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2017-2018学年高中数学新人教版必修2教案:第3章 3.2.1 直线的点斜式方程 Word版含答案

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3.2 3.2.1 直线的方程 直线的点斜式方程 1.了解直线方程的点斜式的推导过程.(难点) 2.掌握直线方程的点斜式并会应用.(重点) 3.掌握直线方程的斜截式,了解截距的概念.(重点、易错点) [基础· 初探] 教材整理 1 直线的点斜式方程 阅读教材 P92~P93“例 1”以上部分,完成下列问题. 1.条件:点 P(x0,y0)和斜率 k. 2.图示: 图 321 3.方程:y-y0=k(x-x0),适用于斜率存在的直线. 直线 y-4= 3(x+3)的倾斜角和所过的定点分别是( A.60° ,(-3,4) C.60° ,(3,-4) B.120° ,(-3,4) D.30° ,(3,-4) ) 【解析】 所给直线方程 y-4= 3(x+3)为点斜式,k= 3,定点(-3,4), 故倾斜角为 60° . 【答案】 教材整理 2 A 直线的斜截式方程 阅读教材 P94“例 2”以上部分,完成下列问题. 1.直线 l 在 y 轴上的截距 直线与 y 轴的交点(0,b)的纵坐标 b 称为直线在 y 轴上的截距. 2.直线的斜截式方程 方程 y=kx+b 由直线的斜率 k 和它在 y 轴上的截距 b 确定,我们称这个方 程为直线的斜截式方程,简称为斜截式.适用范围是斜率存在的直线. 在 y 轴上的截距为 2,且与直线 y=-3x-4 平行的直线的斜截式方程为 __________. 【解析】 ∵直线 y=-3x-4 的斜率为-3,所求直线与此直线平行,∴斜 率为-3,又截距为 2,∴由斜截式方程可得 y=-3x+2. 【答案】 y=-3x+2 [小组合作型] 求直线的点斜式方程 写出下列直线的点斜式方程. (1)经过点(2,5),倾斜角为 45° ; (2)直线 y=x+1 绕着其上一点 P(3,4)逆时针旋转 90° 后得直线 l,求直线 l 的 点斜式方程; (3)经过点 C(-1,-1),且与 x 轴平行; (4)经过点 D(1,1),且与 x 轴垂直. 【精彩点拨】 【自主解答】 先求出直线的斜率,然后由点斜式写方程. (1)因为倾斜角为 45° , 所以斜率 k=tan 45° =1, 所以直线的方程为 y-5=x-2. (2)直线 y=x+1 的斜率 k=1,所以倾斜角为 45° . 由题意知,直线 l 的倾斜角为 135° , 所以直线 l 的斜率 k′=tan 135° =-1. 又点 P(3,4)在直线 l 上,由点斜式方程知, 直线 l 的方程为 y-4=-(x-3). (3)由题意知,直线的斜率 k=tan 0° =0, 所以直线的点斜式方程为 y-(-1)=0,即 y+1=0. (4)由题意可知直线的斜率不存在, 所以直线的方程为 x=1,该直线没有点斜式方程. 1.求直线的点斜式方程的步骤:定点(x0,y0)→定斜率 k→写出方程 y-y0 =k(x-x0). 2.点斜式方程 y-y0=k(x-x0)可表示过点 P(x0,y0)的所有直线,但 x=x0 除外. [再练一题] 1.求满足下列条件的直线的点斜式方程. (1)过点 P(-4,3),斜率 k=-3; (2)过点 P(3,-4),且与 x 轴平行; (3)过 P(-2,3),Q(5,-4)两点. 【解】 (1)∵直线过点 P(-4,3),斜率 k=-3, 由直线方程的点斜式得直线方程为 y-3=-3(x+4). (2)与 x 轴平行的直线,其斜率 k=0,由直线方程的点斜式可得直线方程为 y -(-4)=0×(x-3), 即 y+4=0. (3)过点 P(-2,3),Q(5,-4)的直线的斜率 kPQ= -4-3 -7 = 7 =-1. 5-?-2? 又∵直线过点 P(-2,3), ∴直线的点斜式方程为 y-3=-(x+2). 求直线的斜截式方程 根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为 2,在 y 轴上的截距是 5; (2)倾斜角为 150° ,在 y 轴上的截距是-2; (3)经过点(3,4)且在两坐标轴上的截距相等. 【精彩点拨】 ― → 得方程 确定直线 的斜率k ―→ 确定直线在y 轴上的截距b y=kx+b (1)由直线方程的斜截式可知,所求直线的斜截式方程为 y 【自主解答】 =2x+5. 3 (2)∵倾斜角为 150° ,∴斜率 k=tan 150° =- 3 . 3 由斜截式可得方程为 y=- 3 x-2. (3)设直线在两坐标轴上的截距为 a, 4 当 a=0 时,直线的斜截式方程为 y=3x. 当 a≠0 时,设直线的斜截式方程为 y=-x+b,则有 4=-3+b,即 b=7. 此时方程为 y=-x+7, 4 故所求直线方程为 y=3x 或 y=-x+7. 1.用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,要特别注意截 距和距离的区别. 2.直线的斜截式方程 y=kx+b 不仅形式简单,而且特点明显,k 是直线的 斜率,b 是直线在 y 轴上的截距,只要确定了 k 和 b 的值,直线的图象就一目了 然.因此,在解决直线的图象问题时,常通过把直线方程化为斜截式方程,利用 k,b 的几何意义进行判断. [再练一题] 2.已知直线 l1 的方程为 y=-2x+3,l2 的方程为 y=4x-2,直线 l 与 l1 平 行且与 l2 在 y 轴上的截距相同,求直线 l 的方程. 【解】 由斜截式方程知直线 l1 的斜率 k1=-2, 又∵l∥l1,∴l 的斜率 k=k1=-2. 由题意知 l2 在 y 轴上的截距为-2, ∴l 在 y 轴上的截距 b=-2, 由斜截式可得直线 l 的方程为 y=-2x-2. [探究共研型] 两直线平行与垂直的应用 探究 1 若两条直线的斜率均不存在,这两条直线位置关系如何? 平行或重合. 【提示】 探究 2 若两条直线垂直,它们斜率的乘积一定等于-1 吗? 【提示】 不一定.若一条直线的斜率不存

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