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§2.2.1--椭圆及标准方程_图文

时间:2019-07-14

X
§2.2.1 椭圆及其标准方程

医 院 内 科 护 理 质控计 划 加 强 护 理 质量 管理, 保障患 者的生 命安全 ,保持 护 理 质 量 持 续改进 方案: 根据医 院及护 理部2016年 工 作计划 及目标 ,制定 2016年 内 科 护 理 质 控工作 计划如 下: 一 、 护 理 质 量的质 控原则 :护士 长——科 室护 理 质 控 员 --全 体护 士参与 的质量 管理监 控,落 实护理 质量的 持续改 进,全 面落实
质 控 工 作 。 二 、 成 立 质控小 组: 组 长 : 张 丽 华 组 员 : 张 桂珍 、尤从 香 、 陈 芳 三 、 质 量 控 制检查 分工: 1、 基 础 护 理、特 一级护理质量管理及 考 核 : 尤 从 香 2、 急 救 药 品和 器材、 护理文 件书写 质量控 制、三基三严培训及 考 核:张 桂珍 3、护 理规章 制度落 实、院 感质量 控制、 清洁工 、护工 管理考 核: 张 丽 华 4、 病 员 意 见 调 查、出 院随访 、常用 药品和 物质管 理:陈 芳 二 、护 理 质 量 管 理 实施方 案: ( 一 ) 进 一 步完善 护理质 量标准 与工作 流程。 1、
结 合 临 床 实 践,不 断完善 质控制 度,进 一步完 善护理 质量考 核内容 及评分 标准,
如 病 房 管 理 、基础 护理、 特、一 级护理 、消毒 隔离、 护理文 件的书 写、急 救物品 管 理 、 护 理 安全管 理等, 每月进 行护理 质量考 核并进 行分析 ,制定 相应的 整改措
施 。 2、 护 士 长 、 科室 护理质 控员随 时进行 监督及 时纠正 护理工 作中存

生活中 的椭圆

数学实验

[1]取一条细绳,

[2]把它的两端固定在板上

的两点F1、F2

F1

[3]用铅笔尖(M)把细绳

拉紧,在板上慢慢移动观察

画出的图形

观察做图过程:

[1]绳长应当大于F1、F2之间的距离。
[2]由于绳长固定,所以 M 到两个定点 的距离和也固定。

1

2

M F2

【建构数学】

1. 椭圆定义: |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0, |F1F2|=2c)

平面内与两个定点F1 , F 2 的距离和等于常数(大于 | F1 F 2 | )的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦

点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .

M

注意:

椭圆定义中容易遗漏的三处地方: (1) 必须在平面内.

F1

F2

(2)两个定点---两点间距离确定.

(3)绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定.

思考:在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出

的椭圆较扁( ? 线段)在同样的绳长下,两定点间距

离较短,则所画出的椭圆较圆( ? 圆)

由此可知,椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关.

温故知新

? 求动点轨迹方程的一般步骤:

(1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线 上任意一点M的坐标; (2)写出适合条件P的点M的集合;(可以省略, 直接列出曲线方程) (3)用坐标表示条件P(M),列出方程 f (x, y)?0
(4)化方程 f (x, y)?0 为最简形式; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况,可以 适当予以说明)

坐标法
1.建系 2.设坐标

3.列等式 4.代坐标 5.化简方程

探究活动
? 探讨建立平面直角坐标系的方案

yy y

y

M

y
F2 M

F1 O O OF2 x x x

O

x

O

x

F1

方案一

方案二

建立平面直角坐标系通常遵循的原则:对称、“简洁”

建构数学

1)椭圆的标准方程的推导

解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂 直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图). y

设M(x, y)是椭圆上任意一

M

点,椭圆的焦距2c(c>0),M

与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ,则F1、F2的 坐标分别是(?c,0)、(c,0) .

F1 0

F2 x

由椭圆的定义得,限制条件:M1? F M2? F2a

代入坐标 M 1?F (x ? c )2? y 2 ,M 2?F (x ? c )2? y 2

得( 方 x? c )2? 程 y 2?(x? c )2? y 2? 2 a (问题:下面怎样化简?)

移项,再平方
(x ? c ) 2 ? y 2 ? 4 a 2 ? 4 a(x ? c ) 2 ? y 2 ? (x ? c ) 2 ? y 2 a2?cx ?a(x?c)2?y2
两边再平方,得
a 4 ? 2 a 2 c ? c 2 x x 2 ? a 2 x 2 ? 2 a 2 c ? a x 2 c 2 ? a 2 y 2
整理得 (a 2? c 2 )x 2? a 2 y 2? a 2 (a 2? c 2 )
由椭圆定义可知 2a?2c,即a?c,所以 a2 ?c2 ?0,设a2?c2?b2(b?0),
b2x2?a2y2?a2b2
两边除以 a 2b 2得 x2 ?y2 ?1(a?b?0). a2 b2

2)椭圆的标准方程

y
M

焦点在x轴:

x2 a2

?by22

?1?a?b?0?

F1 o F2 x
(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a

焦点在y轴:

y2 a2

?bx22

?1(a?b?0)

y

F2

M

ox
F1

(y?c)2?x2?(y?c)2?x2?2a
总体印象:对称、简洁,“像”直线方程的截距 式

3)两类标准方程的对照表

定义 图形 方程

MF1+MF2=2a (2a>2c>0)

y

y

M

F2 M

F1 o F2 x

x2 a2

?by22

?1?a?b?0?

ox

F1

y2 a2

?x2 b2

?1?a?b?0?

焦点 a,b,c之间的关系

F(±c,0)

F(0,±c)

c2=a2-b2

注: 共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上,
中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1.
不同点:焦点在x轴的椭圆 x 2 项分母较大.
焦点在y轴的椭圆 y 2 项分母较大.

课堂练习:
1.口答:下列方程哪些表示椭圆? 若是,则判定其焦点在何轴? 并指明 a 2 , b 2 ,写出焦点坐标.

x2 (1)

?

y2

?1

(4)9x2?2y 5 2?22?5 0

16 16

x2 (2)

?

y2

?1

(5)?3x2?2y2??1

25 16

? (3)

x2 m2

?m2 y2?1?1(6)24 x?2 k?16y?2k ?1

例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程

(1) (2)

a a

=4,b=1,焦点在 x 轴上;1x62 ? =4,b=1,焦点在坐标轴上;

y2

? 1x2 16

?

y2

? 1或

x2 ? y 2 ?1 16

(3) 两个焦点的坐标是( 0 ,-2)和( 0 ,2),并且经

过点P( -1.5 ,2.5).

解:(法一)因为椭圆的焦点在y轴上,

设它的标准方程为

y2 a2

?bx22

?1

(a?b?0)

∵ c=2,且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……①

y

又∵椭圆经过点 ?? ? 3 ,5 ??



(52)2 a2

?

(?23)2 b2

?
?1

2

2?
……②

联立①②可求得:a2 ?10,b2 ?6

∴椭圆的标准方程为 y2 ? x2 ? 1 10 6

P
F2
x
F1

(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的

标准方程为

y2 a2

?bx22

?1

(a?b?0)

由椭圆的定义知,

2a ? (? 3 )2 ? ( 5 ? 2)2 ?

2

2

? 3 10 ? 1 10

2

2

(? 3 )2 ? ( 5 ? 2)2

2

2

? 2 10,

?  a ? 10  . 又 c ? 2,

?  b2 ? a2 ? c2 ? 10 ? 4 ? 6.
y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为 ? ? 1.
10 6

5、回顾小结 一种方法: 求椭圆标准方程的方法

二类方程:

x2 a2

?

y2 b2

?1

y2 a2

?bx22

?1?a?b?0?

三个意识: 求美意识, 求简意识,前瞻意识
6、作业布置

思考

知道了它的定义也就知道了椭圆的基

本几何特征.但是,这只是一种“定性”

的描述。

为了”定量”地研究椭圆

需要利用椭圆的方程,那

P

么如何求椭圆的方程呢?

F1

F2

建立适当的坐标系,用有序实数对 ?x, y?表示曲线
上任意一点M的坐标. 写出曲线上动点M适合的条件p的集合P={M|p(M)} 用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0 化方程f(x,y)=0为最简形式
证明方程为满足条件的方程
建系、设点、列式、化简、证明

建系的一般原则
. 建系的一般原则为:使已知点的 坐标和曲线的方程尽可能简单,即 原点取在定点或定线段的中点,坐 标轴取在定直线上或图形的对称轴 上,充分利用图形的对称性.

一 建立直角坐标系

(1) y

(2)

M

(3)

(4) (5)

F 1o F 2

x

(6)

y

F2

F1 o M x

思考?怎样建
立坐标系才能使 椭圆的方程简单?

y

y

M

M

F1 o F2

x

y
F2

o
F1

Mx

F1 o F2

x

y

F2

o

x

F1

M

以x轴F建1 ,立F 2直的角中坐点标为系坐,设标M原(x点,y,)是F椭1 ,圆F 2上所任在意直一线点为

F 1 F 2 = 2 C , 那 么 F 1 , F 2 的 坐 标 分 别 是 ? - c , 0 ? , ? c , 0 ?

由椭圆的定义

? P ? M M F 1 ? M F 2? 2 a ? ( 2 a ? 2 c ) y

MF1 ? ?x?c?2 ? y2 MF2 ? ?x?c?2 ? y2

??c,0?
F1 o

M ?x, y?

?c,0?

F2

x

??x?c?2?y2??x?c?2?y2?2a

? ? ? ? a 2 ? c 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 a 2 ? c 2

两 边 同 除 以 a ( 2a2-c2 ) , 得 :

x2 a2

?

x2 a2 ?c2

?1

思考?

y

P

观察右图,你能从中找出

表示a,c, a 2 ? c 2 的线段么?

F1 0

F2

x

由椭圆的定义可知,2a>2c 即 a>c

所以

a2 ?c2 ?0 令 a2?c2?b2?b?0?

代入上式得 两边同时除以

b2x2?a2y2?a2b2 a 2b 2



x2 y2 a2 ? b2 ? 1

焦点在 x轴上

x2 a2

?

y2 b2

?1

y

B 2M

A1

F

c

b
o

1

a c

F

2

A

x
2

焦点坐标

F1 ??c,0? F2 ? c, 0?

B1

其中 c2?a 2? b 2(a?b?0 ,c?0 ) y A 2

焦点在 y轴上
焦点坐标
其中

y2 x2

F2

a2 ? b2 ? 1

B1

o
F1

F1 ?0,?c? F2 ?0, c ?

A1

c2?a 2? b 2(a?b?0 ,c?0 )

B2
Mx

练习1指出在下列方程中,哪些是椭
圆的标准方程?哪些是椭圆的方程。

练习2比较椭圆的两种标准方程并填表

标准方程
不 同 图形 点

焦点坐标 F1 ??c,0? F2 ?c, 0?

F1 ?0,?c?

F2 ?0, c ?

定义 共 同 a、b、c 点 的关系

c2? a 2? b 2(a? b? 0 ,c? 0 )

焦点位置
的判定 焦点在大数对应的轴上

练习3

写出适合下列条件的椭圆的标准方程

(1 )a ? 4 ,b ? 1 ,焦 点 在 x 轴 上 ; 1x62 ? y 2 ? 1

x2 y2 (2 )a? 4 ,b?1 5 ,焦 点 在 y 轴 上 ; 1 5 ? 1 6 ? 1

(3)a?b?10,c?25.

x 2 ? y 2 ? 1或 x2 ? y2 ? 1

36 16

16 36

1 根据椭圆的方程填空
x2 y2 (1) ? ? 1
16 9

则 a ? 4 b ? 3 c ? 7 焦 点 坐 标 (? 7,0),( 7,0)

x2 y2 (2) ? ? 1
36 100

则 a ? 1 0 b ? 6 c ? 8 焦 点 坐 标 (0,?8),(0,8)

x2

y2

(3)m2 ?m2?1?1(m?0)

则 a ? m 2 ? 1 b ? m c ? 1 焦 点 坐 标 (0,?1),(0,1)

例1 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 (-2,0)和(2,0),并且经过 ( 5 , ? 3 ) ,
22
求出椭圆的标准方程。
答案 x2 ? y2 ? 1 10 6

1、椭圆的定义(强调2a>|F1F2|)和椭圆的标 准方程
2、椭圆的标准方程有两种,注意区分 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 4、求椭圆标准方程的方法

1、46页习题2.1 1、2
2、登录www.zhaobao.com搜集神舟5、6号 的运行椭圆轨道参数,求出相应椭圆的 标准方程

F 已 知 经 过 椭 圆 x 2 ? y 2 ? 1的 右 焦 点
25 16

2

作 垂 直 于 x轴 的 直 线 A B, 交 椭 圆 于 A, B





,F


1















( 1 ) 求 ? A F 1B的 周 长 ;

( 2 ) 如 果 A B 不 垂 直 于 x 轴 , ? A F 1B的 周 长

有变化吗?为什么?

y A

F1 o F2

x

B

例1 已知△ABC的一边BC固定,长为6,周长为16,

求顶点A的轨迹方程。

解: A B ? B C ? A C ? 1 6 ,B C ? 6

y A

.

?AB?AC?10, 且10? BC

根据椭圆的定义知所求轨迹是椭圆, B o C x
且B、C为焦点

以BC的中点为原点,BC所在的直线为x轴建立直

角坐标系。 所以可设椭圆的标准方程为 :

x2 y2 a2 ?b2 ?1(a?b?0)

2a?10,2c?6 ? a? 5 ,c? 3 ,b 2? a 2? c2? 1 6
∴所求椭圆的标准方程为: x2 ? y2 ? 1 ( y ? 0 ) 25 16

例2 在圆 x2 ? y2 ? 4 上任取一点P,向x轴作垂线段
PD,D为垂足。当点P在圆上运动时,求线段PD中点M 的轨迹方程。轨迹是什么图形?

解:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为 ? x0, y0 ? 辅



x?x0,

y? y0 2



y



?x0?2x,y0?y

P法

P (x 0 ,y 0 )在 圆 x 2? y 2? 4 上 M

x

?x02 ? y02 ?4

0D

将x0 ?x, y0 ?2y代入上述方程

得x2?4y2 ?4即 x2 ?y2 ?1 4

例3 设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).

直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 ? 4 ,求

点M的轨迹方程.

9

y
M

A

o

Bx

练习1 平面内有两个定点的距离是8,写出到
这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。
(1)判断:1)和是常数;2)常数大于两个定点之 间的距离。故点的轨迹是椭圆。
(2)取过两个定点的直线做 x 轴,它的线段垂 直平分线做 y 轴,建立直角坐标系,从而保证 方程是标准方程。
(3)根据已知求出a、c,再推出a、b
写出椭圆的标准方程。

第40页 练习3,4


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