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2016届《创新设计》数学一轮(文科)人教A版配套作业 第2章 第4讲 二次函数与幂函数

时间:2015-05-05


第4讲

二次函数与幂函数

基础巩固题组
(建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.二次函数 y=-x2+4x+t 图象的顶点在 x 轴上,则 t 的值是 A.-4 C.-2 解析 -4. 答案 A B.4 D.2 ( )

二次函数图象的顶点在 x 轴上,所以 Δ=42-4×(-1)×t=0,解得 t=

2.(2014· 郑州检测)若函数 f(x)=x2+ax+b 的图象与 x 轴的交点为(1,0)和(3,0),则 函数 f(x) A.在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增 B.在(-∞,3)上递增 C.在[1,3]上递增 D.单调性不能确定 解析 由已知可得该函数的图象的对称轴为 x=2,又二次项系数为 1>0,所 ( )

以 f(x)在(-∞,2]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的. 答案 A ( B.5a<0.5a<5-a D.5a<5-a<0.5a )

3.若 a<0,则 0.5a,5a,5-a 的大小关系是 A.5-a<5a<0.5a C.0.5a<5-a<5a 解析

1 ?1? 5-a=?5?a,因为 a<0 时,函数 y=xa 单调递减,且5<0.5<5,所以 5a ? ?

<0.5a<5-a. 答案 B

4.(2015· 蚌埠模拟)若二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)等于 (
-1-

)

b A.-2a C.c 解析

b B.-a 4ac-b2 D. 4a

b b ∵f(x1)=f(x2)且 f(x)的图象关于 x=-2a对称,∴x1+x2=-a.

b2 b ? b? ∴f(x1+x2)=f?-a?=a· 2-b·+c=c. a a ? ? 答案 C

5.(2014· 山东师大附中期中)“a=1”是“函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2,+∞) 上为增函数”的 A.必要不充分条件 C.充分必要条件 解析 B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 ( )

-4a 函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2, +∞)上为增函数, 则满足对称轴- 2

=2a≤2,即 a≤1,所以“a=1”是“函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2,+∞) 上为增函数”的充分不必要条件. 答案 B

二、填空题 6.二次函数的图象过点 (0,1),对称轴为 x= 2,最小值为- 1 ,则它的解析式是 ________. 答案 1 y=2(x-2)2-1
? ?

? ? 1 7.当 α∈?-1,2,1,3?时,幂函数 y=xα 的图象不可能经过第________象限.

解析

1 当 α=-1、1、3 时,y=xα 的图象经过第一、三象限;当 α=2时,y=xα

的图象经过第一象限. 答案 二、四

8.(2014· 江苏卷)已知函数 f(x)=x2+mx-1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x) <0 成立,则实数 m 的取值范围是________. 解析 作出二次函数 f(x)的图象,对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0,则有

-2-

?f?m?<0, ? ?f?m+1?<0,

2 2 ?m +m -1<0, 即? 2 ??m+1? +m?m+1?-1<0,

2 解得- 2 <m<0. 答案 ? 2 ? ?- ,0? ? 2 ?

三、解答题 9.已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数. 解 (1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 x∈[-4,6],

∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1, 又 f(-4)=35,f(6)=15, 故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图象开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[-4,6]上 是单调函数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. 10.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值. 解 函数 f(x)=-x2+2ax+1-a

=-(x-a)2+a2-a+1, 对称轴方程为 x=a. (1)当 a<0 时,f(x)max=f(0)=1-a, ∴1-a=2,∴a=-1. (2)当 0≤a≤1 时,f(x)max=a2-a+1, 1± 5 ∴a2-a+1=2,∴a2-a-1=0,∴a= 2 (舍).
-3-

(3)当 a>1 时,f(x)max=f(1)=a,∴a=2. 综上可知,a=-1 或 a=2.

能力提升题组
(建议用时:25 分钟) 11. 已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧, 则实数 m 的取值范围是 A.(0,1) C.(-∞,1) 解析 B.(0,1] D.(-∞,1] ( )

1 用特殊值法.令 m=0,由 f(x)=0 得 x=3适合,排除 A,B.令 m=1,由

f(x)=0 得 x=1 适合,排除 C. 答案 D

12.(2014· 武汉模拟)已知函数 f(x)=ax2+2ax+b(1<a<3),且 x1<x2,x1+x2=1 -a,则下列说法正确的是 A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小关系不能确定 解析 f(x)的对称轴为 x=-1,因为 1<a<3, ( )

则-2<1-a<0,若 x1<x2≤-1,则 x1+x2<-2, 不满足 x1+x2=1-a 且-2<1-a<0;若 x1<-1, x2≥-1 时,|x2+1|-|-1-x1|=x2+1+1+x1=x1+x2+2=3-a>0(1<a<3), 此时 x2 到对称轴的距离大,所以 f(x2)>f(x1); 若-1≤x1<x2,则此时 x1+x2>-2,又因为 f(x)在[-1,+∞)上为增函数,所 以 f(x1)<f(x2). 答案 A

13.(2015· 江门、佛山模拟)已知幂函数 f(x)=xα,当 x>1 时,恒有 f(x)<x,则 α 的取值范围是________. 解析 当 x>1 时,恒有 f(x)<x,即当 x>1 时,函数 f(x)=xα 的图象在 y=x 的

图象的下方,作出幂函数 f(x)=xα 在第一象限的图象,由图象可知 α<1 时满足
-4-

题意. 答案 (-∞,1)

14.(2014· 辽宁五校联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x) =x2+2x.现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,请根据图象:

(1)写出函数 f(x)(x∈R)的增区间; (2)写出函数 f(x)(x∈R)的解析式; (3)若函数 g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数 g(x)的最小值. 解 (1)f(x)在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增.

(2)设 x>0,则-x<0,函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)= x2+2x, ∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),
2 ?x -2x?x>0?, ? ∴f(x)= 2 ?x +2x?x≤0?.

(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,对称轴方程为 x=a+1, 当 a+1≤1,即 a≤0 时,g(1)=1-2a 为最小值; 当 1<a+1≤2,即 0<a≤1 时,g(a+1)=-a2-2a+1 为最小值; 当 a+1>2,即 a>1 时,g(2)=2-4a 为最小值. 2a ?a≤0?, ?1-2 综上,g(x)min=?-a -2a+1 ?0<a≤1?, ?2-4a ?a>1?.

-5-


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