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【步步高 学案导学设计】2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-1全册综合检测题(含答案)

时间:2014-07-16


综合检测
一、选择题 1 1.已知命题 p:?x∈R,x2-x+ >0,则綈 p 为 4 1 A.?x∈R,x2-x+ ≤0 4 1 B.?x∈R,x2-x+ ≤0 4 1 C.?x∈R,x2-x+ >0 4 1 D.?x∈R,x2-x+ ≥0 4 x2 y2 2.双曲线 2 - =1 的焦距是 m +12 4-m2 A.4 C.8 B .2 2 D.与 m 有关 ( ) ( ) ( )

3.已知空间向量 a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|等于 5 3 A. 2 B. 21 2 C. 37 2 3 5 D. 2

4.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行” 的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

x2 y2 3a 5. 设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左, 右焦点, P 为直线 x= 上一点, △F2PF1 a b 2 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为 1 A. 2 2 B. 3 3 C. 4 4 D. 5 ( )

→ → → → 6. 对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A、 B、 C, 有如下关系: 6OP=OA+2OB+3OC, 则 A.四点 O、A、B、C 必共面 B.四点 P、A、B、C 必共面 C.四点 O、P、B、C 必共面 D.五点 O、P、A、B、C 必共面 7.若命题“?x∈R,使 x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数 a 的取值范围为( A.1≤a≤3 B.-1≤a≤3 ) ( )

C.-3≤a≤3

D.-1≤a≤1

8.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线 准线的距离之和的最小值为 A. 17 2 B.3 C. 5 9 D. 2 ( )

9.如图,将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,若点 P → 1→ 1→ → → 满足BP= BA- BC+BD,则|BP|2 的值为 2 2 3 A. 2 B.2 10- 2 C. 4 9 D. 4 ( )

1 1 10.已知命题 p:“若 a>b>0,则 log a<log b+1”,则命题 p 的逆命题、否命题、逆否 2 2 命题中真命题的个数为 A.0 B.1 C .2 D.4 ) ( )

11.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值为 ( A. 2 4 B. 2 3 C. 3 3 D. 3 2

x2 12.过 M(-2,0)的直线 m 与椭圆 +y2=1 交于 P1、P2 两点,线段 P1P2 的中点为 P,设 2 直线 m 的斜率为 k1 (k1≠0),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值为 A.2 B.-2 1 C. 2 1 D.- 2 ( )

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) → → → 13.在四面体 OABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D 为 BC 的中点,E 为 → AD 的中点,则OE=________.(用 a,b,c 表示) 14.命题 p:若 a,b∈R,则“ab=0”是“a=0”的充分条件,命题 q: 函数 y= x-3的定义域是[3,+∞),则“p∨q”“p∧q”“綈 p”中是真命题的有 ________. x2 y2 15.设 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF1|-|PF2|=1,则 3 4 cos∠F1PF2=________. 16.如图,已知 A(-3p,0) (p>0),B、C 两点分别在 y 轴和 x 轴上运动,并 → → → 1→ 且满足AB· BQ=0, BC= CQ, 则动点 Q 的轨迹方程为____________. 2 三、解答题 17.已知命题 p:不等式|x-1|>m-1 的解集为 R,命题 q:f(x)=-(5-2m)x 是减函数,

若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围. 18.已知椭圆 x2+(m+3)y2=m (m>0)的离心率 e= 长、焦点坐标和顶点坐标. x2 y2 2 19.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率为 ,且 a2=2b. b a 2 (1)求椭圆的方程; (2)若直线 l:x-y+m=0 与椭圆交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上,求 m 的值. 20.如图,平面 PAC⊥平面 ABC, △ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角 三角形,E,F,O 分别为 PA,PB,AC 的中点,AC=16,PA= PC=10.设 G 是 OC 的中点,证明:FG∥平面 BOE. 21.如图,在四棱锥 A—BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC⊥ 底面 BCDE,BC=2,CD= 2,AB=AC. (1)证明 AD⊥CE; (2)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45° ,求二面角 C—AD—E 的余 弦值. x2 y2 22.已知椭圆 + =1 与射线 y= 2x (x≥0)交于点 A,过 A 作倾斜角互补的两条直线, 2 4 它们与椭圆的另一交点为点 B 和点 C. (1)求证:直线 BC 的斜率为定值,并求出这个定值; (2)求△ABC 面积的最大值. 3 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的 2

答案
1.B 2.C 3.D 4.A 5.C 11.C 12.D 1 1 1 13. a+ b+ c 2 4 4 14.p∨q,綈 p 3 15. 5 16.y2=4px (p>0) 17.解 由于不等式|x-1|>m-1 的解集为 R,所以 m-1<0,m<1; 又由于 f(x)=-(5-2m)x 是减函数, 所以 5-2m>1,m<2. 即命题 p:m<1,命题 q:m<2. 又由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假, 所以 p 和 q 中一真一假.
?m<1, ? 当 p 真 q 假时应有? m 无解. ?m≥2, ? ?m≥1, ? 当 p 假 q 真时应有? ? ?m<2,

6.B

7.B 8.A

9.D

10.B

1≤m<2.

故实数 m 的取值范围是 1≤m<2. x2 y2 18.解 椭圆的方程可化为 + =1. m m m+3 m?m+2? m ∵m- = >0, m+3 m+3 m m ∴m> ,即 a2=m,b2= , m+3 m+3 c= a2-b2= 由 e= 3 ,得 2 m?m+2? . m+3 m+2 3 = ,∴m=1, m+3 2
2

y2 ∴椭圆的标准方程为 x + =1, 1 4 1 3 ∴a=1,b= ,c= . 2 2

∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1, 两焦点分别为 F1?-

?

3 ? ,0 , 2 ?

F 2?

3 ? , ? 2 ,0?

1 1 0,- ?,B2?0, ?. 四个顶点分别为 A1(-1,0),A2(1,0),B1? 2? ? ? 2? c 2 ? ?a= 2 , (1)由题意得? a =2b, ? ?b =a -c ,
2 2 2 2

19.解

?a= 2, ? 解得?c=1, ? ?b=1,
y2 故椭圆的方程为 x2+ =1. 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0). 联立直线与椭圆的方程得 y ? ?x2+ 2 =1, ? ?x-y+m=0, ? 即 3x2+2mx+m2-2=0, x1+x2 m 2m? m 2m 所以 x0= =- ,y0=x0+m= ,即 M? ?- 3 , 3 ?, 2 3 3 又因为 M 点在圆 x2+y2=5 上, m?2 ?2m?2 所以? ?- 3 ? +? 3 ? =5, 解得 m=± 3. 20.证明 如图,连接 OP,以点 O 为坐标原点,分别以 OB,OC,OP 所在直线为 x 轴, y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系 Oxyz,则 O(0,0,0),B(8,0,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3),G(0,4,0). → → 因为OB=(8,0,0),OE=(0,-4,3), 设平面 BOE 的法向量为 n=(x,y,z),
2

→ ? OB=8x=0, ?n· 则? → ? OE=-4y+3z=0, ?n· 解得 x=0,4y=3z,令 z=4,则 n=(0,3,4),所以平面 BOE 的一个法向量为 n=(0,3,4). → → 由FG=(-4,4,-3),得 n· FG=0, 又直线 FG 不在平面 BOE 内, 所以 FG∥平面 BOE. 21.(1)证明 作 AO⊥BC,垂足为 O,则 AO⊥底面 BCDE,且 O 为 BC 的中点. 以 O 为坐标原点,射线 OC 为 x 轴正方向,建立如图(1)所示 的空间直角坐标系 Oxyz. 设 A(0,0,t). 由已知条件有 图(1)

→ → C(1,0,0),D(1, 2,0),E(-1, 2,0),CE=(-2, 2,0),AD=(1, 2,-t), → → 所以CE· AD=0,得 AD⊥CE. (2)解 作 CF⊥AB,垂足为 F,连接 FE,如图(2)所示. → → 设 F(x,0,z),则CF=(x-1,0,z),BE=(0, 2,0), → → CF· BE=0. 故 CF⊥BE. 又 AB∩BE=B, 所以 CF⊥平面 ABE, 故∠CEF 是 CE 与平面 ABE 所成的角,∠CEF=45° , 由 CE= 6,得 CF= 3. 又 CB=2,所以∠FBC=60° , 所以△ABC 为等边三角形, 因此 A(0,0, 3). 作 CG⊥AD,垂足为 G,连接 GE. 2 在 Rt△ACD 中,求得|AG|= |AD|. 3 2 2 2 3? 故 G? , , ?3 3 , 3 ? 图(2)

1 2 2 3? → GC=? ,- , ,- 3 3? ?3 5 2 3 → GE=?- , ,- ?. 3? ? 3 3 → → → 又AD=(1, 2,- 3),GC· AD=0, → → GE· AD=0, → → 所以GC与GE的夹角等于二面角 C—AD—E 的平面角. → → GC· GE 10 → → 由 cos〈GC,GE〉= =- . 10 → → |GC||GE| 得二面角 C—AD—E 的余弦值为 x y ? ? 2 + 4 =1, 22.(1)证明 由? ? ?y= 2x ?x≥0? 得 A(1, 2). 设直线 AB 的斜率为 k,则直线 AC 的斜率为-k. 直线 AB 的方程为 y=k(x-1)+ 2,① 直线 AC 的方程为 y=-k(x-1)+ 2,② 将①代入椭圆方程并化简得 (k2+2)x2-2(k- 2)kx+k2-2 2k-2=0. ∵1 和 xB 是它的两个根, k2-2 2k-2 ∴xB= , k2+2 - 2k2-4k+2 2 yB=kxB+ 2-k= . k2+2 k2+2 2k-2 同理可得 xC= , k2+2 - 2k2+4k+2 2 yC= . k2+2 yB-yC ∴kBC= = 2. xB-xC (2)解 设直线 BC 的方程为 y= 2x+m,
2 2

10 . 10

代入椭圆方程并化简得 4x2+2 2mx+m2-4=0,

|BC|= 3|x1-x2|=

3 16-2m2 . 2 |m| , 3

∵A 到 BC 的距离为 d= ∴S△ABC=

2 2 m2?16-2m2? 1 2m +?16-2m ? ≤ · = 2,当且仅当 2m2=16-2m2,即 4 2 4 2

m=± 2 时,上式“=”成立.故△ABC 面积的最大值为 2.


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