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【红对勾】高中数学 2-2-2-1 椭圆的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1

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第二章 圆锥曲线与方程 2. 2 2.2.2 椭圆 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩 1.掌握椭圆的简单几何性质. 2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响. 新知视界 1.椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 -a≤x≤a 且-b≤ y≤b A1(- a,0)、A2(a,0), B1(0,-b)、B2(0,b) y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 -b≤x≤b 且-a≤ y≤a A1(0,-a)、A2(0,a), B1(- b,0)、B2(b,0) 短轴长=2b,长轴长=2a F1(- c,0)、F2(c,0) F1(0,- c)、F2(0, c) |F1F2|= 2c 对称轴 x 轴和 y 轴,对称中心(0,0) c e= (0<e<1) a 思考感悟 离心率 e 如何用 a、b 表示? 2 2 a - b c 提示:e= = a a 2.椭圆的离心率 (1)椭圆的离心率是由a与c确定的,其范围是 (0,1). (2)椭圆的离心率越接近于1,椭圆越扁;椭圆的离 心率越接近于0,椭圆越接近于圆. 思考感悟 1. 如图 1 所示椭圆中的△ OF2B2, 能否找出 a, b,c,e 对应的线段或量? 提示:a=|F2B2|, b=|OB2|, c= |OF2 |, c |OF2| e= = =cos∠OF2B2. a |F2B2| x2 y2 x2 y2 2. 椭圆 C1 + = 1 与椭圆 C2 + =1 哪个更 4 3 25 16 扁?如何比较? 1 c 3 提示:由 C1 方程可知 e1= ,而 C2 中 e2= = , 2 a 5 e1<e2 故椭圆 C1 更圆,椭圆 C2 更扁. 尝 试 应 用 1.椭圆 6x2+ y2= 6 的长轴的端点坐标是( A. (- 1,0)、 (1,0) C.(- 6,0)、( 6,0) B. (-6,0)、 (6,0) ) D.(0,- 6)、(0, 6) 答案:D 2 .椭圆 25x2 + 9y2 = 225 的长轴长、短轴长、离心 率依次是( ) A.5、3、0.8 B.10、6、0.8 C.5、3、0.6 D.10、6、0.6 x2 y2 解析: 把椭圆的方程写成标准方程为 + =1, 9 25 知 a=5,b=3, c=4. c ∴2a=10,2b=6, =0.8. a 答案:B 3. 椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三 角形,则此椭圆的离心率是( 1 A. 5 3 C. 3 3 B. 4 1 D. 2 ) 解析: ∵椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边 c 1 三角形,∴a=2c, = . a 2 答案:D 4.某椭圆中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长 为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方 程是__________. 1 解析: ∵ 2a= 18,2c= × 2a= 6, 3 ∴ a= 9, c= 3, b2= 81- 9= 72. x2 y2 ∴椭圆的方程为 + = 1. 81 72 x2 y2 答案: + =1 81 72 8x2 y2 5.已知椭圆 + =1 上一点 M 的纵坐标为 2. 81 36 (1)求 M 的横坐标; x2 y2 (2)求过 M 且与 + =1 共焦点的椭圆的方程. 9 4 8x2 y2 解: (1)把 M 的纵坐标代入 + = 1 得 81 36 8x2 4 + = 1,即 x2= 9. 81 36 ∴ x=± 3. 即 M 的横坐标为 3 或- 3. x2 y2 (2)对于椭圆 + = 1, 9 4 焦点在 x 轴上且 c2= 9- 4=5, x2 y2 故设所求椭圆的方程为 2+ 2 = 1(a2>5), a a -5 9 4 把 M 点坐标代入得 2+ 2 = 1,解得 a2= 15. a a -5 x2 y2 故所求椭圆的方程为 + = 1. 15 10 典例精析 类型一 [例1] 由椭圆的标准方程研究几何性质 求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、 离心率、焦点和顶点坐标. [分析] 先将椭圆方程化为标准形式,再利用a、b、 c之间的关系可求出. [解] x2 y2 把已知方程化成标准方程 + = 1, 16 9 于是 a= 4, b= 3, c= 16- 9 = 7, ∴椭圆的长轴和短轴长分别是 2a= 8 和 2b= 6, c 7 离心率 e= = , a 4 两个焦点坐标分别是 F1(- 7, 0)和 F2( 7, 0), 四个顶点坐标分别是 A1(- 4,0), A2(4,0), B1(0,- 3)和 B2(0,3). [点评] 解决这类问题关键是将所给方程正确地化 为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个 坐标轴上,再利用a,b,c之间的关系求椭圆的几何 性质. 迁移体验1 求椭圆16x2+9y2=144的长轴长、短 轴长、离心率、焦点和顶点坐标. x 2 y2 解: 把方程 16x + 9y = 144 化为标准方程 + = 1, 9 16 2 2 于是 a= 4, b= 3, c= 16- 9 = 7, ∴椭圆的长轴和短轴长分别是 2a= 8 和 2b= 6, c 7 离心率 e= = , a 4 两个焦点坐标分别为 F1(0,- 7), F2(0, 7),四 个顶点坐标分别是 A1(0, - 4), A2(0,4), B1(- 3,0), B2(3,0). 类型二 由椭圆的几何性质求标准方程 [例 2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程: 2 (1)长轴长是 6,离心率是 . 3 (2)在 x 轴上的一个焦点, 与短轴两个端点的

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