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数列综合测试题1

时间:2015-08-09


·高 三 数 学 ·单 元 测 试 卷 ( 三 )
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 8 15 24 1.数列-1, ,- , ,?的一个通项公式是 5 7 9 A.an=(-1)n (n+1)2-1 n3+n n(n+3) B.an=(-1)n C.an=(-1)n 2n+1 2n+1 2n-1 D.an=(-1)n n(n+2) 2n+1

2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 S6=36,Sn=324,Sn-6=144,则 n= A.15 B.16 C.17 D.18 3.在等比数列{an}中,S4=1,S8=3,则 a17+a18+a19+a20 的值是 A.14 B.16 C.18 D.20 9 D. 8 4.已知-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列,则 b2(a2-a1)= A.8 B.-8 C.±8

5.设等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,若 a1>0,S4=S8,则当 Sn 取得最大值时,n 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 n+1 6.已知数列{an}的通项公式 an=log2 (n∈N+),设其前 n 项和为 Sn,则使 Sn<-5 成立的正整数 n n+2 A.有最小值 63 B.有最大值 63 C.有最小值 31 D.有最大值 31

7.设数列{an}是公比为 a(a≠1),首项为 b 的等比数列,Sn 是前 n 项和,对任意的 n∈N+ ,点(Sn ,Sn+1)在 A.直线 y=ax-b 上 B.直线 y=bx+a 上 C.直线 y=bx-a 上 D.直线 y=ax+b 上 10.已知 a1,a2,a3,?,a8 为各项都大于零的数列,则“a1+a8<a4+a5”是“a1,a2,a3,?,a8 不是等比 数列”的 A.充分且必要条件 B.充分但非必要条件 C.必要但非充分条件 D.既不充分也不必要条件

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.已知an ? logn?1 (n ? 2)(n ? N ? ) .我们把使乘积 a1·a2·a3·?·an 为整数的数 n 叫做“劣数”,则在区间 (1,2004)内的所有劣数的和为 . .

12.已知集合 An ? {x | 2n ? x ? 2n?1, 且x ? 7m ? 1, m, n ? N? } ,则 A6 中各元素的和为

13.等差数列{an}中,a1=-5,它的前 11 项的平均值是 5,若从中抽取 1 项,余下 10 项的平均值是 4,则抽取 的是第 项. . 14.若 a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 依次成等比数列,公比为 q,则 q3+q2+q= 15 若 数 列

{an }(n ? N? )



















a ? a2 ? a3 ? ? ? an bn ? 1 (n ? N ? ) n

也 为 等 差 数 列 , 类 比 上 述 性 质 , 相 应 地 , 若 数 列 {cn} 是 等 比 数 列 且 cn ? 0(n ? N? ) , 则 有 数 列 dn = (n∈N+)也是等比数列. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
1

16.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列{bn}的第二项, 第三项,第四项.⑴求数列{an}与{bn}的通项公式. ⑵设数列{cn}对任意正整数 n,均有

c c1 c2 c3 ? ? ? ?? ? n ? an?1 ,求 c1+c2+c3+?+c2004 的值. b1 b2 b3 bn

3 17.已知 f(x+1)=x2-4,等差数列{an}中,a1=f(x-1),a2=- ,a3=f(x).求: 2 ⑴x 的值;⑵数列{an}的通项公式 an;⑶a2+a5+a8+?+a26.

18.正数数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2 Sn=an+1. (1) 试求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 1 1 ,{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< . 2 an·an+1

1 19.已知函数 f(x)定义在区间(-1,1)上,f( )=-1,且当 x,y∈(-1,1)时,恒有 2 x-y 1 2a n 1 1 1 f(x)-f(y)=f( ),又数列{an}满足 a1= ,an+1= ,设 bn= + +?+ . 2 1+an2 f( a 1 ) f( a 2 ) f( a n ) 1-xy ⑴证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数;⑵求 f(an)的表达式; ⑶是否存在正整数 m,使得对任意 n∈N,都有 bn< 说明理由. m-8 成立,若存在,求出 m 的最小值;若不存在,请 4

21.已知函数 f(t)满足对任意实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且 f(-2)= -2. ⑴求 f(1)的值; ⑵证明:对一切大于 1 的正整数 t,恒有 f(t)>t; ⑶试求满足 f(t)=t 的整数 t 的个数,并说明理由.

2

一、 答案 D D
1? a

B
S n ?1 ?

B
b(1 ? a ) 1? a
n ?1

B

A

D
n

C

B
n ?1

B

n 提示: 7.∵ S n ? b(1 ? a )

∴ aSn ? b ?

b(1 ? a )a b(1 ? a) b(1 ? a ) ? ? ? S n ?1 1? a 1? a 1? a

故点 (Sn , Sn?1 ) 在直线 y=ax+b 上,选 D. 9.设现在总台数为 b,2003 年更新 a 台,则:b=a+a(1+10%)+??+a(1+10%)4. ∴b ? a?

1 ? (1 ? 10%)5 a , ? 16.5%. 1 ? (1 ? 10%) b

二、 a1a2 ??an ? log2 3 ? log3 4??logn?1 (n ? 2) ? log2 (n ? 2) ? k时,n+2=2k,由 n=2k-2∈(1,2004)有 2≤k ≤10(k∈Z).故所有劣数的和为(22+23+??+210)-2×9= 12 . 令 n = 6 得

4(1 ? 2 9 ) -18=2026. 1? 2

26 ? x ? 27 ,?64 ? x ? 128. 由64 ? 7m ? 1 ? 128 , m ? N?有10 ? m ? 18.

9?8 ? 7 ? 891 . 2 13.设抽取的是第 n 项.∵S11=55,S11-an=40,∴an=15,又∵S11=11a6 a6=5.由 a1=-5,得 d= a6 ? a1 ? 2 ,令 15=-5+(n-1)×2,∴n=11 6 ?1 14.设 x=a+b+c,则 b+c-a=xq,c+a-b=xq2,a+b-c=xq3,∴xq+xq2+xq3=x(x≠0) ∴q3+q2
故各元素之和为 S ? 9 ? 71 ? +q=1. 15. n C1C2C3 ?Cn 三、16. ⑵当 n=1 时,c1=3 当 n≥2 时,∵

cn ?3(n ? 1) 故 cn ? 2 ? 3n?1 ? an ?1 ? an , ∴ cn ? ? n?1 bn ?2 ? 3 (n ? 2)

?c1 ? c2 ? ?? c2004 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ?? 2 ? 32003 ? 32004
3 3 3 3 17. (2)由(1)知 a1,a2,a3 分别是 0,- ,-3 或-3,- ,0.∴ an ? ? (n ? 1)或an ? (n ? 3) (3) 2 2 2 2 9 9 3 3 351 3 当 an ? ? (n ? 1) 时, a2 ? a5 ? a8 ? ? ? a26 ? (a2 ? a26 ) ? [? ? ? (26 ? 1)] ? ? 2 2 2 2 2 2 当 an ?

3 9 9 3 9 297 (n ? 3) 时, a2 ? a5 ? a8 ? ? ? a26 ? (a2 ? a26 ) ? (? ? ? 39) ? . 2 2 2 2 2 2

18.(2) bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ),?Tn ? (1 ? )? (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2

19.(1)令 x=y=0,则 f(0)=0,再令 x=0,得 f(0)-f(y)=f(-y), ∴f(-y)=-f(y),y∈(-1,1),∴f(x)在(-1,1)上为奇函数. (2)? f (a1 ) ? f ( ) ? ?1,由(1)知f ( x) ? f ( y ) ? f (

1 2

x? y ), 1 ? xy
3

f (an ?1 ) 2an a ? an ?2 ? f (an?1 ) ? f ( )? f( n ) ? f (an ) ? f (an ) ? 2 f (an ) ,即 2 f ( an ) 1 ? an 1 ? an ? an
∴{f(an)}是以-1 为首项,2 为公比的等比数列,∴f(an)=-2n 1.


1 1? n 1 1 1 2 ? ?2 ? 1 . (3)? bn ? ?(1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? ? 1 2 2 2 2 n ?1 1? 2
若 bn ?

1 m 4 m ?8 恒成立(n∈N+),则 ? 2 ? n ?1 ? ? 2, 即m ? n ?1 . 2 4 2 4
4
n ?1

∵n∈N+, ∴当 n=1 时,

2

有最大值 4, 故 m>4. 又∵m∈N, ∴存在 m=5, 使得对任意 n∈N+, 有 bn ?

m ?8 . 4

20.解:(I)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡量为
2 2 cxn ,因此xn?1 ? xn ? axn ? bxn ? cxn , n ? N * .(*)

即xn?1 ? xn (a ? b ? 1 ? cxn ), n ? N * .(**)
n∈N*,从而由(*)式得

(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1,

x n (a ? b ? cx n )恒等于 0, n ? N *, 所以 a ? b ? cx1 ? 0.即x1 ?
猜测:当且仅当 a>b,且 x1 ?

a ?b . c

因为 x1>0,所以 a>b.

a?b 时,每年年初鱼群的总量保持不变. c

(Ⅲ)若 b 的值使得 xn>0,n∈N* 由 xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知 0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有 0<x1<3-b. 即 0<b<3-x1. 而 x1∈(0, 2),所以 b ? (0,1] 由此猜测 b 的最大允许值是 1. 下证 当 x1∈(0, 2) ,b=1 时,都

有 xn∈(0, 2), n∈N* 时结论成立,即 xk∈(0, 2), 则当 n=k+1 时,xk+1=xk(2-xk)>0.又因为 xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2, 所以 xk+1∈(0, 2),故当 n=k+1 时结论也成立.由①、②可知,对于任意的 n∈N*,都有 xn∈(0,2). 综上所述,为保证对任意 x1∈(0, 2), 都有 xn>0, n∈N*,则捕捞强度 b 的最大允许值是 1. 21. (1)x=y=0 得 f(0)= -1,x=y=-1 得 f(-2)=2f(-1)+2,而 f(-2)= -2,∴f(-1)=-2,x=1, y= -1 得 f(0)=f(1)+f(-1),∴f(1)=1 (2)x=n,y=1 得 f(n+1)=f(n)+f(1)+n+1=f(n)+n+2,∴f(n+1)-f(n)=n+2, ∴当 n∈N+时,f(n)=f(1)+[3+4+?+(n+1)]=

1 2 1 (n ? 3n ? 2)则f (n) ? n ? (n 2 ? n ? 2) ,而当 n∈N+,且 n>1 时,n2+n-2>0, 2 2
∴f(n)>n,则对一切大于 1 的正整数 t,恒有 f(t)>t. ( 3 )∵ y = - x 时 f(x - x) = f(x) + f( - x) + 1 - x2 ,∴ f(x) = x2 - 2 - f( - x) ,∵当 x ∈ N + 时由( 2 )知

1 1 f ( x) ? ( x 2 ? 3x ? 2) ,当 x=0 时,f(0)= -1= [0 2 ? 3 ? 0 ? 2] .适合 2 2
f (? x) ? 1 2 1 1 ( x ? 3x ? 2),? f ( x) ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 3x ? 2) ? ( x 2 ? 3x ? 2) 2 2 2

当 x 为负整数时,-x∈N+,则

故对一切 x∈Z 时,有 f ( x) ? 足 f(t)=t 的整数 t 有两个.

1 2 ( x ? 3x ? 2) , ∴当 t∈Z 时,由 f(t)=t 得 t2+t-2=0,即 t=1 或 t=2.满 2

4

5


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