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三角函数公式变形及其应用

时间:2013-07-08


三角函数公式变形及其应用
邓星月 数学学院 数学与应用数学 2010 级 1 班 学号 20100513104

摘要 三角函数具有公式多,变形多,应用广的特点,本文将对三角函数诱导公式, 和差化积,积化和差,倍角公式,半角公式,万能公式及其应用做简单的整理及梳 理,其中包括自制口诀,希望能够加强记忆.

关键词: 三角函数

诱导公式

倍角公式 正文

万能公式

一,三角函数的定义

1,定义域:正忌纵,余忌横,但要除开正余弦. 2,符号法则(函数值变化情况) 正弦函数在一二象限为正,三四象限为负; 余弦函数在一四象限为正,二三象限为负; 正切函数在一三象限为正,二四象限为负. 3,正弦线,余弦线,正切线. 当角在第一象限:①tanx﹥sinx ②sinx﹤tanx 4,sinx ﹥cosx: x∈[2k+,2k]

例 1:已知 x∈(0,)且 sinx+cosx=1/2 求:⑴sinx?cosx ⑵sinx-cosx ⑶tanx 解:由 sinx+cosx=1/2 得 1+2sinxcosx=1/4 Sinxcosx=-3/8﹤0 X∈(/2) Sinx-cosx﹥0 又∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+3/4=7/4 Sinx-cosx=√7/2 ② ①

由①②得:sinx=(1+√7)/4,cosx=(1-√7)/4 ∴tanx=sinx/cosx=(1+√7)/(1-√7)

例 2:y=asinx+bcosx =√(a2+b2)((a/√(a2+b2))siax+(b/√(a2+b2))cosx =√(a2+b2)?sin(x+) 二,诱导公式. 1,口诀:负角函数正角算 {sin(-x)=-sinx;cos(-x)=cosx;tan(-x)=-tanx} 终边相同函数等:sin(2k+x)=sinx 纵轴要变横不变:把 x 看成锐角,看原函数符号 函数符号看象限:sin((3/2)k+x)=-cosx 例 3:f(x)= sin(x-)cos2-x

三、α 、α /2、α /3、2α 之间的关系 1、α →α /2 α α /2 一 一三 二 一三 三 二四 四 二四

(2k,2k+)

例 4、θ 为二象限角,且 cosθ /2-sinθ /2=√(1-sinθ ) ,求θ /2 所在象限。 解:cosθ /2-sinθ /2=Isinθ /2-cosθ /2I cosθ /2>sinθ /2

由图可知,θ /2 为一或三象限 故θ /2 为第一象限 2、α →α /3 α α /3 一 一二三 二 一二四 三 一三四 四 二三四

例 5、若θ 为第一象限角,下列能确定为正的是(C) A、sinθ /2 3、α →2α α 2α 一 一二 二 三四 三 一二 四 三四 B、cosθ /2 C、tanθ /2 D、cos2θ

四、三角形中的隐含条件。 1、A+B+C=Л Sin(A+B)=sin(Л -C)=sinC Cos(A+B)=cos(Л -C)=-cosC Tan(A+B)=tan(Л -C)=-tanC (A+B)/2=Л /2-C/2 sin(A+B)/2=cosC/2 cos(A+B)/2=sinC/2 tan(A+B)/2=cotC/2

2、锐角 ABC 中,A+B>90°,则任一角的正弦大于另两角的余弦。 证明:A+B>90° A>90°-B sinA>sin(90°-B) sinA>cosB 同理,sinA>cosC 3、a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (正弦定理)

拓展:分子分母都是齐次的,边角互换,得 a/b=sinA/sinB ab/c2=(sinA?sinB)/sin2C (余弦定理)

4、a2=b2+c2-2bc?cosA 即,cosA=(b2+c2-a2)/2bc 例 6、在 ABC 中,求证:

⑴、sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2 ⑵、tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

和差化积公式: Sinα +sinβ =2sin(α +β )/2?cos(α -β )/2 Sinα -sinβ =2cos(α +β )/2?sin(α -β )/2 Cosα +cosβ =2cos(α +β )/2?cos(α -β )/2 Cosα -cosβ =-2sin(α +β )/2?sin(α -β )/2

口诀: 正弦加减正余余正 余弦加减余余正正 和差取半前有二 余弦相减负在前

证明:例 6⑴、sinA+sinB+sinC =2sin(A+B)/2?cos(A+B)/2+2sinC/2?cosC/2 =2cosC/2?cos(A-B)/2+2cos(A+B)/2?cosC/2 =2cosC/2(cos(A-B)/2+cos(A+B)/2) =4cosC/2?cosA/2?cosS/2 ⑵、tan(α +β )=(tanα +tanβ )/(1-tanα tanβ ) Tanα +tanβ =tan(α +β ) 1-tanα tanβ ) ( ?

左边=tanA+tanB+tanC =tan(A+B) ?(1-tanAtanB)+tanC =-tanC+tanAtanBtanC+tanC =tanAtanBtanC

和差公式: Sin (α ±β ) =sinα cosβ ±cosα sinβ Cos (α ±β ) =cosα cosβ -+sinα sinβ

口诀: 两角和差算正弦, 正余余正号同前; 两角和差算余弦, 余余正正号相反。

tan(α +β )=(tanα +tanβ )/(1-tanα tanβ ) Tanα +tanβ =tan(α +β ) 1-tanα tanβ ) ( ?

积化和差公式: Sinα cosβ =1/2[sin(α +β )+sin(α -β )] Cosα cosβ =1/2[cos(α +β )+cos(α -β )] Sinα sinβ =1/2[cos(α +β )-cos(α -β )]

口诀: 正余正相加,余余余相加; 正正余相减,符号去管它。 (正弦的角减余弦的角)

倍角公式: Sin2α =2sinα sinβ
Cos2α =cos?α -sin?α =(cosα +sinα ) (cosα -sinα )=2cos?α -1 =1-2sin?α

降次公式:cos?α =(1+cos2α )/2 sin?α =(1-cos2α )/2

(降次升角,正减余加)

半角公式:sinα /2=±√[(1-cosα )/2] Cosα /2=±√[(1+cosα )/2] Tanα /2=±√[(1-cosα )/(1+cosα )]

tan α /2=(sin α /2)/( cos α /2)=(2sin ? α /2)/(2sin α /2cos α /2)=(1-cosα )/sinα cotα /2=(cosα /2)/(sinα /2)=(2cos?α /2)/(2sinα /2cosα /2) =(1+cosα )/sinα

tanα /2=(1-cosα )/sinα =sinα /(1+cosα ) cotα /2=(1+cosα )/sinα =sinα /(1-cosα )

(正减余加,对角线法则)

万能公式:sin2α =2sinα cosα =2sinα cosα /(sin?α +cos?α )=2t/(1+t?) (t=tanα ) Cos2α =(1-t?)/(1+t?) Tan2α =2t/(1-t?)

常见勾股数:3,4,5; 如:sinα =16/65, 5,12,13; 7,24,25;

已知一个三角函数,求其三角函数,

65

8,15,17; 9,40,41; 11,60,61; 16,63,65; 三倍角方式: sin3α =3sinα -4sin?α cos3α =-3cosα +4cos?α 其它式子:

16

63 口诀: 一次三次乘三四, 正负负正莫忘记。

⑴、α +β +γ =nЛ , (nZ) ,则:tanα +tanβ +tanγ =tanα tanβ tanγ ⑵、α +β =nЛ +Л /4,(nZ)则: , Tanα +tanβ =tan(α +β ) (1-tanα tanβ )=1-tanα tanβ Tanα +tanβ +tanα tanβ +1=2 (tanα ++1) (tanβ +1)=2 例 7、 (1+tan1°) (1+tan2°)…(1+tan45°)=223 ⑶、α +β =nЛ -Л /4(nR) ,则: (tanα -1) (tanβ -1)=2 例 8、tan70°+tan50°-√3tan70°tan50° =tan120°(1-tan70°tan50°)-√3tan70°tan50° =-√3 例 9、tan43°?tan17°+tan17°?tan30°+tan43°tan30°=1 例 10、锐角 ABC 中,P(cosB-sinA,sinB-cosA)在第二象限。

例 11、已知 sin(x-3/4Л )cos(x-Л /4)=-1/4,求 cos4x。 解 : sin ( x-3/4 Л ) cos ( x- Л /4 ) =1/2[sin(2x- Л )+sin(- Л

/2)]=1/2(-sin2x-1)=-1/4 故:sin2x=-1/2 Cos4x=1-2sin?2x=1/2 例 12、已知 sinα +sinβ =1/2 tan(α +β ). 口诀:要求差,两边平方再相加;要求和,和差化积求半角。 解:①?+②?=2+2cos(α -β )=1/4+1/9=13/36 Cos(α -β )=-59/72 cos?(α -β )/2=[1+cos(α -β )]/2=13/144 由①②: 2sin(α +β )/2?cos(α -β )/2=1/2 2cos(α +β )/2?cos(α -β )/2=1/3 故:tan(α +β )/2=3/2=t Tan(α +β )=2t/(1-t?)=-12/5 例 13、若 sinα +sinβ =√2/2 解:设 m=cosα +cosβ ①,求 cosα +cosβ 的取值范围。 ② ①,cosα +cosβ ②,求 cos?(α -β )/2,

①?+②?=2+2cos(α -β )=1/2+m Cos(α -β )=m/2-3/4 因为 Icos(α -β )I≤1 所以 Im/2-3/4I≤1, 故-√14/2≤M≤√14/2 例 14、在 ABC 中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,求 C。

解:两式平方相加:9+16+24sin(A+B)=36+1

得:sin(A+B)=1/2 sinC=1/2 C=30°或 150° 4sinB=1-3cosA>0 cosA<1/3<1/2=cos60° A>60°,故 C=30° 1 与余弦加减可消项: 1+cos2α =2cos?α 1-cos2α =2sin?α 1 与正弦加减可配方: 1+sin2α =(sinα +cosα )? 1-sin2α =(sinα -cosα )?

例 15、求证: (1+sin2θ -cos2θ )/(1+sin2θ +cos2θ )=tanθ . 证明: =[(sinθ +cosθ )?-(sinθ +cosθ )(cosθ -sinθ )]/[(sinθ +cosθ ) ?+(sinθ +cosθ )(cosθ -sinθ )] =(sinθ +cosθ -cosθ +sinθ )/(sinθ +cosθ +cosθ -sinθ ) =2sinθ /2cosθ =tanθ =右

求三角函数:直角三角形法,由直角三角形确定所求三角形的绝对值,象限确定 符号。 例 16、已知 tanα ,求 3sinα +7cosα 。 解:3sinα +7cosα =(3sinα +7cosα )/[√(sin?α +cos?α )] =(3+7tanα )/√(tan?α +1) =(-3+7tanα )/√(tan?α +1) (tanα >0) (tanα <0)


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