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高数微积分试卷(A卷)

时间:2016-02-03


江西师范大学 2012—2013 学年度第一学期 《 微积分(一) 》期末联合考试(A 卷) 一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)请把正确的选项填入括号内. 1. 下列函数中不是初等函数的是【】. A. y ? x x
x ? sin x ? 【】. 2. lim x ?? x A. 0

C.

f ??( x0 ) ? 0

D. f ?( x0 ) ? 0 或 f ?( x0 ) 不存在

10. 曲线 y ?

x 的铅直渐近线有【】. 1 ? x2

B. y ? x

C. y ? sgn x

D. e x ? xy ? 1 ? 0

A.1 条 B. 2 条 C. 3 条 D.4 条 二、填空题(本大题共 10 小空,每小空 2 分,共 20 分)请把正确的选项填写在横线上. 1. 设 f ( x) ?
? 1 ? 1 ,则 f ? ?? 2 1? x ? f ( x) ?

B. 1

C. 2

D. 不存在 2. lim x ?1

3. 已知当 x ? 0 时 f ( x) 是无穷大量,下列变量当 x ? 0 时一定是无穷小量的是【】. A. xf ( x ) B. x ? f ( x )
x C. f ( x)
1 D. f ( x) ? x

1 ? 3 x ? ln(2 ? x) ? arcsin x

. , b? .

3. 已知 a, b 为常数, lim 4. lim(1 ? x) ?
2 x

an2 ? bn ? 2 ? 3 ,则 a ? n?? 2n ? 1



1 ? ? ?e x ?1 4. 函数 f ( x) ? ? ? ? 0

x ?1 在 x ? 1 处【】. x ?1
C.不连续,但左连续 D.左、右都不连续

x ?0



5. 设 f ?( x0 ) 存在,则 lim h?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? h

. .

A.连续

B.不连续,但右连续

6. 曲线 y ? x ln x 在 点(1,0)处的切线方程为 7. 设 y ? 3x 4 e10 ,则 y (10 ) =



5. 设 y ? x x ,则有【】.

A. y? ? x x ln x

B. y? ? x ? x x ?1

C. y? ? x x (ln x ? 1)dx

D. y? ? x x (ln x ? 1)

8. 设函数 f 可导且 y ? f (cos x) ,则 dy = 9.

线

6. 函数 f ( x) ? x ? 1 【】. A. 在 x ? 1 处不连续 C. 在 x ? 0 处不连续 B. 在 x ? 1 处连续但不可导 D. 在 x ? 0 处不可导

? f ?( x)dx ?

.

三、判断题(本大题共 4 小题,每题 2 分,共 8 分).下列叙述,请用 “√”表示正确, 用 “×”表示叙述错误,并填入括号内. 1. 如果 lim f ( x) 和 lim g ( x) 都不存在,那么 lim[ f ( x) ? g ( x)] 也不存在.
x?? x ??

x??

【 【

】 】

7. 函数 f ( x) 在 x ? x0 处可微,是函数 f ( x) 在 x ? x0 处连续的【】. A.充分且必要条件 C. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件

2. lim x sin ? lim x ? limsin ? 0 .
x ?0 x ?0 x ?0

1 x

1 x

3. 设函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上有定义,在开区间 (a, b) 内连续且 f (a) ? f (b) ? 0 ,则 在开区间 (a, b) 内至少存在一点 ? , 使得 f (? ) ? 0 . 4.如果函数 f ( x) 在区间 I 上连续,那么函数 f ( x) 在区间 I 上一定存在原函数. 【 【 】 】

3 2 3 8. 函数 f ( x) ? x ? x 在下列区间上不满足拉格朗日中值定理条件的是【】. 2
A. [0,1] B. [ ?1,1] C. [0,
27 ] 8

D. [ ?1, 0] 四、计算题(本大题共 5 小题,每题 6 分,共 30 分) ,要求写出必要的计算过程. 1. 求极限 lim
tan x ? sin x . x ?0 arcsin x3

9. 函数 f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值,则必有【】. A. f ?( x0 ) ? 0 B. f ?( x0 ) ? 0 且 f ??( x0 ) ? 0
1

解: lim
x ?0

tan x ? sin x tan x ? sin x = lim 3 x ? 0 arcsin x x3

???? 3 分 ???? 6 分

五、证明题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分)请写出必要的证明过程. 1. 如果
sin x 是 f ( x) 的一个原函数,证明: x

= lim

1 ? cos x 1 ? . x ?0 x2 2
?e
2x 2

2. 已知 f ( x) ? ?

?x ? 2

x?0 ,求 f ?( x) . x?0

? xf ?( x)dx ? cos x ?
证: 由题意知 f ( x) ? ? ?

2sin x ?C . x
???? 2 分

解: 由 f (0 ? 0) ? 1 ? f (0 ? 0) ? 2 知 函数 f ( x) 在 x ? 0 处不连续, 从而函数 f ( x) 在 x ? 0 处不可导 。
2x 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 2e , 当 x ? 0 时 , f ?(x) ? 2x .

sin x ?? xco s x ? sin x , ? ? x2 ? x ?

???? 2 分 ???? 4 分 于是

? f ( x)dx ?

sin x ?C , x

???? 4 分

于是

?2e f ?( x) ? ? ? 2x

2x

x?0 . x?0

???? 6 分

? xf ?( x)dx ? xf ( x) ? ? f ( x)dx ? cos x ?
?

2sin x ?C . x

???? 7 分

y 3. 已知函数 y ? y(x) 由方程 e ? xy ? e 所确定,求 y??(0) .

x ?x 2.证明: arctan e ? arctan e ? 2 , x ? (??, ??) .

解: 在方程两边同时对 x 求导得 e y? ? y ? xy? ? 0 ,
y

证:令 f ( x) ? arctan e ? arctan e
x

?x

, x ? (??, ??)

则有

???? 2 分 ???? 5 分

整理得

1 y y? ? y ,(e y ? x ? 0) , y?(0) ? , e e ?x

f ?( x) ?

???? 3 分

ex ?e ? x ex ex ? ? ? ? 0 , x ? (??, ??) , 1 ? e 2 x 1 ? e ?2 x 1 ? e 2 x 1 ? e 2 x

y?(e y ? x) ? y(e y y? ? 1) 1 , y??(0) ? 2 . ? y?? ? y 2 (e ? x) e
1 dx . 4. 求不定积分 ? 1? x

由拉格朗日中值定理推论知 f ( x) =C(常数),取 x ? 0 ,则 ???? 6 分 故

C?

? 2 ,

arctan e x ? arctan e? x ?

?
2

, x ? (??, ??) .

???? 7 分

六、应用题(本大题共 1 小题 8 分) ,请写出必要的计算过程. 已知某产品的价格 P 与需求量 Q 的关系为 P ? 10 ? ???? 3 分
Q ,总成本函数为 C ? 50 ? 2Q . 5

解:令

1 2t dx ? ? dt x ? t , t ? 0 ,则 ? 1? t 1? x

(1)求需求量为 10 时的总收益 R 和边际收益 R? ; (2)求需求量为多少时总利润 L 最大? ???? 6 分 解: (1)总收益函数 R ? Q ? P ? 10Q ?
2 5

1 = 2? (1 ? 1 ? t )dt ? 2t ? ln |1 ? t | ? C ? 2 x ? ln |1 ? x | ?C .
5. 求不定积分 ?

x 2 ? 3x
2

Q2 , 5

R(10) ? 80

; ???? 4 分

dx

边际收益函数 R? ? 10 ? Q, R?(10) ? 6 . (2)总利润函数为 L ? 8Q ?
Q2 ? 50, 5

解:

?

x 2 ? 3x 2

dx = ?

1 1 d (2 ? 3x 2 ) ? 6 2 ? 3x 2
1 2 ? 3x 2 ? C . =? 3

???? 3 分

令 L? ? 8 ? Q ? 0, 大.

2 5

得 Q ? 20,

又 L??(20) ? ? ? 0

2 5

,所以当 Q ? 20 时 总利润 L 最 ???? 8 分

??? 6 分
2


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