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【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练四 第3讲 推理与证明 理

时间:2014-12-31


第3讲
考情解读

推理与证明

1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比

推理,多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方 法,常与函数、数列及不等式等综合命题.

1.合情推理 (1)归纳推理 ①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理. ②归纳推理的思维过程如下: 实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论 (2)类比推理 ①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理. ②类比推理的思维过程如下: 观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论 2.演绎推理 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. (2)合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理,从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个别到一般的推理; 类比是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看, 合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正 确的前提下,得到的结论一定正确. 3.直接证明 (1)综合法 用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示所要证明的结论,则综合法可用框图 表示为:

-1-

P? Q1 → Q1? Q2 → Q2? Q3 →?→ Qn? Q
(2)分析法 用 Q 表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为:

Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →?→ 得到一个明显成立的条件
4.间接证明 反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”,即从否定结论开始,经过正确的 推理,导致逻辑矛 盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命题“若 p,则 q”的过程可以 用如图所示的框图表示. 肯定条件p否定结论q → 导致逻辑矛盾 → “既p,又綈q” 为假 → “若p,则q” 为真 5.数学归纳法 数学归纳法证明的步骤: (1)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N )时命题成立. (2)假设 n=k(k∈N ,且 k≥n0)时命题成立,证明 n=k+1 时命题也成立. 由(1)(2)可知,对任意 n≥n0,且 n∈N 时,命题都成立.
* * *

热点一 归纳推理 例1 (1)有菱形纹的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱 )

形纹的正六边形的个数是(

A.26 C.32

B.31 D.36

(2)两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位的排法如 图所示,则下列座位号码符合要求的应当是( )

A.48,49 C.75,76

B.62,63 D.84,85

思维启迪 (1)根据三个图案中的正六边形个数寻求规律;(2)靠窗口的座位号码能被 5 整除 或者被 5 除余 1.
-2-

答案 (1)B (2)D 解析 (1)有菱形纹的正六边形个数如下表: 图案 个数 1 6 2 11 3 16 ? ?

由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项,以 5 为公差的等差数列, 所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 6+5×(6-1)=31. 故选 B. (2)由已知图形中座位的排列顺序,可得:被 5 除余 1 的数和能被 5 整除的座位号临窗,由于 两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗,分析答案中的 4 组座位号,只有 D 符合条件. 思维升华 归纳递推思想在解决问题时,从特殊情况入手,通过观察、分析、概括,猜想出

一般性结论,然后予以证明,这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数 有关的命题时有着广泛的应用.其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”,解题的 关键在于正确的归纳猜想. (1)四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐 1、2、3、4 号位上(如图), 第一次前后排动物互换座位,第二次左右列动物互换座位,?这样交替进行下去,那么第 202 次互换座位后,小兔坐在第______号座位上.

1鼠 3兔 开始 1兔 3鼠

2猴 4猫

2猫 4猴

第一次 1猫 3猴 2兔 4鼠

第二次 1猴 3猫 2鼠 4兔

第三次 A.1 C.3 B.2 D.4

1 1 1 5 7 * (2)已知 f(n)=1+ + +?+ (n∈N ),经计算得 f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,则 2 3 n 2 2 有________________.
-3-

答案 (1)B (2)f(2 )>

n

n+2
2

(n≥2,n∈N )

*

解析 (1)考虑小兔所坐的座位号,第一次坐在 1 号位上,第二次坐在 2 号位上,第三次坐在 4 号位上,第四次坐在 3 号位上,第五次坐在 1 号位上,因此小兔的座位数更换次数以 4 为周 期,因为 202=50×4+2,因此第 202 次互换后,小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号 所在的座位号相同,因此小兔坐在 2 号位上,故选 B. 4 5 6 2 3 4 (2)由题意得 f(2 )> ,f(2 )> ,f(2 )> , 2 2 2 7 n+2 f(25)> ,所以当 n≥2 时,有 f(2n)> . 2 2 故填 f(2 )>
n

n+2
2

(n≥2,n∈N ).

*

热点二 类比推理 例2 (1)在平面几何中有如下结论:若正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,

S1 1 则 = .推广到空间几何可以得到类似结论:若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1,外接球体 S2 4
积为 V2,则 =________. (2)已知双曲正弦函数 shx= e -e e +e 和双曲余弦函数 chx= 与我们学过的正弦函数和余 2 2
x
-x

V1 V2

x

-x

弦函数有许多类似的性质,请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角 公式,写出双曲正弦或 ..... 双曲余弦函数的一个 类似的正确结论________. .. 思维启迪 (1)平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积; (2)可利用和角或差角公式猜 想,然后验证. 1 答案 (1) (2)ch(x-y)=chx chy-shx shy 27 解析 (1)平面几何中,圆的面积与圆的半径的平方成正比,而在空间几何中,球的体积与半 径的立方成正比,所以 =
x

V1 1 . V2 27
-x

e +e e +e e -e e -e (2)chx chy-shx shy= · - · 2 2 2 2 1 x+y x-y -x+y -x-y x+y x-y -x+y -x-y = (e +e +e +e -e +e +e -e ) 4 1 x-y e -(x-y) = (2e +2e )= 4
x-y

y

-y

x

-x

y

-y

+e 2

- x-y

=ch(x-y),故知 ch(x+y)=chx chy+shx shy,

或 sh(x-y)=shx chy-chx shy, 或 sh(x+y)=shx chy+chx shy.

-4-

思维升华

类比推理是合情推理中的一类重要推理,强调的是两类事物之间的相似性,有共

同要素是产生类比迁移的客观因素,类比可以由概念性质上的相似性引起,如等差数列与等 比数列的类比,也可以由解题方法上的类似引起.当然首先是在某些方面有一定的共性,才 能有方法上的类比,例 2 即属于此类题型.一般来说,高考中的类比问题多发生在横向与纵 向类比上,如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵 向类比等. (1)若数列{an}是等差数列,bn=

a1+a2+?+an ,则数列{bn}也为等差数列.类比 n
)

这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则 dn 的表达式应为( A.dn= B.dn= C.dn=

c1+c2+?+cn n c1·c2·?·cn n
n n n c1n ? c2 ? ???cn

D.dn= c1·c2·?·cn

n

x2 y2 (2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质, 如对于椭圆有如下命题: AB 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0) a b
的不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为 AB 的中点,则 kOM·kAB=- 2.那么对于双曲线则有如 下命题:AB 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为 AB 的中点, 则 kOM·kAB=________. 答案 (1)D (2)

b2 a

x2 y2 a b

b2 a2

解析 (1)由{an}为等差数列,设公差为 d, 则 bn=

a1+a2+?+an n-1 =a1+ d, n 2

又正项数列{cn}为等比数列,设公比为 q, 则 dn= c1·c2·?·cn= c q

n

n

n 1

n2 ? n 2

=c1 q

n ?1 2

,故选 D.

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),

x +x ? ?x = 2 , 则有? y +y ? ?y = 2 .
1 2 0 1 2 0

-5-

将 A,B 代入双曲线 2- 2=1 中得

x2 y2 a b

x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 2- 2=1, 2- 2=1, a b a b
2 2 x2 y2 1-x2 1-y2 两式相减,得 2 = 2 , a b

即 即

x1-x2 a y1-y2 x1-x2 b2 a
2

x1+x2



y1-y2 b
2

y1+y2



y1+y2 b2 = 2, x1+x2 a

即 kOM·kAB= 2. 热点三 直接证明和间接证明 例 3 足:
2 bn=a2 n+1-an (n≥1).

1 已知数列{an}满足:a1= , 2

+an+1 +an = ,anan+1<0 (n≥1);数列{bn}满 1-an 1-an+1

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. 思维启迪 (1)利用已知递推式中的特点构造数列{1-an}; (2)否定性结论的证明可用反证法. (1)解 已知 3 2 而 1-a1= , 4 3 2 2 所以数列{1-an}是首项为 ,公比为 的等比数列, 4 3 3 ?2?n-1 3 ?2?n-1 2 2 则 1-an= ×? ? ,则 an=1- ×? ? , 4 ?3? 4 ?3? 由 anan+1<0,知数列{an}的项正负相间出现, 因此 an=(-1)
n+ 1
2

+an+1 +an 1-an+1 2 = 化为 2 = , 1-an 1-an+1 1-an 3

2

3 ?2?n-1 1- ×? ? , 4 ?3?

2 n n-1 bn=a2 n+1-an=- ×? ? + ×? ? 4 ?3? 4 ?3?

3

?2?

3

?2?

1 ?2?n-1 = ×? ? . 4 ?3? (2)证明 假设存在某三项成等差数列,不妨设为 bm、bn、bp,其中 m、n、p 是互不相等的正 整数,可设 m<n<p,

-6-

1 ?2?n-1 而 bn= ×? ? 随 n 的增大而减小, 4 ?3? 那么只能有 2bn=bm+bp, 1 ?2?n-1 1 ?2?m-1 1 ?2?p-1 可得 2× ×? ? = ×? ? + ×? ? , 4 ?3? 4 ?3? 4 ?3?

?2?n-m ?2?p-m 则 2×? ? =1+? ? .(*) 3 ? ? ?3? ?2?n-m ?2?2 8 当 n-m≥2 时,2×? ? ≤2×? ? = ,(*)式不可能成立,则只能有 n-m=1, ?3? ?3? 9
4 ?2?p-m 此时等式为 =1+? ? , 3 ?3? 1 ?2?p-m 1 即 =? ? ,那么 p-m=log2 ,左边为正整数,右边为无理数,不可能相等. 3 ?3? 33 所以假设不成立,那么数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. 思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可. (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法,我们常用分析法寻找解决问题的突破口,然 后用综合法来写出证明过程,有时候,分析法和综合法交替使用. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; (2)设 bn= (n∈N ),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

Sn n

*

?a1= 2+1, (1)解 由已知得? ?3a1+3d=9+3 2,
*

所以 d=2,

故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2),n∈N . (2)证明 由(1)得 bn= =n+ 2. 假设数列{bn}中存在三项 bp,bq,br(p≠q≠r)成等比数列,则 bq=bpbr. 即(q+ 2) =(p+ 2)(r+ 2). ∴(q -pr)+(2q-p-r) 2=0.
?q -pr=0, ? ∵p,q,r∈N ,∴? ?2q-p-r=0, ?
* 2 2 2 2

Sn n

∵(

p+r
2

) =pr,(p-r) =0,∴p=r 与 p≠r 矛盾.

2

2

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列. 热点四 数学归纳法

-7-

例4

1 2 * 已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,且满足 S2n-1= an,n∈N , 2
n-1

2 ,n为奇数, ? ? 数列{bn}满足 bn=?1 an-1,n为偶数, ? ?2 (1)求 an,bn; (2)试比较 T2n 与 2n + 的大小. 3
2

Tn 为数列{bn}的前 n 项和.

n

思维启迪 (1)利用{an}的前 n 项确定通项公式(公差、首项),{bn}的通项公式可分段给出; (2)先求 Tn,归纳猜想 Tn 与 2n + 的关系,再用数学归纳法证明. 3 1 2 解 (1)设{an}首项为 a1,公差为 d,在 S2n-1= an中, 2
?a1=2S1, ? 令 n=1,2 得? 2 ?a2=2S3, ?
2 2

n

?a1=2a1, ? 即? 2 ? a1+d = ?

2

a1+3d ,

解得 a1=2,d=4,所以 an=4n-2.
? ?2 ,n为奇数, 所以 bn=? ?2n-3,n为偶数. ?
n-1

(2)T2n=1+2×2-3+2 +2×4-3+2 +?+2 =1+2 +2 +?+2 1-4 n = +4· 1-4
n
2 4 2n-2

2

4

2n-2

+2×2n-3

+4(1+2+?+n)-3n 4 1 2 -3n= - +2n -n. 3 3
n

n+
2

n 1 n 2 所以 T2n-(2n + )= (4 -4n-1). 3 3
1 n 1 当 n=1 时, (4 -4n-1)=- <0, 3 3 1 n 7 当 n=2 时, (4 -4n-1)= >0, 3 3 1 n 51 当 n=3 时, (4 -4n-1)= >0,? 3 3 猜想当 n≥2 时,T2n>2n + , 3 即 n≥2 时,4 >4n+1. 下面用数学归纳法证明: ①当 n=2 时,4 =16,4×2+1=9,16>9,成立; ②假设当 n=k(k≥2)时成立,即 4 >4k+1. 则当 n=k+1 时,4
k+1 k
2 2

n

n

=4·4 >4·(4k+1)
-8-

k

=16k+4>4k+5=4(k+1)+1, 所以 n=k+1 时成立. 由①②得,当 n≥2 时,4 >4n+1 成立. 综上,当 n=1 时,T2n<2n + , 3 当 n≥2 时,T2n>2n + . 3 思维升华 在使用数学归纳法证明问题时,在归纳假设后,归纳假设就是证明 n=k+1 时的 已知条件,把归纳假设当已知条件证明后续结论时,可以使用综合法、分析法、反证法. 1 1 1 1 3 1 * 已知 f(n)=1+ 3+ 3+ 3+?+ 3,g(n)= - 2,n∈N . 2 3 4 n 2 2n (1)当 n=1,2,3 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小关系; (2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并给出证明. 解 (1)当 n=1 时,f(1)=1,g(1)=1, 所以 f(1)=g(1), 9 11 当 n=2 时,f(2)= ,g(2)= ,所以 f(2)<g(2), 8 8 251 312 当 n=3 时,f(3)= ,g(3)= , 216 216 所以 f(3)<g(3). (2)由(1),猜想 f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明 ①当 n=1,2,3 时,不等式显然成立 ②假设当 n=k(k≥3)时不等式成立, 1 1 1 1 3 1 即 1+ 3+ 3+ 3+?+ 3< - 2, 2 3 4 k 2 2k 那么,当 n=k+1 时,
2 2

n

n

n

f(k+1)=f(k)+
因为 = = 1

1 k+

3

3 1 1 < - 2+ 2 2k k+
3

3



k+ k+3 k+
3

2

1 1 -( 2- 2k k+ 1 2 2k

)



-3k-1 <0. k+ 3k2 1 k+
2

3 所以 f(k+1)< - 2

=g(k+1),

即当 n=k+1 时,不等式成立.

-9-

由①②可知,对一切 n∈N ,都有 f(n)≤g(n)成立.

*

1.合情推理的精髓是“合情”,即得到的结论符合“情理”,其中主要是归纳推理与类比推 理.归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式.类比推理是由此及彼的推理模式;演绎推 理是一种严格的证明方式. 2.直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法,这两种方法也是解决数学问题时常 见的思维方式.在实际解题时,通常先用分析法寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解 题过程. 3.数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法,在遇到与正整数有关的数学命题 时,要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明. (1)在证明过程中突出两个“凑”字,即一“凑”假设,二“凑”结论,关键是在证明 n=k +1 时要用上 n=k 时的假设,其次要明确 n=k+1 时证明的目标,充分考虑由 n=k 到 n=k +1 时,命题形式之间的区别和联系,化异为同,中间的计算过程千万不能省略. (2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少,切忌忘记归纳结论.

真题感悟 1.(2014·福建)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4.有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,

d)的个数是________.
答案 6 解析 由题意知①②③④中有且只有一个正确,其余三个均不正确,下面分类讨论满足条件

的有序数组(a,b,c,d)的个数:(1)若①正确,即 a=1,则②③④都错误,即 b=1,c≠2,

d=4.其中 a=1 与 b=1 矛盾,显然此种情况不存在;
(2)若②正确,即 b≠1,则①③④都错误,即 a≠1,c≠2,d=4,则当 b=2 时,有 a=3,c =1;当 b=3 时,有 a=2,c=1,此时有 2 种有序数组. (3)若③正确,即 c=2,则①②④都错误,即 a≠1,b=1,d=4,则 a=3,即此种情况有 1 种有序数组. (4)若④正确,即 d≠4,则①②③都错误,即 a≠1,b=1,c≠2,则当 d=2 时,有 a=3,c =4 或 a=4,c=3,有 2 种有序数组;当 d=3 时,有 c=4,a=2,仅 1 种有序数组. 综上可得,共有 2+1+2+1=6(种)有序数组. 2.(2014·陕西)观察分析下表中的数据:

- 10 -

多面体 三棱柱 五棱锥 立方体

面数(F) 5 6 6

顶点数(V) 6 6 8

棱数(E) 9 10 12

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是____________. 答案 F+V-E=2 解析 观察 F,V,E 的变化得 F+V-E=2. 押题精练 1.圆周上 2 个点可连成 1 条弦,这条弦可将圆面划分成 2 部分;圆周上 3 个点可连成 3 条弦, 这 3 条弦可将圆面划分成 4 部分;圆周上 4 个点可连成 6 条弦,这 6 条弦最多可将圆面划分 成 8 部分.则 n 个点连成的弦最多可把圆面分成________部分.( A.2 C.2
n-1

)

B.2 D.2

n

n+1

n+2

答案 A 解析 由已知条件得: 圆周上的点数 2 3 4 5 ? 连成的弦数 2×1 1= 2 3×2 3= 2 4×3 6= 2 5×4 10= 2 ? 把圆面分成的部分数 2=2 =2 4=2 =2 8=2 =2
4 3 2 1 2-1

3-1

4-1

16=2 =2 ?

5-1

由此可以归纳出,当点数为 n 时,连成的弦数为 故选 A.

n n-
2

;弦把圆面分成的部分数为 2

n-1



2.在计算“1×2+2×3+?+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第 k 项,

k(k+1)= [k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],
1 由此得 1×2= (1×2×3-0×1×2), 3 1 2×3= (2×3×4-1×2×3), 3 ?
- 11 -

1 3

n(n+1)= [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].
1 相加,得 1×2+2×3+?+n(n+1)= n(n+1)(n+2). 3 类比上述方法,计算“1×2×3+2×3×4+?+n(n+1)·(n+2)”的结果为____________. 答案 1 n(n+1)(n+2)(n+3) 4

1 3

1 解析 类比 k(k+1)= [k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)], 3 1 可得到 k(k+1)(k+2)= [k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)], 4 1 先逐项裂项,然后累加即得 n(n+1)(n+2)(n+3). 4

(推荐时间:50 分钟) 一、选择题 1.下列推理是归纳推理的是( )

A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 点的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 C.由圆 x +y =r 的面积 π r ,猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=π ab D.以上均不正确 答案 B 解析 从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn,是从特殊到一般的推理,所以 B 是归纳推理. 2.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b 等于( A.28 C.123 答案 C 解析 观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,?,其规律为从第三项起,每项等于其前相 邻两项的和,所求值为数列中的第十项. 继续写出此数列为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,?,第十项为 123,即 a +b =123. 1 3.已知 x>0,观察不等式 x+ ≥2 3 x x 4 1 4 x x 4 x· =2,x+ 2= + + 2≥3 · · 2=3,?,由 x x 2 2 x 2 2 x
- 12 10 10 2 2 3 3 4 4 5 5 10 10 2 2 2 2

x2 y2 a b

) B.76 D.199

x

此可得一般结论:x+ n≥n+1(n∈N ),则 a 的值为( A.n
n

a x

*

)

B.n

2

C.3n 答案 A

D.2n

解析 根据已知,续写一个不等式:
3 3 4 x x x 33 3 x x x 3 n x+ 3= + + + 3≥4 · · · 3=4,由此可得 a=n .故选 A. x 3 3 3 x 3 3 3 x

4. 已知函数 f(x)是 R 上的单调增函数且为奇函数, 数列{an}是等差数列, a3>0, 则 f(a1)+f(a3) +f(a5)的值( A.恒为正数 C.恒为 0 答案 A 解析 由已知得 f(0)=0,a1+a5=2a3>0, 所以 a1>-a5. 由于 f(x)单调递增且为奇函数, 所以 f(a1)+f(a5)>f(-a5)+f(a5)=0, 又 f(a3)>0,所以 f(a1)+f(a3)+f(a5)>0. 故选 A. → → → 5.在平面内点 O 是直线 AB 外一点,点 C 在直线 AB 上,若OC=λ OA+μ OB,则 λ +μ =1; 类似地,如果点 O 是空间内任一点,点 A,B,C,D 中任意三点均不共线,并且这四点在同一 → → → → 平面内,若DO=xOA+yOB+zOC,则 x+y+z 等于( A.0 C.1 答案 B 解析 在平面内,由三角形法则, → → → → → → 得AB=OB-OA,BC=OC-OB. 因为 A,B,C 三点共线, → → → → → → 所以存在实数 t,使AB=tBC,即OB-OA=t(OC-OB), 1→ 1 → → 所以OC=- OA+( +1)OB. B.-1 D.±1 ) ) B.恒为负数 D.可正可负

t

t

1 1 → → → 因为OC=λ OA+μ OB,所以 λ =- ,μ = +1,

t

t

所以 λ +μ =1.
- 13 -

→ → → → 类似地,在空间内可得OD=λ OA+μ OB+η OC,λ +μ +η =1. → → 因为DO=-OD,所以 x+y+z=-1.故选 B. 6.已知 f(n)=3 ( ) B.32 D.64
2n+2

-8n-9,存在正整数 m,使 n∈N 时,能使 m 整除 f(n),则 m 的最大值为

*

A.24 C.48 答案 D

解析 由 f(1)=64,f(2)=704=11×64,f(3)=6 528=102×64, 所以 f(1),f(2),f(3)均能被 64 整除,猜想 f(n)能被 64 整除. 下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上得证; ②假设当 n=k(k∈N )时,f(k)=3 则当 n=k+1 时,f(k+1)=9
* 2k+2

-8k-9=9

k+1

-8k-9 能被 64 整除,
k+1

(k+1)+1

-8(k+1)-9=9×9

-8k-17=9f(k)+64(k+1).

由归纳假设,f(k)是 64 的倍数,又 64(k+1)是 64 的倍数,所以 f(k+1)能被 64 整除,所以 当 n=k+1 时,猜想也成立. 因为 f(1)不能被大于 64 的数整除, 所以所求 m 的最大值等于 64.故选 D. 二、填空题 7.如图所示的是由火柴棒拼成的一列图形,第 n 个图形由 n 个正方形组成,

通过观察可以发现第 4 个图形中,火柴棒有________根;第 n 个图形中,火柴棒有________ 根. 答案 13,3n+1 解析 易得第四个图形中有 13 根火柴棒,通过观察可得,每增加一个正方形,需增加三根火 柴棒,所以第 n 个图形中的火柴棒为 4+3(n-1)=3n+1. 8.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表达式为________. 答案

n2+n+2
2

解析 1 条直线将平面分成 1+1 个区域;2 条直线最多可将平面分成 1+(1+2)=4 个区域; 3 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3)=7 个区域;??,n 条直线最多可将平面分成 1+

- 14 -

(1+2+3+?+n)=1+

n n+
2



n2+n+2
2

个区域.

9.(2014·课标全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此判断乙去过的城市为________. 答案 A 解析 由题意可推断:甲没去过 B 城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”, 说明甲去过 A,C 城市,而乙“没去过 C 城市”,说明乙去过城市 A,由此可知,乙去过的城 市为 A.
?3 ? 10.对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:2 ? ? ?5
3

7 ? ? ,3 ?9 ? ?11
3



13 ? ?15 4? 17 ? ?19
3

,?.仿此,若 m 的“分裂数”中有一个是 59,则 m=________.

3

答案 8 解析 由已知可观察出 m 可分裂为 m 个连续奇数,最小的一个为(m-1)m+1.当 m=8 时,最 小的数为 57,第二个便是 59.所以 m=8. 三、解答题 1 4 2 2 11.已知 a,b,m 为非零实数,且 a +b +2-m=0, 2+ 2+1-2m=0.
3

a

b

1 4 (1)求证: 2+ 2≥

9

a

b

a2+b2



7 (2)求证:m≥ . 2 1 4 证明 (1)(分析法)要证 2+ 2≥

a

b

9 成立, a +b2
2

1 4 2 2 只需证( 2+ 2)(a +b )≥9,

a

b

b2 4a2 即证 1+4+ 2+ 2 ≥9, a b
即证 2+

b2 4a2 ≥4. a b2

- 15 -

b 4a 根据基本不等式,有 2+ 2 ≥2 a b
所以原不等式成立.

2

2

b2 4a2 · =4 成立, a2 b2

1 4 2 2 (2)(综合法)因为 a +b =m-2, 2+ 2=2m-1,

a

b

由(1),知(m-2)(2m-1)≥9, 即 2m -5m-7≥0, 7 解得 m≤-1 或 m≥ . 2 又∵a +b =m-2>0 ∴m>2,故 m≤-1 舍去, 7 ∴m≥ . 2 12.若不等式 证明结论. 1 1 1 a 解 方法一 当 n=1 时, + + > , 1+1 1+2 3+1 24 26 a 即 > ,所以 a<26. 24 24 而 a 是正整数,所以取 a=25, 下面用数学归纳法证明 1 1 1 1 a + +?+ > 对一切正整数 n 都成立,求正整数 a 的最大值,并 n+1 n+2 3n+1 24
2 2 2

n+1 n+2



1

1 25 +?+ > . 3n+1 24

①当 n=1 时,已证得不等式成立. ②假设当 n=k(k∈N )时,不等式成立, 即 1
*

k+1 k+2



1

+?+

1 25 > . 3k+1 24

则当 n=k+1 时, 有 = 1

k+

1 + +1 k+

+?+ +2

1

k+

+1

1 1 1 1 1 1 1 25 1 1 + +?+ + + + - > +[ + - k+1 k+2 3k+1 3k+2 3k+3 3k+4 k+1 24 3k+2 3k+4 2 k+ ]. 2

1 1 因为 + - 3k+2 3k+4

k+

- 16 -

= = =

k+ k+ k+ k+ k+
2

k+




2 k+

k2+18k+ k+ k+
2

k+

k+

>0,

所以当 n=k+1 时不等式也成立. 由①②知,对一切正整数 n,都有 所以正整数 a 的最大值为 25. 方法二 设 f(n)= 1 1 1 + +?+ n+1 n+2 3n+1 1 1 1 1 + + - 3n+2 3n+3 3n+4 n+1 2 1

n+1 n+2



1

+?+

1 25 > , 3n+1 24

则 f(n+1)-f(n)= =

1 1 2 + - = 3n+2 3n+4 3n+3

n+

n+

n+

>0,

∴数列{f(n)}为递增数列, 1 1 1 26 ∴f(n)min=f(1)= + + = , 2 3 4 24 ∴ 1

n+1 n+2 n+3



1



1

1 a a a 26 +?+ > 对一切正整数 n 都成立可转化为 <f(n)min,∴ < , 3n+1 24 24 24 24

∴a<26. 故正整数 a 的最大值为 25.

- 17 -


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