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黑龙江省双鸭山市第一中学2016届高三上学期期末 数学(理)试题(word版)

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2015-2016 学年度(上)高三理科数学期末考试 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)

B ? CU A 等于( ) 1、 设全集 U ? {x | x ? 4, x ? N} , A ? {0,1, 2} , B ? {2,3} ,则
A. {3} B. {2,3} =(
1 ? 2

C. ? ) C.﹣2 ,则( ) z ? y ?x C. )

D. {0,1, 2,3}

2、已知 i 是虚数单位,复数 A.i﹣2 B.i+2 3、已知 x ? ln ? ,y A. x ? y ? z

D. 2

? log1 ?
2

B. z ? x ? y

,z ?e

D. y ? z ? x

4、执行如图的程序框图,若 p ? 9 ,则输出的 S ? (

9 A. 10

7 B. 18

8 C. 9

2 D. 5


5、已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是(

A.48cm

3

B.98cm

3

C.88cm

3

D.78cm

3

6、若 x, y 满足约束条件

?2 x ? 2 y ? 1 ? ?x ? y ?2 x ? y ? 1 ?

且向量

? a ? ?3,2?

5 [ , 4] A. 4

7 [ ,5] B. 2

7 [ , 4] C. 2

? ? ? b , ? ( x,y) ,则 a ? b 的取值范围是( ) 5 [ ,5] D. 4

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7、 在公差不为零的等差数列{an}中, A.2 B.4

2 log2 ? b6b8 ? b ? a7 , ?b ? 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 , 数列 n 是等比数列, 且 7 则 的值为 (



C.8
2 2

D.1 )

2 8、若 a , b ? R ,命题 p : 直线 y ? ax ? b 与圆 x ? y ? 1相交;命题 q : a ? b ?1 ,则 p 是 q 的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

?? ?? ? ? y ? 3 sin ? x ? ? ? cos ? x ? ? 6? 6 ? 图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再将所得图象 ? ? 9、若先将函数 ? 向左平移 6 个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是( ) ? ? ? 5? x? x? x? x? 6 3 2 6 A. B. C. D. ??? ? ??? ? ??? ? 10、在 ?ABC 中, O 为中线 AM 上一个动点,若 AM ? 2 ,则 OA ? (OB ? OC) 的最小值是( )
A.2

xf ? ? x ? ? f ? x ? ?0 x2 f ? x ? ? 0 x2 11、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(2)=0,当 x>0 时,有 恒成立,则不等式
的解集是( ) A. (﹣2,0)∪(2,+∞) C. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) B. (﹣2,0)∪(0,2) D. (﹣∞,﹣2)∪(0,2)

B.-1

C.-2

D.-4

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 2 2 2 2 b 12、过曲线 C1: a 的左焦点 F1 作曲线 C2: x ? y ? a 的切线,设切点为 M,延长 F1M 交曲线 C3:

y2 ? 2 px ? p ? 0?

于点 N,其中曲线 C1 与 C3 有一个共同的焦点,若|MF1|=|MN|,则曲线 C1 的离心率为( D.



A.

B. ﹣1 C. +1 第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分)

2 ( 3 x ? )8 x 的展开式中的常数项为 13、二项式
14、由曲线 y=

. .

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为

? 7 4 cos 2 ? cos 2 ? ? ? C ? ? 2 2 ,若 a ? 2 ,则 ??? C 15、在 ??? C 中, a , b , c 分别为角 ? , ? , C 的对边,且满足
的面积的最大值是 .
x

?1? f ? x ? ? ? ? ?1 f ? x ? 2? ? f ? x ? 2 ? ?2? 16、设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 x∈R,都有 且当 x∈[﹣2,0]时, , f ? x ? ? loga ? x ? 2? ? 0 ? a ? 1? a
若在区间(﹣ 2 , 6] 内关于 x 的方程 ___________. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分) 在等差数列 恰有 3 个不同的实数根,则 的取值范围是

?an ? 中, 2a1 ? 3a2 ? 11 , 2a3 ? a2 ? a6 ? 4 ,其前 n 项和为 Sn . ?a ? (1)求数列 n 的通项公式;
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(2)设数列

?bn ? 满足

bn ?

1 Sn ? n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 ?n .

18.(本题满分 12 分) 甲乙两班进行消防安全知识竞赛, 每班各出 3 人组成甲乙两支代表队, 首轮比赛每人一道必答题, 答对则为本队得 1 分,

3 2 1 2 , , 答错或不答都得 0 分,已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 4 3 2 ,乙队每人答对的概率都为 3 .设每人回答正确与否 相互之间没有影响,用 ? 表示甲队总得分.(1)求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? ;(2)求在甲队和乙队得分之和为 4
的条件下,甲队比乙队得分高的概率.

19.(本题满分 12 分) 如图,已知长方形 ABCD 中,AB=2,AD=1,M 为 DC 的中点.将△ADM 沿 AM 折起,使得平面 ADM⊥平面 ABCM. (1)求证:AD⊥BM; (2)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时,二面角 E﹣AM﹣D 的余弦值为 .

20.(本题满分 12 分)

x2 y 2 ? ?1 C F F F C 3 设椭圆 1 : 4 , 1 , 2 分别是椭圆的左右焦点,过椭圆右焦点 2 的直线 l 与椭圆 1 交于 M , N 两点. ???? ? ???? (1)是否存在直线 l ,使得 OM ? ON ? ?2 ,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由;

| AB |2 C (2)若 AB 是椭圆 1 经过原点 O 的弦,且 MN / / AB ,求证: | MN | 为定值.

21.(本题满分 12 分) 已知函数

f ? x ? ? mx ?

m , g ( x) ? 2 ln x x .

(1)当 m=1 时,判断方程

f ? x? ? g ? x?

(2)若 x∈(1,e]时,不等式

f ? x? ? g ? x? ? 2

在区间(1,+∞)上有无实根. 恒成立,求实数 m 的取值范围.

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

? 已知 ?ABC 中, AB ? AC , D 为 ?ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A . C 重合) ,延 AC 交 BC BD 至 E 长 ,延长 的延长线于 F .
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(1)求证: ?CDF ? ?EDF ; (2) 求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB . 23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位已知直线 l 的参数方程为

? x ? 1 ? t cos ? ? 2 ? y ? t sin ? (t 为参数, 0 ? ? ? ? ) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? 4cos?
(1)求曲线 C 的直角坐标方程。 (2) 设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,当 ? 变化时,求

AB

的最小值

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 , x?R . f x ?7 (1)当 a ? 1 时,求不等式 ? ? 的解集; 设函数
? (2)对任意 m ? R , x ? R 恒有

f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 3a ? 3a

f ? x? ? 9 ? m ?

4 m ,求实数 a 的取值范围.

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参考答案 选择 1-5BBDDB 填空 13.112 解答题 17. 即 6-10DBADC 14. 11-12DD 15. 3 16.( ,2)

2a1 ? 3a2 ? 2a1 ? 3(a1 ? d ) ? 5a1 ? 3d ? 11, 2a3 ? a2 ? a6 ? 4
a ? 1, 得d ? 2, 1

2(a1 ? 2d ) ? a1 ? d ? a1 ? 5d ? 4

an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 .
1 1 Sn ? na1 ? n(n ? 1)d ? n ?1 ? n(n ? 1) ? 2 ? n 2 2 2 (Ⅱ) , 1 1 1 1 1 bn ? ? 2 ? ? ? Sn ? n n ? n n(n ? 1) n n ? 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? 1? ? 1 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1 .
18

19. (1)证明:∵长方形 ABCD 中,AB=2,AD=1,M 为 DC 的中点, ∴AM=BM= ,∴BM⊥AM,

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∵平面 ADM⊥平面 ABCM,平面 ADM∩平面 ABCM=AM,BM ? 平面 ABCM∴BM⊥平面 ADM ∵AD ? 平面 ADM∴AD⊥BM; (2)建立如图所示的直角坐标系,设 ,

则平面 AMD 的一个法向量



=(





) ,

设平面 AME 的一个法向量为 取 y=1,得 x=0,y=1,z=

, ,所以 =(0,1, ) ,

因为 求得 ,所以 E 为 BD 的中点. 20. (1)由题可知,直线 l 与椭圆必相交,①当直线斜率不存在时,经检验不合题意,

? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?4 ? y ? k ( x ? 1) (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) , ②设存在直线 l 为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , 且 由? 得 ,
8k 2 4k 2 ? 12 x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 , 3 ? 4k 2 , 2 ???? ? ???? 4k 2 ? 12 8k 2 2 4k ? 12 OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] ? ? k ( ? ? 1) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ?5k 2 ? 12 ? ? ?2 ? k ? ? 2 3 ? 4k 2 ,故直线 l 的方程为 y ? 2( x ?1) 或 y ? ? 2( x ?1) ; M ( x1 , y1 ) N ( x2 , y2 ) A( x3 , y3 ) B( x4 , y4 ) x1 ? x2 ?
, , , ,由(1)可得:

(2)设

| MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? k 2 )[(
? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?4 12(k 2 ? 1) 12 ? x2 ? ? y ? kx 2 3 ? 4k 2 , 3 ? 4k ,由 ? 消去 y ,并整理得:

8k 2 2 4k 2 ? 12 ) ? 4 ] 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

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48(1 ? k 2 ) 2 | AB |2 ? 3 ? 4k 2 ? 4 2 3(1 ? k ) | MN | 12(1 ? k ) | AB |? 1 ? k 2 | x3 ? x4 |? 4 2 3 ? 4k ,∴ 3 ? 4k 2 为定值.
21. (Ⅰ)m=1 时,令 ,

, ∴h(x)在(0,+∞)上为增函数 又 h(1)=0,∴f(x)=g(x)在(1,+∞)内无实数根 (Ⅱ)
2

恒成立,即 m(x ﹣1)<2x+2xlnx 恒成立, 恒成立,

2

又 x ﹣1>0,则当 x∈(1,e]时, 令

,只需 m 小于 G(x)的最小值,

, ∵1<x≤e,∴lnx>0, ∴当 x∈(1,e]时,G′(x)<0,∴G(x)在(1,e]上单调递减, ∴G(x)在(1,e]的最小值为 则 m 的取值范围是 22(1) ?CDF ? ?ABC ? ?ACB ? ?ADB ? ?EDF ; ∵A,B,C,D 四点共圆,∴∠ABC=∠CDF,又 AB=AC∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF,对顶角∠EDF= ∠ADB,故∠EDF=∠CDF; (2)由(1)得∠ADB=∠ABF,∵∠BAD=∠FAB, ,

AB AD ? , 2 ? AB ? AC, ? AB ? AC ? AD ? AF, AB ? AB ? AD ? AF, ∴△BAD∽△FAB, AF ? AB ? AC ? DF ? AD ? AF ? DF, ? AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB 根据割线定理 DF ? AF ? FC ? FB, ?
23(Ⅰ)由 ? sin
2

? ? 4cos? ,得 ( ? sin ? )2 ? 4? cos? ,所以曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 4x ;
2

2 2 t ,t (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入 y ? 4 x ,得 t sin ? ? 4t cos ? ? 4 ? 0 ,设 A, B 两点对应的参数分别为 1 2 ,则

t1 ? t2 ?
时,

4 cos ? 4 2 , t1t2 ? ? 2 2 sin ? sin ? ,? AB ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) ? 4t1t2
的最小值为 4 .

? (

4cos ? 2 16 4 ? ) ? 2 ? 2 ?? 2 sin ? sin ? sin ? ,当 2

AB

24(1)当 a ? 1 时,

?7 ? 2 x, x ? 1 ? f ( x) ? ? 5,1 ? x ? 3 ? 2 x ? 1, x ? 3 ?



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? f ( x) ? 7 的解集为 x x ? 0或x ? 4 .
(2)

?

?

f ( x) ? x ?1 ? x ? 3a ? 3a ? x ?1? 3a ? x ? 3a ? 3a ?1 ? 3a



4 9?m? ?9?4 ?5 m 又有 ,
由题意恒成立得,

3a ?1 ? 3a ? 5



解得 a ? 1 ,? a 的取值范围为 [1,??) .

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