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北京市西城区2013届高三第二次模拟考试理科数学试题

时间:2013-05-14


北京市西城区 2013 年高三二模试卷

高三数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

2013.5

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1.已知全集 U ? {0,1, 2,3, 4} ,集合 A ? {0,1, 2,3} , B ? {2,3, 4} ,那么 ?U ( A ? B) ? (A) {0,1} (C) {0,1, 4} (B) {2,3} (D) {0,1, 2,3, 4}

2.在复平面内,复数 z1 的对应点是 Z1 (1,1) , z2 的对应点是 Z 2 (1, ?1) ,则 z1 ? z2 ? (A) 1 (B) 2 (C) ? i (D) i

3.在极坐标系中,圆心为 (1, ) ,且过极点的圆的方程是 (A) ? ? 2sin ? (B) ? ? ?2sin ? (C) ? ? 2cos ? (D) ? ? ?2cos ?

? 2

4.如图所示的程序框图表示求算式“ 2 ? 3 ? 5 ? 9 ?17 ” 之值, 则判断框内可以填入 (A) k ? 10 (B) k ? 16 (C) k ? 22 (D) k ? 34

5.设 a ? 2 2 , b ? 33 , c ? log3 2 ,则
1

1

(A) b ? a ? c (C) c ? b ? a

(B) a ? b ? c (D) c ? a ? b

6.对于直线 m , n 和平面 ? , ? ,使 m ? ? 成立的一个充分条件是 (A) m ? n , n ∥ ? (C) m ? ? , n ? ? , n ? ? (B) m ∥ ? , ? ? ? (D) m ? n , n ? ? , ? ? ?

7.已知正六边形 ABCDEF 的边长是 2 ,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物 线的焦点到准线的距离是

(A)

3 4

(B)

3 2

(C) 3

(D) 2 3

8.已知函数 f ( x) ? x ? [ x] ,其中 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数.若关 于 x 的 方 程

f ( x) ? kx ? k 有三个不同的实根,则实数 k 的取值范围是
1 1 1 2 4 3 1 1 1 (C) [ ? , ? ) ? ( ,1] 3 4 2
(A) [?1, ? ) ? ( , ]

1 1 1 2 4 3 1 1 1 (D) (? , ? ] ? [ ,1) 3 4 2
(B) (?1, ? ] ? [ , )

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.右图是甲,乙两组各 6 名同学身高(单位: cm )数据 的茎叶图.记甲,乙两组数据的平均数依次为 x甲 和 x乙 , 则 x甲 ______ x乙 . (填入: ? ”“ ? ” “ , ,或“ ? ” )

10. (2 x ? 1)5 的展开式中 x 项的系数是______. (用数字作答)
3

11.在△ ABC 中, BC ? 2 , AC ? 7 , B ?

? ,则 AB ? ______;△ ABC 的面积是______. 3

12. 如图,AB 是半圆 O 的直径,P 在 AB 的延长线上,PD 与半圆 O 相切于点 C ,AD ? PD . 若

PC ? 4 , PB ? 2 ,则 CD ? ______.

13.在等差数列 {an } 中, a2 ? 5 , a1 ? a4 ? 12 ,则 an ? ______;设 bn ? 列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? ______.

1 (n ? N* ) ,则数 a ?1
2 n

14.已知正数 a, b, c 满足 a ? b ? ab , a ? b ? c ? abc ,则 c 的取值范围是______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边交单位圆于 点 A , 且 ? ?? , ) . 将 角 ? 的 终 边 按 逆 时 针 方 向 旋 转

? ? 6 2

? ,交单位圆于点 B .记 3

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) .
(Ⅰ )若 x1 ?

1 ,求 x2 ; 3

(Ⅱ )分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ AOC 的面积为 S1 ,△ BOD 的面积为 S2 .若 S1 ? 2S2 ,求角 ? 的值.

16. (本小题满分 13 分) 某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满 300 元的顾客,将获得一次摸奖机会, 规则如下: 奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球,1 个黄球,1 个白球和 1 个黑球.顾客不放回的每 次摸出 1 个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球 奖励 10 元,摸到白球或黄球奖励 5 元,摸到黑球不奖励. (Ⅰ)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率; (Ⅱ)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

17. (本小题满分 14 分) 如图 1,四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 底面 ABCD ,面 ABCD 是直角梯形, M 为侧棱 PD 上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图 2 所示. (Ⅰ)证明: BC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)证明: AM ∥平面 PBC ;

(Ⅲ)线段 CD 上是否存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 符合要求的点 N ,并求 CN 的长;若不存在,说明理由.

3 ?若存在,找到所有 4

18. (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1(0 ? m ? 1) 的左顶点为 A , M 是椭圆 C 上异于点 A 的任意一点, m

点 P 与点 A 关于点 M 对称. (Ⅰ)若点 P 的坐标为 ( ,

9 4 3 ) ,求 m 的值; 5 5

(Ⅱ)若椭圆 C 上存在点 M ,使得 OP ? OM ,求 m 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

2 3 x ? 2 x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ,其中 a ? R . 3

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最大值和最小值.

20. (本小题满分 13 分) 已知集合 Sn ? {( x1 , x2 ,?, xn ) | x1, x2 ,?, xn 是正整数 1, 2,3,?, n 的一个排列 } (n ? 2) , 函数

?1, x ? 0, g ( x) ? ? ??1, x ? 0.
对于 (a1 , a2 ,…an ) ? Sn ,定义:

bi ? g (ai ? a1 ) ? g (ai ? a2 ) ? ?? g (ai ? ai ?1 ), i ?{2,3,?, n} ,b1 ? 0 ,称 bi 为 ai 的满意指数.排
列 b1 , b2 ,?, bn 为排列 a1 , a2 ,?, an 的生成列;排列 a1 , a2 ,?, an 为排列 b1 , b2 ,?, bn 的母列.

(Ⅰ)当 n ? 6 时,写出排列 3,5,1, 4,6, 2 的生成列及排列 0, ?1, 2, ?3, 4,3 的母列;

? ? ? (Ⅱ)证明:若 a1 , a2 ,?, an 和 a1 , a2 ,?, an 为 Sn 中两个不同排列,则它们的生成列也不同;
(Ⅲ)对于 Sn 中的排列 a1 , a2 ,?, an ,定义变换 ? :将排列 a1 , a2 ,?, an 从左至右第一个满意 指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:一定可以经过有限次 变换 ? 将排列 a1 , a2 ,?, an 变换为各项满意指数均为非负数的排列.

北京市西城区 2013 年高三二模试卷

高三数学(理科)参考答案及评分标准
2013.5 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C; 2.B; 3.A; 4.C; 5.D; 6.C; 7.B; 8.B.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ? ; 10. 80 ; 11. 3 ,

3 3 ; 2

12.

12 ; 5

13. 2n ? 1 ,

n ; 4(n ? 1)

14. (1, ] .

4 3

注:11、13 题第一空 2 分,第二空 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给 分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解:由三角函数定义,得 x1 ? cos ? , x2 ? cos(? ? 分 因为 ? ? ? , ) , cos ? ? 所以 sin ? ? 1 ? cos

? ). 3

??????2

? ? 6 2

1 , 3

2

??

2 2 . 3

????3 分

所以 x2 ? cos(? ? ) ?

? 3

1 3 1? 2 6 cos ? ? sin ? ? . 2 2 6

??????5 分

(Ⅱ )解:依题意得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ? 所以 S1 ?

? ). 3

1 1 1 x1 y1 ? cos ? ? sin ? ? sin 2? , ??????7 分 2 2 4 1 1 ? ? 1 2? S2 ? | x2 | y2 ? [? cos(? ? )] ? sin(? ? ) ? ? sin(2? ? ) . ?????9 2 2 3 3 4 3
2? ), 3
??????11 分

分 依题意得 sin 2? ? ?2sin(2? ? 整理得 cos 2? ? 0 .

? ? ? ? ? , 所以 6 2 ? 所以 2? ? , 即 ? ? 2
因为

? ? 2? ? ? , 3 ? . 4

??????13 分

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为事件 A ,
2 A3 1 则 P( A) ? 3 ? , A4 4

??????1 分

故 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率为

1 . 4

??????4 分 ??????5 分

(Ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 0,5,10,15, 20 .

P ( X ? 0) ?

1 , 4

P( X ? 5) ? P( X ? 15) ?

A2 1 2 ? , A2 6 4 C1 ? A2 1 2 2 ? , A3 6 4
??????10 分

P( X ? 10) ? P( X ? 20) ?

1 A2 1 ? 2? , A 2 A3 6 4 4 A3 1 3 ? . A4 4 4

所以,随机变量 X 的分布列为:

X
P

0

5

10

15

20

1 4

1 6

1 6

1 6

1 4
??????11 分

1 1 1 1 1 EX ? 0 ? ? 5 ? ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 10 . 4 6 6 6 4

??????13 分

17. (本小题满分 14 分) 【方法一】 (Ⅰ)证明:由俯视图可得, BD ? BC ? CD ,
2 2 2

所以 BC ? BD . 又因为 PD ? 平面 ABCD , 所以 BC ? PD , 所以 BC ? 平面 PBD .

??????1 分

??????3 分 ??????4 分 ??????5 分

(Ⅱ )证明:取 PC 上一点 Q ,使 PQ : PC ? 1: 4 ,连结 MQ , BQ . 由左视图知 PM : PD ? 1 : 4 ,所以 MQ ∥ CD , MQ ?

1 CD .????6 分 4

? ? 在△ BCD 中,易得 ?CDB ? 60 ,所以 ?ADB ? 30 .又 BD ? 2 , 所以 AB ? 1 ,

AD ? 3 .
又因为 AB ∥ CD , AB ?

1 CD ,所以 AB ∥ MQ , AB ? MQ . 4

所以四边形 ABQM 为平行四边形,所以 AM ∥ BQ .??????8 分 因为 AM ? 平面 PBC , BQ ? 平面 PBC , 所以 直线 AM ∥平面 PBC . ??????9 分

(Ⅲ)解:线段 CD 上存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为

3 .证明如下:??10 分 4

因为 PD ? 平面 ABCD , DA ? DC ,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz . 所以 D(0,0,0), A( 3,0,0), B( 3,1,0),C(0,4,0), M (0,0,3) . 设 N (0, t ,0) ,其中 0 ? t ? 4 . ??????11 分

所以 AM ? (? 3,0,3) , BN ? (? 3, t ? 1,0) .

???? ???? ? 3 | AM ? BN | 3 ? 要使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 ,则有 ???? ???? ? ,?????12 分 4 | AM || BN | 4
所以

|3| 2 3 ? 3 ? (t ? 1)
2

?

3 ,解得 t ? 0 或 2 ,均适合 0 ? t ? 4 .????13 分 4

故点 N 位于 D 点处,此时 CN ? 4 ;或 CD 中点处,此时 CN ? 2 ,有 AM 与 BN 所成角

的余弦值为

3 . 4

??????14 分

【方法二】 (Ⅰ)证明:因为 PD ? 平面 ABCD , DA ? DC ,建立如图所示 的空间直角坐标系 D ? xyz . 在△ BCD 中,易得 ?CDB ? 60 ,所以 ?ADB ? 30 , 因为 BD ? 2 , 所以 AB ? 1 , AD ? 3 .
? ?

由俯视图和左视图可得:

D(0,0,0), A( 3,0,0), B( 3,1,0),C(0,4,0), M (0,0,3), P(0,0,4) .
所以 BC ? (? 3,3,0) , DB ? ( 3,1,0) . 因为 BC ? DB ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 1 ? 0 ? 0 ? 0 ,所以 BC ? BD . 又因为 PD ? 平面 ABCD ,所以 BC ? PD , 所以 BC ? 平面 PBD . ??????2 分

??????3 分 ??????4 分

??? ? ?n ? PC ? 0, ? (Ⅱ )证明:设平面 PBC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ??? ? ?n ? BC ? 0. ?
因为 BC ? (? 3,3,0) , PC ? (0,4,?4) , 所以 ?

? 4 y ? 4 z ? 0, ? 取 y ? 1 ,得 n ? ( 3,1,1) . ? ? 3 x ? 3 y ? 0. ?

??????6 分

因为 AM ? (? 3,0,3) , 所以 AM ? n ?

3 ? (? 3) ? 1? 0 ? 1? 3 ? 0 .

??????8 分

因为 AM ? 平面 PBC , 所以 直线 AM ∥平面 PBC . ??????9 分

(Ⅲ)解:线段 CD 上存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 分

3 .证明如下:???10 4

设 N (0, t ,0) ,其中 0 ? t ? 4 . 所以 AM ? (? 3,0,3) , BN ? (? 3, t ? 1,0) . 要使 AM 与 BN 所成角的余弦值为

??????11 分

3 | AM ? BN | 3 ,则有 ,????12 分 ? 4 | AM | ? | BN | 4
???13 分

所以

|3| 2 3 ? 3 ? (t ? 1) 2

?

3 ,解得 t ? 0 或 2 ,均适合 0 ? t ? 4 . 4

故点 N 位于 D 点处,此时 CN ? 4 ;或 CD 中点处,此时 CN ? 2 ,有 AM 与 BN 所成角 的余弦值为

3 . 4

??????14 分

18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:依题意, M 是线段 AP 的中点, 因为 A(?1, 0) , P( ,

9 4 3 ), 5 5 2 2 3 ) .??????2 分 5 5

所以 点 M 的坐标为 ( , 由点 M 在椭圆 C 上,

4 12 ? ?1, 25 25m 4 解得 m ? . 7
所以 (Ⅱ)解:设 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?
2

??????4 分 ??????5 分
2 y0 ? 1 ,且 ?1 ? x0 ? 1. m



??????6

分 因为 M 是线段 AP 的中点, 所以 P(2 x0 ? 1, 2 y0 ) . 因为 OP ? OM , 所以 x0 (2 x0 ? 1) ? 2 y02 ? 0 . 由 ①,② 消去 y0 ,整理得 m ? ②
2 2 x0 ? x0 . 2 2 x0 ? 2

??????7 分

??????8 分

??????10 分

所以 m ? 1 ?

1 6 2( x0 ? 2) ? ?8 x0 ? 2

?

1 3 , ? 2 4

??????12 分

当且仅当 x0 ? ?2 ? 3 时,上式等号成立. 所以 m 的取值范围是 (0,

1 3 ? ]. 2 4

??????13 分

19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解: f ( x ) 的定义域为 R , 且 f ?( x) ? 2x2 ? 4x ? 2 ? a . 当 a ? 2 时, f (1) ? ? ?????2 分

1 , f ?(1) ? ?2 , 3 1 ? ?2( x ? 1) , 3
??????4

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 即 6x ? 3 y ? 5 ? 0 . 分 (Ⅱ)解:方程 f ?( x) ? 0 的判别式为 ? ? 8a .

(ⅰ) a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , 当 所以 f ( x ) 在区间 (2,3) 上单调递增, 所以 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 f (2) ?

7 ? 2a ;最大值是 f (3) ? 7 ? 3a . 3

??????6 分

(ⅱ)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 ?

2a 2a ,或 x2 ? 1 ? . 2 2

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)
(??, x1 )
x1

( x1 , x2 )
?

x2
0

( x2 , ? ?)

?

0

?







故 f ( x ) 的 单 调 增 区 间 为 (??, 1 ?

2a 2a , ?? ) ; 单 调 减 区 间 为 ) , (1 ? 2 2

(1 ?

2a 2a ,1 ? ). 2 2
??????8 分

① 当 0 ? a ? 2 时, x2 ? 2 ,此时 f ( x ) 在区间 (2,3) 上单调递增,所以 f ( x ) 在区间 [2,3]

上的最小值是 f (2) ? 分

7 ? 2a ;最大值是 f (3) ? 7 ? 3a . 3

??????10

② 当 2 ? a ? 8 时, x1 ? 2 ? x2 ? 3 ,此时 f ( x ) 在区间 (2, x2 ) 上单调递减,在区间 ( x2 ,3) 上单调递增, 所以 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 f ( x2 ) ? 因为 f (3) ? f (2) ? 所以 当 2 ? a ?

5 a 2a .??????11 分 ?a? 3 3

14 ?a , 3

14 14 ? a ? 8 时, 时, f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最大值是 f (3) ? 7 ? 3a ;当 3 3 7 f ( x) 在区间 [2,3] 上的最大值是 f (2) ? ? 2a . ??????12 分 3
③ 当 a ? 8 时, x1 ? 2 ? 3 ? x2 ,此时 f ( x ) 在区间 (2,3) 上单调递减, 所以 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 f (3) ? 7 ? 3a ;最大值是 f (2) ? 分 综上, 当 a ? 2 时, f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 当2 ? a ?

7 ? 2a .??????14 3

7 ? 2 a ,最大值是 7 ? 3a ; 3

14 5 a 2a 时, f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 ? a ? ,最大值是 7 ? 3a ; 3 3 3



14 7 5 a 2a ? a ? 8 时, f ( x) 在区间 [2,3] 上的最小值是 ? a ? ,最大值是 ? 2 a ; 3 3 3 3

当 a ? 8 时, f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 7 ? 3a ,最大值是

7 ? 2a . 3

20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:当 n ? 6 时,排列 3,5,1, 4,6, 2 的生成列为 0,1, ?2,1, 4, ?3 ; 排列 0, ?1, 2, ?3, 4,3 的母列为 3, 2, 4,1,6,5 . ??????2 分

??????3 分

? ? ? ? ? ? (Ⅱ)证明:设 a1 , a2 ,?, an 的生成列是 b1 , b2 ,?, bn ; a1 , a2 ,?, an 的生成列是与 b1 , b2 ,?, bn .

? ? ? ? ? 从右往左数,设排列 a1 , a2 ,?, an 与 a1 , a2 ,?, an 第一个不同的项为 ak 与 ak ,即:an ? an , ? ? ? an?1 ? an?1 , ? , ak ?1 ? ak ?1 , ak ? ak . ? ? ? ? 显然 bn ? bn , bn?1 ? bn?1 , ? , bk ?1 ? bk ?1 ,下面证明: bk ? bk . ??????5 分
由满意指数的定义知, ai 的满意指数为排列 a1 , a2 ,?, an 中前 i ? 1 项中比 ai 小的项的个数 减去比 ai 大的项的个数. 由于排列 a1 , a2 ,?, an 的前 k 项各不相同,设这 k 项中有 l 项比 ak 小,则有 k ? l ? 1 项比 ak 大,从而 bk ? l ? (k ? l ?1) ? 2l ? k ? 1.

? ? ? ? ? ? 同理, 设排列 a1 , a2 ,?, an 中有 l ? 项比 ak 小, 则有 k ? l ? ? 1 项比 ak 大, 从而 bk ? 2l ? ? k ? 1 . ? ? ? ? 因为 a1 , a2 ,?, ak 与 a1 , a2 ,?, ak 是 k 个不同数的两个不同排列,且 ak ? ak ,

? 所以 l ? l ? , 从而 bk ? bk .
? ? ? 所以排列 a1 , a2 ,?, an 和 a1 , a2 ,?, an 的生成列也不同.
??????8 分

(Ⅲ)证明:设排列 a1 , a2 ,?, an 的生成列为 b1 , b2 ,?, bn ,且 ak 为 a1 , a2 ,?, an 中从左至右第一个 满意指数为负数的项,所以 b1 ? 0, b2 ? 0,?, bk ?1 ? 0, bk ? ?1 . ??????9 分

进行一次变换 ? 后,排列 a1 , a2 ,?, an 变换为 ak , a1 , a2 ,?ak ?1 , ak ?1 ,?, an ,设该排列的生

? ? ? 成列为 b1 , b2 ,?, bn . ? ? ? 所以 (b1 ? b2 ? ?? bn ) ? (b1 ? b2 ? ?? bn ) ? [ g (a1 ? ak ) ? g (a2 ? ak ) ? ?? g (ak ?1 ? ak )] ? [ g (ak ? a1 ) ? g (ak ? a2 ) ? ?? g (ak ? ak ?1 )] ? ? [g (k ? 1 ) ? g (a ?2 a ? ? gk( a ? k 1a ) ] 2 a a )? ? k ? ?2bk ? 2 .
??????11 分

因此,经过一次变换 ? 后,整个排列的各项满意指数之和将至少增加 2 . 因为 ai 的满意指数 bi ? i ? 1,其中 i ? 1, 2,3,?, n , 所以,整个排列的各项满意指数之和不超过 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? 即整个排列的各项满意指数之和为有限数, 所以经过有限次变换 ? 后,一定会使各项的满意指数均为非负数. ??13 分

(n ? 1)n , 2


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