 , P Q

则 P、Q 两点之间距离的最小值为 (A) 2 (B)2 (C) 2 3 (D)4

(11)函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x + 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则 (A) f ( x ) 是偶函数 (C) f ( x ) = f ( x + 2) (B) f ( x ) 是奇函数 (D) f ( x + 3) 是奇函数

12.已知椭圆 C :

uuu r uuu r x2 + y 2 = 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ∈ l ,线段 AF 交 C 于点 B ,若 FA = 3FB , 2

uuuu r
则 | AF | =
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A.

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C. 3 D. 3

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2

B. 2

2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II)
第 II 卷
注意事项: 注意事项: 1. 答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚, 并贴好条形码,请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选 题其他答案标号,在试卷上作答无效。 3. 第 II 卷共 10 小题,共 90 分。 填空题: 小题, 把答案填在题中横线上。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。 (注意:在试题卷上作答无效) 注意:

............
10

13.

( x ? y)

的展开式中, x 7 y 3 的系数与 x3 y 7 的系数之和等于

。 。

14. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 = 72 ,则 a2 + a4 + a9 = 15. 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各顶点都在同一球面上,若

AB = AC = AA1 = 2 , ∠BAC = 120° ,则此球的表面积等于
16. 若

。 。

π
4

<x<

π
2

,则函数 y = tan 2 x tan 3 x 的最大值为

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答题: 17(本小题满分 10 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意:

............

在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c = 2b ,且
2 2

sin A cos C = 3cos A sin C , 求 b

18(本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意:在试题卷上作答无效)

.............

如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ⊥ 底面 ABCD ,

AD = 2
DC = SD = 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ∠ABM =60°
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(I)证明:M 在侧棱 SC 的中点 (II)求二面角 S ? AM ? B 的大小。

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19(本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意:在试题卷上作答无效)

.............

甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中, 甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立,已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (I)求甲获得这次比赛胜利的概率; (II)设 ξ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ξ 得分布列及数学期望。

20(本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意:在试题卷上作答无效) 在数列 {an } 中, a1 = 1, an +1 = (1 + ) an + (I)设 bn =

.............
1 n n +1 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式 n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn

21(本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意:在试题卷上作答无效)

.............

如图,已知抛物线 E : y 2 = x 与圆 M : ( x ? 4) 2 + y 2 = r 2 ( r > 0) 相交于 A 、 B 、 C 、 D 四个点。 (I)求 r 得取值范围; (II)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC 、 BD 的交点 P 坐标

22. 本小题满分 12 分。 注意:在试题卷上作答无效) (注意:在试题卷上作答无效)

.............
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3 2

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设函数 f ( x ) = x + 3bx + 3cx 在两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ∈ [ ?1, x1 ∈ [1, 2]. 0], (I)求 b、c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出 满足这些条件的点 ( b, c ) 的区域; (II)证明: ?10 ≤ f ( x2 ) ≤ ?

1 2

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