nbhkdz.com冰点文库

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 12.4 复数

时间:2015-08-26


§ 12.4





1.复数的有关概念 (1)定义: 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中 a 叫做实部,b 叫做虚部.(i 为虚数单位) (2)分类: 满足条件(a,b 为实数) a+bi 为实数?b=0 复数的分类 a+bi 为虚数?b≠0 a+bi 为纯虚数?a=0 且 b≠0 (3)复数相等:a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R). (4)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R). (5)模: → 向量OZ的模叫做复数 z=a+bi 的模,记作|a+bi|或|z|,即|z|=|a+bi|= a2+b2(a,b∈R). 2.复数的几何意义 → 复数 z=a+bi 与复平面内的点 Z(a,b)及平面向量OZ=(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系. 3.复数的运算 (1)运算法则:设 z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R

(2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. → → → 如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即OZ=OZ1+OZ2, → → → Z1Z2=OZ2-OZ1.

-1-

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程 x2+x+1=0 没有解.( × )

(2)复数 z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为 bi.( × ) (3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( × (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) )

(5) 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的 模.( √ )

?1+i?3 1.(2014· 课标全国Ⅰ) 等于( ?1-i?2 A.1+i C.-1+i 答案 D 解析 方法一 = = ?1+i?3 ?1+i??1+i?2 = ?1-i?2 -2i

)

B.1-i D.-1-i

?1+i??1+i2+2i? -2i -2+2i 1-i = i -2i

=-1-i.故选 D. 方法二 ?1+i?3 ?1+i?2 =? ? (1+i)=i2(1+i)=-1-i. ?1-i?2 ?1-i?

2.在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是( A.4+8i C.2+4i 答案 C 解析 ∵A(6,5),B(-2,3), ∴线段 AB 的中点 C(2,4),则点 C 对应的复数为 z=2+4i. 3.(2013· 四川)如图,在复平面内,点 A 表示复数 z,由图中表示 z 的共轭复数的点是(
-2-

) B.8+2i D.4+i

)

A.A C.C 答案 B

B.B D.D

解析 表示复数 z 的点 A 与表示 z 的共轭复数的点关于 x 轴对称,∴B 点表示 z .选 B. 4.(2013· 广东)若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数 x+yi 的模是( A.2 B.3 C.4 D.5 答案 D 3+4i 解析 由题意知 x+yi= =4-3i, i 所以|x+yi|=|4-3i|= 42+?-3?2=5. )

题型一 复数的概念 z1 z1 例 1 (1)已知 a∈R,复数 z1=2+ai,z2=1-2i,若 为纯虚数,则复数 的虚部为( z2 z2 2 A.1 B.i C. 5 D.0 ) )

(2)若 z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i(m∈R),z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

思维点拨 (1)若 z=a+bi(a,b∈R),则 b=0 时,z∈R;b≠0 时,z 是虚数;a=0 且 b≠0 时, z 是纯虚数. (2)直接根据复数相等的条件求解. 答案 (1)A (2)A z1 2+ai ?2+ai??1+2i? 2-2a 4+a z1 解析 (1)由 = = = + i 是纯虚数,得 a=1,此时 =i,其虚部 z2 1-2i 5 5 5 z2 为 1.
2 ? ?m +m+1=3, ? (2)由 2 解得 m=-2 或 m=1, ?m +m-4=-2, ?

所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件. 思维升华 处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实部和虚部,从定义出发,把
-3-

复数问题转化成实数问题来处理. 10 (1)(2013· 安徽)设 i 是虚数单位. 若复数 a- (a∈R)是纯虚数, 则 a 的值为( 3-i A.-3 B.-1 C.1 D.3 (2)(2014· 浙江)已知 i 是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 (1)D (2)A 10 解析 (1)a- =a-(3+i)=(a-3)-i,由 a∈R, 3-i 且 a- 10 为纯虚数知 a=3. 3-i ) )

(2)当 a=b=1 时,(a+bi)2=(1+i)2=2i;
2 2 ? ?a -b =0, 当(a+bi) =2i 时,得? ?ab=1, ? 2

解得 a=b=1 或 a=b=-1, 所以“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件. 题型二 复数的运算 3?1+i?2 例 2 计算:(1) =________; i-1 1+i 6 2+ 3i (2)( )+ =________. 1-i 3- 2i 思维点拨 复数的除法运算,实质上是分母实数化的运算. 答案 (1)3-3i (2)-1+i 3?1+i?2 3×2i 6i 解析 (1) = = i-1 i-1 i-1 6i?i+1? =- =-3i(i+1)=3-3i. 2 ?1+i?2 6 ? 2+ 3i?? 3+ 2i? (2)原式=[ ]+ 2 ? 3?2+? 2?2 =i6+ 6+2i+3i- 6 =-1+i. 5

思维升华 (1)复数四则运算的解答策略 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算,除法的关键是分子分母同乘以分母的 共轭复数,解题中要注意把 i 的幂写成最简形式.
-4-

(2)几个常用结论 在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度. 1+i 1-i ①(1± i)2=± 2i; =i; =-i. 1-i 1+i ②i(a+bi)=-b+ai. ③i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i,
+ + +

i4n+i4n 1+i4n 2+i4n 3=0,n∈N*.
+ + +

(1)(2014· 广东)已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z 等于( A.-3+4i C.3+4i B.-3-4i D.3-4i

)

?1+i?2=________. (2)(2014· 北京)复数? ? ?1-i?
答案 (1)D (2)-1 解析 (1)方法一 由(3+4i)z=25, 得 z= 25?3-4i? 25 = =3-4i. 3+4i ?3+4i??3-4i? 设 z = a + bi(a , b∈R) ,则 (3 + 4i)(a + bi) = 25 ,即 3a - 4b + (4a + 3b)i = 25 ,所以

方法二

?3a-4b=25, ?a=3, ? ? ? 解得? 故 z=3-4i. ?4a+3b=0, ? ? ?b=-4,

?1+i?2=1+i +2i= i =-1. (2)? ? ?1-i? 1+i2-2i -i
题型三 复数的几何意义 例 3 如图所示,平行四边形 OABC,顶点 O,A,C 分别表示 0,3+2i, -2+4i,试求: → → (1)AO、BC所表示的复数; → (2)对角线CA所表示的复数; (3)B 点对应的复数. 思维点拨 结合图形和已知点对应的复数,根据加减法的几何意义,即可求解. → → → 解 (1)AO=-OA,∴AO所表示的复数为-3-2i. → → → ∵BC=AO,∴BC所表示的复数为-3-2i. → → → → (2)CA=OA-OC,∴CA所表示的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. → → → → → (3)OB=OA+AB=OA+OC,

2

-5-

→ ∴OB所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, 即 B 点对应的复数为 1+6i. 思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向量对应的

复数时,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可. (1)(2014· 重庆)在复平面内复数 Z=i(1-2i)对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 答案 A 解析 ∵复数 Z=i(1-2i)=2+i, ∵复数 Z 的实部 2>0,虚部 1>0, ∴复数 Z 在复平面内对应的点位于第一象限. z (2)已知 z 是复数,z+2i、 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面内对应的点在 2-i 第一象限,求实数 a 的取值范围. 解 设 z=x+yi(x、y∈R), ∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2. ∵ x-2i 1 z = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5 B.第二象限 D.第四象限 )

1 1 = (2x+2)+ (x-4)i, 5 5 由题意得 x=4.∴z=4-2i. ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
2 ? ?12+4a-a >0, 根据条件,可知? ?8?a-2?>0, ?

解得 2<a<6, ∴实数 a 的取值范围是(2,6).

解决复数问题的实数化思想 典例:(12 分)已知 x,y 为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求 x,y. 思维点拨 (1)x,y 为共轭复数,可用复数的基本形式表示出来;(2)利用复数相等,将复数问 题转化为实数问题. 规范解答 解 设 x=a+bi (a,b∈R),

-6-

则 y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,[3 分] 代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,[5 分]
2 ? ?4a =4, ? 根据复数相等得 [7 分] 2 2 ?-3?a +b ?=-6, ?

? ? ? ? ?a=1, ?a=1, ?a=-1, ?a=-1, 解得? 或? 或? 或? [9 分] ?b=1 ? ?b=1 ? ? ?b=-1 ? ?b=-1.

故所求复数为
?x=1+i, ?x=1-i, ?x=-1+i, ?x=-1-i, ? ? ? ? ? 或? 或? 或? [12 分] ? ? ? ? ?y=1-i ?y=1+i ?y=-1-i ?y=-1+i.

温馨提醒 法.

(1)复数问题要把握一点,即复数问题实数化,这是解决复数问题最基本的思想方

(2)本题求解的关键是先把 x、y 用复数的形式表示出来,再用待定系数法求解.这是常用的数 学方法. (3)本题易错原因为想不到利用待定系数法,或不能将复数问题转化为实数方程求解.

方法与技巧 1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的 过程. 2.在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题,平移往 往和加法、减法相结合. 3.实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系,即
一一对应 一一对应 → 复数z=a+bi ― ― → 复平面内的点Z?a,b? ― ― → 平面向量OZ

4.复数运算常用的性质: 1+ i 1-i (1)①(1± i)2=± 2i;② =i, =-i; 1-i 1+i 1 3 (2)设 ω=- + i, 2 2 则①|ω|=1;②1+ω+ω2=0;③ ω =ω2. (3)in+in 1+in 2+in 3=0(n∈N*).
+ + +

失误与防范 1.判定复数是实数,仅注重虚部等于 0 是不够的,还需考虑它的实部是否有意义.
-7-

2.对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解,判别式不再成立.因此解此类方程 的解,一般都是将实根代入方程,用复数相等的条件进行求解. 3.两个虚数不能比较大小. 4.利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时,注意 a,b,c,d∈R 的前提条件. 5.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若 z1,z2∈C,
2 2 z2 1+z2=0,就不能推出 z1=z2=0;z <0 在复数范围内有可能成立.

A 组 专项基础训练 (时间:30 分钟) 1.若复数 z=(x -1)+(x-1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为( A.-1 B.0 C.1 D.-1 或 1 答案 A 解析
2 ? ?x -1=0, ? 由复数 z 为纯虚数,得 解得 x=-1,故选 A. ?x-1≠0, ? 2

)

→ → → 2.在复平面内,向量AB对应的复数是 2+i,向量CB对应的复数是-1-3i,则向量CA对应的 复数是( A.1-2i C.3+4i 答案 D → → → 解析 因为CA=CB+BA=-1-3i+(-2-i)=-3-4i. z 3.若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表示复数 z,则表示复数 的点是( 1+i ) ) B.-1+2i D.-3-4i

A.E B.F C.G D.H 答案 D 解析 由题图知复数 z=3+i, ∴ 3+i ?3+i??1-i? 4-2i z = = = =2-i. 2 1+i 1+i ?1+i??1-i?

-8-

z ∴表示复数 的点为 H. 1+i ?2-i?2 4.(2013· 山东)复数 z= (i 为虚数单位),则|z|等于( i A.25 C.5 答案 C 3-4i 解析 z= =-4-3i, i 所以|z|= ?-4?2+?-3?2=5. 5.(2014· 江西) z 是 z 的共轭复数,若 z+ z =2,(z- z )i=2(i 为虚数单位),则 z 等于( A.1+i C.-1+i 答案 D 解析 方法一 设 z=a+bi,a,b 为实数,则 z =a-bi. ∵z+ z =2a=2,∴a=1. 又(z- z )i=2bi2=-2b=2,∴b=-1.故 z=1-i. 2 方法二 ∵(z- z )i=2,∴z- z = =-2i. i 又 z+ z =2,∴(z- z )+(z+ z )=-2i+2, ∴2z=-2i+2,∴z=1-i. 6.(2013· 天津)i 是虚数单位,复数(3+i)(1-2i)=________. 答案 5-5i 解析 (3+i)(1-2i)=3-5i-2i2=5-5i. 3+bi 7.若 =a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位),则 a+b=________. 1-i 答案 3 解析 = 3+bi ?3+bi??1+i? 1 = = [(3-b)+(3+b)i] 2 2 1-i B.-1-i D.1-i ) B. 41 D. 5 )

3-b 3+b + i. 2 2
? ?a=0, 解得? ∴a+b=3. ?b=3. ?

b , ?a=3- 2 ∴? 3+b ? 2 =b,

-9-

8.复数(3+i)m-(2+i)对应的点在第三象限内,则实数 m 的取值范围是________. 2 答案 m< 3 解析 z=(3m-2)+(m-1)i,其对应点(3m-2,m-1)在第三象限内, 2 故 3m-2<0 且 m-1<0,∴m< . 3 9.已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1· z2 是实数, 求 z2. 解 (z1-2)(1+i)=1-i?z1=2-i. 设 z2=a+2i,a∈R, 则 z1· z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1· z2∈R,∴a=4.∴z2=4+2i. 10.复数 z1= 解 3 2 +(10-a2)i,z2= +(2a-5)i,若 z 1+z2 是实数,求实数 a 的值. a+5 1-a

3 2 z 1+z2= +(a2-10)i+ +(2a-5)i a+5 1-a

3 2 =?a+5+1-a?+[(a2-10)+(2a-5)]i ? ? = a-13 +(a2+2a-15)i. ?a+5??a-1?

∵ z 1+z2 是实数, ∴a2+2a-15=0,解得 a=-5 或 a=3. 又(a+5)(a-1)≠0,∴a≠-5 且 a≠1,故 a=3. B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) 11.下面是关于复数 z= 2 的四个命题: -1+i

p1:|z|=2; p2:z2=2i; p3:z 的共轭复数为 1+i; p4:z 的虚部为-1. 其中的真命题为( )

A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4 答案 C 解析 ∵z= 2 =-1-i, -1+i

∴|z|= ?-1?2+?-1?2= 2, ∴p1 是假命题; ∵z2=(-1-i)2=2i,
- 10 -

∴p2 是真命题; ∵ z =-1+i,∴p3 是假命题; ∵z 的虚部为-1,∴p4 是真命题. 其中的真命题共有 2 个:p2,p4.

?1+i?n+?1-i?n(n∈N*),则集合{f(n)}中元素的个数为( 12.设 f(n)=? ? ? ? ?1-i? ?1+i?
A.1 B.2 C.3 D.无数个 答案 C

)

?1+i?n+?1-i?n=in+(-i)n, 解析 f(n)=? ? ? ? ?1-i? ?1+i?
f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,? ∴集合中共有 3 个元素. 13.(2014· 陕西)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题, 逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,假,真 C.真,真,假 答案 B 解析 原命题正确,所以逆否命题正确.模相等的两复数不一定互为共轭复数,同时因为逆 B.假,假,真 D.假,假,假 )

命题与否命题互为逆否命题,所以逆命题和否命题错误.故选 B. i 14.在复平面内,复数 对应的点位于( 1+i A.第一象限 C.第三象限 答案 A i?1-i? 1+i 1 1 i 解析 ∵复数 = = = + i, 2 2 2 1+i ?1+i??1-i? 1 1 ∴复数对应的点的坐标是( , ), 2 2 i ∴复数 在复平面内对应的点位于第一象限. 1+i 15.已知集合 M={1,m,3+(m2-5m-6)i},N={-1,3},若 M∩N={3},则实数 m 的值为 ________. 答案 3 或 6 解析 ∵M∩N={3},∴3∈M 且-1?M, ∴m≠-1,3+(m2-5m-6)i=3 或 m=3, ∴m2-5m-6=0 且 m≠-1 或 m=3,
- 11 -

)

B.第二象限 D.第四象限

解得 m=6 或 m=3. 16.若 1+ 2i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根,则 b=________,c= ________. 答案 -2 3 解析 ∵实系数一元二次方程 x2+bx+c=0 的一个虚根为 1+ 2i, ∴其共轭复数 1- 2i 也是方程的根. 由根与系数的关系知,

??1+ 2i?+?1- 2i?=-b, ? ??1+ 2i??1- 2i?=c,

∴b=-2,c=3.

- 12 -


...大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 12.4 复数.doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 12.4 复数 - § 12.4 复 数 1.复数的有关概念 (1)定义: 形如 a+bi(a,b∈R)的数...

...复习(人教新课标文科)配套题库 第12章 第5讲 复数.doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套题库 第12章 第5讲 复数 - 第5讲 一、选择题 2+i 1.复数 的共轭复数是( 1-2i 3 A.- i ...

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 ....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 12.3 算法与程序框图 - § 12.3 算法与程序框图 1.算法与程序框图 (1)算法 ①算法通常是指...

...数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 12.2 直....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 12.2 直接证明与间接证明_数学_高中教育_教育专区。§ 12.2 直接证明与间接证明 1.直接证明 (...

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 ....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9.4 椭圆 - § 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 ...

...数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 12.1 合....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 12.1 合情推理与演绎推理_数学_高中教育_教育专区。§ 12.1 合情推理与演绎推理 1.合情推理 ...

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9.6 抛物

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 6.4 数列

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 ....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 7.4 基本不等式 - § 7.4 基本不等式及其应用 a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式...

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9.5 双曲

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 6.3 等比

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 6.1 数列

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9.3 直线

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 6.2 等差

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 8.4 直线

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套题库 第4章 第3

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 7.3 二元

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 7.1 不等

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 11.2 古

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科....doc

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9.2 圆的