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2013-2014学年高中数学 第二章 2.4(二)等比数列(二)课件 新人教A版必修5_图文

时间:2014-01-06

【学习目标】 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.熟悉等比数列的有关性质. 3.系统了解判断是否成等比数列的方法. 【学法指导】 1.等差数列与等比数列联系十分紧密,既有诸多相似之处,又 有不同的地方,充分准确地把握它们之间的联系,会为我们 解题带来诸多便利. 2.等比数列的通项公式是研究等比数列各种性质的关键所在.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.等比数列的通项公式:an= a1q (n,m∈N*).

n-1

q ,推广形式:an=am·

n-m

2.如果一个数列{an}的通项公式为 an=aqn,其中 a,q 都是不 为 0 的常数,那么这个数列一定是等比数列,首项为 aq ,公 比为 q . 3.一般地,如果 m,n,k,l 为正整数,且 m+n=k+l,则有
2 am·n=ak·l a a __________,特别地,当 m+n=2k 时,am·n= ak . a

4.若{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,
a 即 a1·n=a2· n-1 a

=?=ak·an+1-k .

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探究点一

等比数列的单调性

探究 观察下面几个等比数列中项的变化趋势: ①1,2,4,8,16,? 1 1 1 1 ②-1,- ,- ,- ,- ,? 2 4 8 16 1 1 ③9,3,1, , ,? 3 9 ④-1,-2,-4,-8,-16,? 1 1 1 1 ⑤1,- , ,- , ,? 2 4 8 16

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通过上面的例子,可以得出下列结论: 当q<0时,等比数列既不是递增数列,也不是递减数列,而是

摆动 _____数列;
当a1>0,q>1时,等比数列是 递增 数列; 当a1>0,0<q<1时,等比数列是 递减 数列; 当a1<0,q>1时,等比数列是 递减 数列; 当a1<0,0<q<1时,等比数列是 递增 数列.
?a >0 ? 1 ? ?q>1 ? ?a <0 ? 1 或? ?0<q<1 ?

综上所述,等比数列单调递增? 等比数列单调递减?
?a >0 ? 1 ? ?0<q<1 ?



?a <0 ? 1 或? ?q>1 ? .

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探究点二

等比数列的性质

探究 1 在等比数列{an}中, m+n=s+t, 若 证明 am·n=as·t(m, a a n, s,t∈N*).
证明 ∵am=a1qm 1,an=a1qn 1,
- -

∴am·n=a2·m+n-2,同理,as·t=a2qs+t-2, a a 1q 1 ∵m+n=s+t,∴am·n=as·t. a a

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2 探究 2 在等比数列{an}中,若 m+n=2k,证明 am·n=ak(m,n, a

k∈N*).
证明 ∵am=a1qm 1,an=a1qn 1,
- -

∴am·n=a2qm+n-2, a 1 ∵ak=a1qk-1,∴a2=a2·2k-2. k 1q ∵m+n=2k,∴am·n=a2. a k

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问题 在各项均为正数的等比数列{an}中,若a3a5=4,则 a1a2a3a4a5a6a7=_____. 128
解析 ∵a3a5=a2=4,an>0,∴a4=2. 4 ∴a1a2a3a4a5a6a7=(a1a7)· 2a6)· 3a5)·4=43×2=128. (a (a a

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探究点三 等比数列的判断方法 探究1 判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些? an+1 答 (1)定义法: =q(常数); an
(2)等比中项法:a2+1=anan+2(an≠0,n∈N*); n (3)通项法:an=a1qn 1(a1q≠0,n∈N*).


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探究2 如何判断或证明一个数列不是等比数列?
答 如果判断或证明一个数列不是等比数列, 只要找到连续

的三项不成等比数列即可,即存在 an0 ,an0+1 ,an0+2 ,且 2 an0 ?1 ≠a n0 · n0+2 . a

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问题 1


若数列{an}为等差数列,公差为 d,bn=c an (c>0 且 c≠1),
数列{bn}是等比数列.
n?1 n

试问数列{bn}是什么数列?并证明你的结论.
bn+1 c a ∵ b = a =c an+1-an=cd(常数). n c ∴{bn}为等比数列.

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问题 2 若数列{an}为等比数列,公比为 q,且 an>0,bn=lg an,试 问数列{bn}是什么数列?并证明你的结论.
答 数列{bn}是等差数列.
?an+1? ? ? ? a ?=lg ? n ?

∵bn+1-bn=lg an+1-lg an=lg ∴{bn}为等差数列.

q(常数).

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问题3 已知an=2n+3n,判断数列{an}是否是等比数列?
答 不是等比数列. ∵a1=21+31=5,a2=22+32=13,a3=23+33=35, ∴a1a3≠a2, 2 ∴数列{an}不是等比数列.

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【典型例题】 例1 已知{an}为等比数列. (1)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5; (2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+?+log3a10的值.
2 2 解 (1)a2a4+2a3a5+a4a6=a3+2a3a5+a5=(a3+a5)2=25,

∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.

(2)根据等比数列的性质a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9.
∴a1a2?a9a10=(a5a6)5=95.
∴log3a1+log3a2+?+log3a10=log3(a1a2?a9a10) =log395=5log39=10.

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跟踪训练1

设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且

a1·2·3· a30=215,求a2·5·8· a29的值. a a ?· a a ?·

解 a1·2·3· a30=(a1a30)· 2a29)· (a15·16)=(a1a30)15=215, a a ?· (a ?· a
∴a1a30=2.
a2·5·8· a29=(a2a29)· 5a26)· 8a23)· 11a20)· 14a17) a a ?· (a (a (a (a =(a2a29)5=(a1a30)5=25=32.

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例2 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1, (1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.
(1)证明 ∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),
an+1+1 ∴ =2,且a1+1=2. an+1 ∴{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)解 由(1)知{an+1}是等比数列.
公比为2,首项为2.
∴an+1=2n.∴an=2n-1.
an+1 小结 利用等比数列的定义 a =q(q≠0)是判定一个数列是等 n 比数列的基本方法.要判断一个数列不是等比数列,举一组反 例即可,例如a2≠a1a3. 2

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跟踪训练2 设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+

bn,证明数列{cn}不是等比数列.

证明 设{an}、{bn}的公比分别为p、q,p≠0,q≠0,p≠q, cn=an+bn.
要证{cn}不是等比数列,只需证c2≠c1·3成立即可. c 2
2 事实上,c2=(a1p+b1q)2=a2p2+b2q2+2a1b1pq, 1 1
2 c1c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=a1p2+b2q2+a1b1(p2+q2). 1

由于c1c3-c2=a1b1(p-q)2≠0,因此c2≠c1·3, c 2 2 故{cn}不是等比数列.

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例3 某制糖厂2011年制糖5万吨,如果从2011年起,平均每年的 产量比上一年增加20%,那么到哪一年,该糖厂的年制糖量开 始超过30万吨(保留到个位)?(lg 6=0.778,lg 1.2=0.079)
解 记该糖厂每年制糖产量依次为a1,a2,a3,?,an,?. an 则依题意可得a1=5, =1.2(n≥2且n∈N*), an-1 从而an=5×1.2n-1,这里an=30, lg 6 0.778 故1.2n-1=6,即n-1=log1.26=lg 1.2=0.079≈9.85.
故n=11. 答 从2021年开始该糖厂年制糖量开始超过30万吨.

小结

等比数列应用问题,在实际应用问题中较为常见,解题

的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1,项数n所对应的实际 含义.

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跟踪训练3 在利用电子邮件传播病毒的例子中,如果第一轮感染 的计算机数是80台,并且从第一轮起,以后各轮的第一台计算机 都可以感染下一轮的20台计算机,到第5轮可以感染到多少万台计 算机?
解 每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为a1=80,公比为q

=20的等比数列.
则a5=a1q4=80×204=1 280×104=1 280(万台).
答 到第5轮可以感染到1 280万台计算机.

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1.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则 a1·15的值为 a A.100 C.10 000
∴a3=106?a8=102=100. 8 又a1a15=a2=10 000. 8

( C ) B.-100 D.-10 000

3 解析 ∵lg(a3a8a13)=lg a8=6,

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1 2.某种产品平均每两年降低价格 ,目前售价为8 100元,则 3 6年后此产品的价格为 A.2 700元 C.4 800元 B.3 600元 D.5 400元 ( B )

解析 6年后此产品售价为 12 4 8 100×(1-3) =8 100×9=3 600元.

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3.一直角三角形的三边边长成等比数列,则 A.三边边长之比为3∶4∶5 B.三边边长之比为1∶ 3∶3 5-1 C.较小锐角正弦值为 2 5-1 D.较大锐角正弦值为 2
解析 设三边为a,aq,aq2 (q>1),

( C )

则(aq2)2=(aq)2+a2,

5+1 ∴q = . 2
2

5-1 1 较小锐角记为θ,则sin θ= 2= . q 2

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4.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入 的6个数的积为________. 8
解析 设这8个数组成的等比数列为{an},
则a1=1,a8=2.
插入的6个数的积为 a2a3a4a5a6a7=(a2a7)· 3a6)· 4a5)=(a1a8)3=23=8. (a (a

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1.等比数列的判断或证明 an+1 (1)利用定义: a =q (与n无关的常数). n (2)利用等比中项:a2 +1=anan+2 (n∈N*). n 2.解等比数列的问题的基本方法是基本量法,但利用等比 数列的性质会大大提高解题速度,这些性质在课本中没 有提出,但在习题中却时有出现,所以有必要总结一 些,并会推证,但不必过多、过细. 3.解与等比数列有关的应用题,要抓住其中带有等比数列 特征的关键性语言,如“每年平均增长P%”“每次是上 次的几分之几”等,建立等比数列的模型,再用数列的 相关知识解之.


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