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高一年级数学暑假作业4 答案

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2017 高一年级数学暑假作业 4
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.下列命题中正确的是( ) A.第一象限角必是锐角 B.终边相同的角相等 C.相等的角终边必相同 D.不相等的角其终边必不相同 【分析】根据终边相同的角应相差周角的整数倍,举反例或直接进行判断. 【解答】解:A、如角 3900 与 300 的终边相同,都是第一象限角,而 3900 不是锐角,故 A 不对; B、终边相同的角应相差周角的整数倍,而不是相等,故 B 不对; C、因为角的始边放在 x 轴的非负半轴上,则相等的角终边必相同,故 C 正确; D、如角 3900 和 300 不相等,但是它们的终边相同,故 D 不对. 故选 C. 2.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点.公司 为了调查产品销售的情况, 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本, 记这项调查 20 7 ① 为 ; 在丙地区中有 个特大型销售点, 要从中抽取 个调查其销售收入和售后服务情况, 记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( ) A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法 【分析】此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法;当总体 中的个体差异较大时,宜采用分层抽样;当总体中个体较多时,宜采用系统抽样. 【解答】解:依据题意,第①项调查中,总体中的个体差异较大,应采用分层抽样法; 第②项调查总体中个体较少,应采用简单随机抽样法. 故选 B.

3.如图是一个算法的程序框图,当输入的 x 值为 1 时,输出 y 的结果恰好是 ,则空白框 处所填关系式可以是( )

4-1

A.y=x2 B.y=

C.y=2x D.y=2x

【分析】根据程序框图可知,程序运行时,列出数值 x 的变化情况,找出循环条件,x>0, 知道 x≤0 循环结束,输出 y 值,求出处理框中的关系式恒过某点,从而求解; 【解答】解:当输入的 x 值为 1 时,x=1>0,继续循环, x=1﹣2=﹣1≤0,循环结束,此时 x=﹣1, 可得处理框中的关系式过点(﹣1, ) , A、x=﹣1,y=1,故 A 错误; B,x=﹣1,y=﹣1,故 B 错误, C、x=﹣1,y= ,故 C 正确; D、x=﹣1,得 y=﹣2,故 D 错误; 故选:C.

4.若 0<α<2π,则使 sinα< A. (﹣ , ) B. (0,

和 cosα> 同时成立的 α 的取值范围是( ) C. ( ,2π) D. (0, )∪(

) ,2π)

【分析】根据正弦函数和余弦函数的单调性分别求得在 0<α<2π,满足已知条件 α 的范围, 最后去交集即可. 【解答】解:∵0<α<2π,sinα< ∴0<α< 或 <α<2π,① ,

∵0<α<2π,cosα> , ∴0<α< ,或 <α<2π,② 或 <α<2π,

①②取交集得 0<α< 故选:D.

4-2

5.对一个质点在平面直角坐标系中的运动观察了 5 次,得到数据如下: , , , , ,建立的回归直 线方程为 y=kx+88,其对应的直线的倾斜角为 β,则 sin2β+2cos2β=( ) A. B.1 C.2 D.3

【分析】利用回归直线方程过样本中心点,求出 k,可得 tanβ= ,利用

sin2β+2cos2β=

+

,即可得出结论.

【解答】解:由题意, = ×=176,

= ×=176,

∵回归直线方程为 y=kx+88, ∴176=176k+88, ∴k= , ∵直线的倾斜角为 β, ∴tanβ= ,

∴sin2β+2cos2β=

+

=

+

= + =2,

故选:C. 6.数据 x1,x2,…xn 的平均数为 ,方差为 S2,则数据 3x1﹣1,3x2﹣1,…3xn﹣1 的方差是 ( ) 2 A.S B.3S2 C.9S2 D.9S2﹣6S+1 【分析】根据平均数与方差的定义,即可推导出结论. 【解答】解:数据 x1,x2,…xn 的平均数为 = (x1+x2+…+xn) , 方差为 S2= [ + +…+ ];

所以数据 3x1﹣1,3x2﹣1,…3xn﹣1 的平均数为 = [(3x1﹣1)+(3x2﹣1)+…+(3xn﹣1)]

=3? (x1+x2+…+xn)﹣1
4-3

=3 ﹣1, 方差为 s′2= =9? [ [ + +.. + ] +… + ]

=9s2. 故选:C.

7.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)

的部分图象如图所示,若 )

,且 f(x1)=f(x2) (x1≠x2) ,则 f(x1+x2)=(

A.1

B.

C.

D. ,0)可得 φ 值,进而可得 f

【分析】由图象可得 A=1,由周期公式可得 ω=2,代入点( (x)=sin(2x+ ) ,再由题意可得 x1+x2= =

,代入计算可得. ,解得 ω=2,

【解答】解:由图象可得 A=1, ∴f(x)=sin(2x+φ) , 代入点( ∴ ,0)可得 sin(

+φ)=0 ,k∈Z

+φ=kπ,∴φ=kπ﹣ ,∴φ= , ) ,

又|φ|<

∴f(x)=sin(2x+ ∴sin(2× 又 ∴x1+x2= ×2= +

)=1,即图中点的坐标为(

,1) ,

,且 f(x1)=f(x2) (x1≠x2) , , + )= ,

∴f(x1+x2)=sin(2× 故选:D

4-4

8.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0]上是减函数,令 a=f(sin π) , b=f(cos π) ,c=f(tan π) ,则( )

A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 【分析】由题意和诱导公式化简 cos π、tan π,根据偶函数的性质化简 b、c,由三角函数 的性质判断出 tan sin 、cos 、 三者的大小关系,由偶函数的单调性和条件判断出 f(x)在区间[0,+∞)

上单调性,利用单调性可得答案. 【解答】解:由 ∵函数 f(x)是 R 上的偶函数, ∴b=f(cos π)=f(cos ∵ ,∴tan ) ,c=f(tan π)=f(tan >sin >cos , ) , 得,cos π=﹣cos ,tan π=﹣tan ,

∵偶函数 f(x)在区间(﹣∞,0]上是减函数,∴函数 f(x)在区间[0,+∞)上是增函数, 则 f(tan 故选 A. )>f(sin )>f(cos ) ,即 c>a>b,

9.定义行列式运算

=a1a4﹣a2a3.将函数 f(x)=

的图象向左平移 n(n>0) )

个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为 ( A. B. C. D.

【分析】由条件根据函数 y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,可 得 n+ =kπ,k∈z,从而求得 n 的最小值. = cosx﹣sinx=2cos(x+ )的图象向左平移 n(n

【解答】解:函数 f(x)= >0)个单位, 所得图象对应的函数为 y=2cos(x+n+ 则 n 的最小值为 故选:B. ,

) ,根据所得函数为偶函数,可得 n+

=kπ,k∈z,

4-5

10.在△ABC 中,边 AC=1,AB=2,角 A= 则 λμ=( A. B. ) C. D.

,过 A 作 AP⊥BC 于 P,且







【分析】利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出. 【解答】解: ∵AP⊥BC,∴ = =(λ +μ )? =﹣1. =(λ﹣μ) ﹣ + =﹣

(λ﹣μ)﹣4λ+μ=﹣5λ+2μ=0, 与 λ+μ=1 联立解得: 则 λμ= . ,μ= .

故选:A. ﹣θ)是方程 x2+px+q=0 的两个根,则 p、q 之间的关系是(

11.设 tanθ 和 tan(



A.p+q+1=0 B.p﹣q+1=0 C.p+q﹣1=0 D.p﹣q﹣1=0 【分析】因为 tanθ 和 tan( ﹣θ)是方程 x2+px+q=0 的两个根,则根据一元二次方程的根

的分布与系数关系得到相加等于﹣p,相乘等于 q,再根据两角差的正切公式找出之间的关 系即可. 【解答】解:因为 tanθ 和 tan( 得 tanθ+tan( ﹣θ)是方程 x2+px+q=0 的两个根, )=q

﹣θ)=﹣p,tanθtan(

又因为 1=tan[θ+(

﹣θ)]=

=



得到 p﹣q+1=0 故选 B

12.定义在 R 上的函数 f(x)= (sinx+cosx+|sinx﹣cosx|) ,给出下列结论: ①f(x)为周期函数 ②f(x)的最小值为﹣1 ③当且仅当 x=2kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值 ④当且仅当 2kπ﹣ <x<(2k+1)π, (k∈Z)时,f(x)>0

⑤f(x)的图象上相邻最低点的距离为 2π. 其中正确的结论序号是( )
4-6

A.①④⑤ B.①③④ C.①②④ D.②③⑤ 【分析】根据绝对值的应用将函数进行化简,然后作出函数 f(x)的图象,利用数形结合 以及三角函数的性质进行判断即可. 【解答】解:当 sinx≥cosx,即 x∈[2kπ+ ,2kπ+ ]时,

f(x)= (sinx+cosx+|sinx﹣cosx|)= (sinx+cosx+sinx﹣cosx)=sinx, 当 sinx<cosx,x∈[2kπ﹣ ,2kπ+ ]时,

f(x)= (sinx+cosx+|sinx﹣cosx|)= (sinx+cosx﹣sinx+cosx)=cosx,

作出正弦函数 y=sinx 与 y=cosx 在一个周期上的图象如图:取函数的最大值, 即为函数 f(x)=max{sinx,cosx}, ①函数以 2π 为周期的周期函数,故①正确, ②由图象知函数的最小值为﹣ ③由图象知当且仅当 x=2kπ﹣ ④由图象知当 2kπ﹣ ,故②错误 时,函数取得最小值﹣ ,故③错误,

<x<(2k+1)π, (k∈Z)时,f(x)>0 成立,故④正确,

⑤∵函数的周期是 2π,∴f(x)的图象上相邻最低点的距离为 2π 正确,故⑤正确, 故正确的是①④⑤, 故选:A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷中横线上. 13.若 10b1(2)=a02(3) ,则数字 a+b= 2 . 【分析】可以用每个数位上的数字乘以对应的权重,累加后,即可将二进制数或三进制数转 化为十进制数,考虑到进制中数字的取值范围,从而得到答案. 【解答】解: (10b1)2 3 2 =1×2 +0×2 +b×21+1×20 =8+0+2b+1
4-7

=9+2b(b=0 或 1) ; (a02)3 =a×32+0×31+2×30 =9a+2(a=0 或 1 或 3) . 根据题意得,9+2b=9a+2, ∴a=1,b=1. ∴a+b=2. 故答案为:2. 14.若 sinα 是方程 5x2﹣7x﹣6=0 的根,则

=



【分析】求解方程的根,可求 sinα 的值,利用诱导公式把所求的式子进行化简,把 sinα 的 值代入即可得解. 【解答】解:解得方程 5x2﹣7x﹣6=0 的两根为 x1=﹣ ,x2=2, ∵sinα 是方程 5x2﹣7x﹣6=0 的根,可得:sinα=﹣ 或 2(舍去) ,



=

=

=﹣

= .

故答案为: .

15.在△ABC 中,

=

?



+

+

= ,且|

|=|

|=1,则

?

等于

3



【分析】根据条件进行向量数量积的运算,并由向量加法的几何意义便可得出 ,从而得出△ABC 为直角三角形,并且点 O 为边 BC 的中点,从而 可画出图形, 根据图形可求出 AC 的大小, 进而得出 cos∠ACB 的值, 从而得出 【解答】解: ∴ ∴AB⊥AC; = ∴ ; ; = ; ; 的值.

∴O 在为 BC 的中点;
4-8

如图所示:





∴AB=1,BC=2; ∴ ∴ 故答案为:3.
2 16. +∞) . 若 (cosa) +2msina﹣2m﹣2<0 对 a∈R 恒成立, 则实数 m 的取值范围 (1﹣ , 【分析】将不等式进行转化,利用换元法将函数转化为一元二次函数,根据一元二次函数的 性质建立不等式关系即可得到结论. 【解答】解:不等式等价为 1﹣sin2a+2msina﹣2m﹣2<0 对一切 a∈R 恒成立, 即 sin2a﹣2msina+2m+1>0 恒成立, 设 t=sina,则﹣1≤t≤1, 则不等式等价为 t2﹣2mt+2m+1>0,在﹣1≤t≤1 上恒成立, 设 f(t)=t2﹣2mt+2m+1,﹣1≤t≤1, 对称性 t=m, 若 m≤﹣1,则函数 f(t)在[﹣1,1]上为增函数, 则满足 f(﹣1)=1+2m+2m+1=4m+2>0,



; = .

即 m>﹣ ,此时不成立, 若﹣1<m<1, 则满足 f(m)=m2﹣2m2+2m+1>0, 即 m2﹣2m﹣1<0, 解得 1﹣ <m<1+ , 此时 1﹣ <m<1, 若 m≥1,则函数 f(t)在[﹣1,1]上为减函数, 则满足 f(1)=1﹣2m+2m+1=2>0,恒成立, 此时 m≥1, 综上 m>1﹣ , 故答案为: (1﹣ ,+∞) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,其中第 17 题 10 分,其余每题 12 分. 17.已知向量 =(1,2) , =(x,1) 1 ( )若< , >为锐角,求 x 的范围; (2)当( +2 )⊥(2 ﹣ )时,求 x 的值. =x+2>0,且 与 不共线,即 2x﹣1≠0.解 【分析】 (1)由于< , >为锐角,可得 出即可.

4-9

(2)由( +2 )⊥(2 ﹣ ) ,可得( +2 )?(2 ﹣ )= 数量积运算性质、模的计算公式即可得出. 【解答】解: (1)∵< , >为锐角,∴ 解得 x>﹣2,且 . }.



+3

=0,再利用

=x+2>0,且 与 不共线,即 2x﹣1≠0.

∴x 的范围是{x|x>﹣2,且 (2)∵( +2 )⊥(2 ﹣ ) , ∴( +2 )?(2 ﹣ )= ∵ = , , ﹣

+3

=0,

∴2×5﹣2×(x2+1)+3(x+2)=0, 化为 2x2﹣3x﹣14=0, 解得 x=﹣2 或 .

18. 为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况, 从该市初二年级的男生中抽取了一部分 6 “ ” 学生进行 掷实心球 的项目测试.成绩低于 米为不合格,成绩在 6 至 8 米(含 6 米不含 8 米)的为及格,成绩在 8 米至 12 米(含 8 米和 12 米,假定该市初二学生掷实心球均不超过 12 米)为优秀.把获得的所有数据,分成[2,4) ,[4,6)[6,8)[8,10)[10,12]五组, 画出的频率分布直方图如图所示.已知有 4 名学生的成绩在 10 米到 12 米之间. (1)求实数 a 的值及参加“掷实心球”项目测试的人数; (2)根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球” 成绩为优秀的概率; (3)若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生再进行其他项目的测试,求所抽 取的 2 名学生来自同一组的概率.

【分析】 (1)由频率分布直方图能求出 a.再有 4 名学生的成绩在 10 米到 12 米之间,求出 10 成绩在 米到 12 米之间的频率,由此能示出参加“掷实心球”项目测试的人数. (2)求出频率分布直方图得成绩在 8 米至 12 米(含 8 米和 12 米)的频率,由此估计从该 市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率. (3)此次测试成绩不合格的男生成绩在区间[2,4)的有 2 人,成绩在[4,6)的有 6 人, 由此能求出所抽取的 2 名学生来自同一组的概率.
4-10

【解答】解: (1)由频率分布直方图,得: (0.025+0.075+0.2+0.15+a)×2=1, 解得 a=0.05. ∵有 4 名学生的成绩在 10 米到 12 米之间, 又成绩在 10 米到 12 米之间的频率为 0.05×2=0.1, ∴参加“掷实心球”项目测试的人数为: 人.

(2)由频率分布直方图得成绩在 8 米至 12 米(含 8 米和 12 米)的频率为(0.15+0.05)× 2=0.4, 成绩在 8 米至 12 米(含 8 米和 12 米,假定该市初二学生掷实心球均不超过 12 米)为优秀, ∴估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率为 0.4. (3)此次测试成绩不合格的男生成绩在区间[2,4)的有:0.025×2×40=2 人, 成绩在[4,6)的有:0.075×2×40=6 人, 从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生再进行其他项目的测试, 基本事件总数 n= =28, =16,

所抽取的 2 名学生来自同一组包含的基本事件个数 m= ∴所抽取的 2 名学生来自同一组的概率 p= sin2ωx﹣ = .

19.已知函数 f(x)=2sinωxcosωx+2 (1)求函数 f(x)的单调减区间; (2)将函数 f(x)的图象向左平移

(ω>0)的最小正周期为 π

个单位,再向上平移 1 个单位,得到 y=g(x)的图

象,若 y=g(x)在[0,b]上至少含有 8 个零点,求 b 的最小值. 【分析】 (1)利用三角恒等变换化简函数 f(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性求得 函数 f(x)的单调减区间. (2)利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得 g(x)的解析式,再根据 g(x)在[0, b]上至少含有 8 个零点,求得 b 的最小值. =2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣ =sin2ωx﹣ cos2ωx=2sin 【解答】 解: (1) ∵函数 f (x) (2ωx ﹣ ) (ω>0) =π,∴ω=1,f(x)=2sin(2x﹣ ≤2kπ+ ],k∈Z. 个单位,再向上平移 1 个单位,得到 y=g(x)=2sin ,求得 kπ+ ) . ,故函数的减区间为

的最小正周期为 令 2kπ+ [kπ+ ≤2x﹣ ,kπ+

≤x≤kπ+

(2)将函数 f(x)的图象向左平移 (2x+ ﹣ )+1=2sin2x+1 的图象,

若 y=g(x)在[0,b]上至少含有 8 个零点,
4-11

令 g(x)=0,求得 sin2x=﹣ ,即 2x=2kπ+ 即 x=kπ+ ,或 x=kπ+ ,

,或 2x=2kπ+

k∈Z,

故 k=0,1,2,3,故 b 的最小值即函数 g(x)的第 8 个零点(从小到大排列) ,即 3π+ = .

20. (1)一个袋子中装有四个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为 1,2,3,4,先 从袋子中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该 球的编号为 n,求 n<m+2 的概率. x+m=0 有实根的概率. (2)设 m,n 是区间[0,1]上随机取得的两个数,求方程 x2﹣ 【分析】 (1)有放回的取球,根据分步计数原理可知有 16 种结果,满足条件的比较多不好 列举,可以从他的对立事件来做. (2)关键是要找出(m,n)对应图形的面积,及满足条件“关于 x 的一元二次方程 x2﹣ x+m=0 有实根”的点对应的图形的面积,然后再结合几何概型的计算公式进行求解. 【解答】解: (1)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m, 放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为 n, 其一切可能的结果(m,n)有: (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) ,共 16 个. 又满足条件 n≥m+2 的事件为: (1,3) , (1,4) , (2,4) ,共 3 个, 所以满足条件 n≥m+2 的事件的概率为 P1= . = ;

故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 1﹣P1=1﹣

(2)试验的全部结果所构成的区域为{(m,n)|0<m<1,0<n<1}(图中矩形所示) .其 面积为 1. ?x+m=0 有实根”的区域为 构成事件“关于 x 的一元二次方程 x2﹣ {{(m,n)|0<m<1,0<n<1,n≥2m}(如图阴影所示) .面积为 所以所求的概率为 . =

4-12

21.已知点 A(1,1) ,B(1,﹣1) ,C( (1)若| |= ,求 sin2θ 的值; +n =

cosθ,

sinθ) (θ∈R) ,O 为坐标原点.

(2)若实数 m,n 满足 m

,求(m﹣3)2+n2 的最大值. ,然后再根据向量 再两边平方即可得解.

【分析】 (1)根据向量的坐标计算(终点坐标减始点坐标)求出 减法和模的坐标计算结合条件| |= 得出 sinθ+cosθ=

(2) 根据向量相等和条件 m
2

+n

=

求出

然后再代入 (m﹣3)

+n2 中可得(m﹣3)2+n2=﹣3

(sinθ+cosθ)+10 再结合辅助角公式可得(m﹣3)2+n2= )=﹣1 时, (m﹣3)2+n2 取得最大值 16. cosθ, sinθ)

﹣6sin(θ+

)+10 从而可得出当 sin(θ+

【解答】解: (1)∵| ﹣ |=| |,A(1,1) ,B(1,﹣1) ,C( sinθ﹣1) ∴ =( cosθ﹣1, ∴| |2=( cosθ﹣1)2+( sinθ﹣1)2=﹣2 (sinθ+cosθ)+4. ∴﹣2 (sinθ+cosθ)+4=2,即 sinθ+cosθ= ,

两边平方得 1+sin2θ= , ∴sin2θ=﹣ . (2)由已知得: (m,m)+(n,﹣n)=( ∴ cosθ, sinθ) ,

解得

4-13

∴(m﹣3)2+n2=m2+n2﹣6m+9, =﹣3 (sinθ+cosθ)+10 =﹣6sin(θ+ ∴当 sin(θ+ )+10, )=﹣1 时, (m﹣3)2+n2 取得最大值 16.

22.已知向量 (1)若 α﹣β=

=(λcosα,λsinα) (λ≠0) , ,且 λ<0,求向量 与

=(﹣sinβ,cosβ) ,其中 O 为坐标原点. 的夹角;

(2)若| |≥2| |对于任意实数 α,β 都成立,求实数 λ 的取值范围. 【分析】 (1)设它们的夹角为 θ,利用向量的数量积公式表示出 cosθ,将已知条件代入,利 用特殊角的三角函数值求出两个向量的夹角. (2)利用向量模的坐标公式将已知条件转化为 λ2﹣2λsin(α﹣β)+1≥4 对任意的 α,β 恒 成立,再结合正弦函数的有界性,建立关于 λ 的不等式组,解之可得满足条件的实数 λ 的取 值范围 【解答】解: (1)设它们的夹角为 θ,∵向量 =(λcosα,λsinα) (λ≠0) , =(﹣sinβ, cosβ) , ∴ | ? =﹣λcosαsinβ+λsinαcosβ=λsin(α﹣β)=λsin |=1, = =﹣ , = ,

|=|λ|=﹣λ,|

∴cosθ=

∴θ=



(2)∴ = ﹣ , ∴| |2=| ﹣ |2=| |2+| |2﹣2 ? =1+λ2﹣2λsin(α﹣β) , ∵| |≥2| |对于任意实数 α,β 都成立, ∴λ2﹣2λsin(α﹣β)+1≥4, 即 λ2﹣2λsin(α﹣β)﹣3≥0 对任意实数 α、β 都成立 ∵﹣1≤sin(α﹣β)≤1, ∴ 解得 λ≤﹣3 或 λ≥3.

4-14

2016 年 8 月 18 日

4-15


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