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311 随机事件的概率_图文

时间:2016-01-30

第三章

概率

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内容提要
本章分为随机事件的概率、古典概型、几何概型三大部分. 1.关于随机事件的概率,介绍了它的有关概念,如随机事件、必然事 件、不可能事件、频数、频率等,还从以下六个方面介绍了概率的意 义:一是对概率的正确理解,二是游戏的公平性,三是决策中的概率思想, 四是天气预报的概率解释,五是在豌豆杂交试验中的基本规律,六是遗 传机理中的统计规律.最后介绍了概率的基本性质和各事件之间的关 系. 2.关于古典概型,教材从基本试验入手分析得出古典概型所必须具备的 两个特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本 事件出现的可能性相等.接着又从具体例子出发,介绍基本事件出现的 概率的计算方法,最后为了方便同学们学习,节省大量重复试验的时间, 介绍了用计算器产生随机数的方法和步骤.

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3.关于几何概型,它主要研究遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况 的解决方案,并介绍用计算器产生均匀随机数的方法和步骤. 本章的重点是通过对随机事件的概率知识的学习,正确理解概率的定 义和性质,理解古典概率模型,初步体会几何概率模型;学会通过试验、 计算器或计算机模拟估计简单随机事件发生的概率.本章的难点是理 解频率与概率的关系,设计和运用模拟方法近似计算概率,把求未知量 的问题转化为几何概型求概率的问题.

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学法建议
1.对于易混淆的知识,如概念、公式、随机数的产生方法等,应着眼于 搞清它们之间的区别和联系. 2.公式的运用,要注意它们的前提条件,它属于哪种概率类型,要准确、 熟练地应用各个公式解题.

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3 .1

随机事件的概率

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3.1.1 随机事件的概率

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说一个与足球有关的著名悖论:“生日悖论”,在一个足球场上有 23 个人(2×11 个运动员和 1 个裁判员),不可思议的是,在这 23 人当中至少 有两个人的生日是在同一天的几率要大于 50%.这就意味着在一个典型 的标准小学班级(30 人)中,存在两人生日相同的可能性更高.对于 60 个 或者更多的人,这种概率要大于 99%,这是为什么呢?本节我们共同研究 这个问题.

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1.事件的有关概念 (1)必然事件:一般地,我们把在条件 S 下,一定会发生的事件,叫做相 对于条件 S 的必然事件,简称必然事件. (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件 S 的不可能事件,简称不可能事件. (3)确定事件:必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事 件,简称确定事件. (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对 于条件 S 的随机事件,简称随机事件. (5)事件及其表示方法:确定事件和随机事件统称为事件,一般用大 写字母 A,B,C,…表示.
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(1)必然事件具有确定性,它在一定条件下肯定发生. (2)随机事件可作如下理解:①在相同条件下观察同一现象;②多次观 察 ;③每一次观察的结果不一定相同 ,且无法预测下次的结果是什么 ;④ 必然事件和不可能事件可看作是随机事件的两种极端情形. (3)要弄清楚什么是随机事件的条件和结果. 随机事件是指在一定条件下 , 可能发生也可能不发生的事件 . 应注 意 ,事件的结果是相对于 “一定条件 ”而言的 ,因此要弄清楚某一事件 ,必 须明确事件发生的条件和事件发生的结果. (4)为了叙述起来文字简洁些,我们有时讲到事件时,其中可能包含不 可能事件和必然事件的意思,一般都不另作说明,即可以把它们视为特殊 的随机事件.

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2.随机试验 对于随机事件,知道它发生的可能性大小是非常重要的,要了解随 机事件发生的可能性大小,最直接的方法就是试验. 一个试验如果满足下述条件: (1)试验可以在相同的情形下重复进行; (2)试验的所有结果是明确可知的,但不止一个; (3)每次试验总是出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不 能确定这次试验会出现哪一个结果.像这样的试验称为一个随机试验.

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我们知道具备上述三个条件的试验称为随机试 验. 例如:(1)掷一颗均匀对称的骰子,观察出现的点数;(2)记录一段时间 内,某城市 110 报警次数;(3)从含有 3 件次品 a1,a2,a3 和 3 件正品 b1,b2,b3 的 6 件产品中,任取 2 件,观察出现正品、 次品的情况等都是随机试验的 例子.由此可知,随机试验是产生随机现象的过程 ,随机试验和随机现象 是并存的,通过随机试验,人们可以揭示自然界的奥秘.

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3.频数、频率、概率 (1)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数,称 事件 A 出现的比例 fn(A)= 为事件 A 出现的频率.


由于 A 发生的次数至少为 0,至多为 n,因此频率总在 0 与 1 之间,即 0≤ ≤1.


(2)概率及其记法:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增 加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A),称 为事件 A 的概率,简称为 A 的概率. 一般来说,随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知的,但是 在大量的重复试验后,随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率会逐渐 稳定在区间[0,1]中的某个常数上,这个常数越接近于 1,表明事件 A 发 生的频率越大,频数就越大,也就是它发生的可能性越大;反之,事件发生 的可能性越小,频数就越小,频率也越小,这个常数也就越小.因此,我们 可以用这个常数来度量事件 A 发生的可能性的大小,定义为概率.
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(1)概率从数量上反映出一个事件发生的可能性的 大小. (2)概率的定义实际也是求一个事件概率的基本方法. (3)记随机事件 A 在 n 次试验中发生了 nA 次,那么有 0≤nA≤n,于是有 0≤P(A)≤1. (4)必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0.

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1.下面给出四个事件:①若 x∈R,则 x2<0;②没有水分,种子发芽;③ 某地圣诞节下雪;④在标准大气压下,水的沸点是 100℃.其中是必然事 件的是( ) A.③ B.① C.①④ D.④ 解析:①是不可能事件,②是不可能事件,③是随机事件,④是必然事 件. 答案:D

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2.某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位:人)如下:
时间 出生婴 儿数 出生男 婴数 2008 年 21840 11453 2009 年 23070 12031 2010 年 20094 10297 2011 年 19982 10242

(1)试计算近几年男婴出生的频率分别为 0.001); (2)该市男婴出生的概率约为 . 解析:(1)2008 年男婴出生的频率为

(精确到

11453 ≈0.524.同理可求得 2009 年、 21840

2010 年和 2011 年男婴出生的频率分别为 0.521,0.512,0.513. (2)该市男婴出生的概率约为 0.5. 答案:(1)0.524,0.521,0.512,0.513 (2)0.5
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3.指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件. (1)若 a>b,则 a-b>0; (2)某射手射击一次,击中 10 环; (3)在一个三角形中,大边对的角小,小边对的角大; (4)将一枚硬币连掷三次,结果出现三次正面; (5)从分别标有号码 1,2,3,4,5 的 5 个号签中任取一个,得到 4 号签; (6)导体通电后,发热; (7)三角形的内角和为 360° ; (8)某电话机在 1 分钟内收到 4 次呼叫. 解:(1)(6)是必然事件;(3)(7)是不可能事件;(2)(4)(5)(8)是随机事件.

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4.某人射击 10 次,击中靶心 8 次,则击中靶心的概率为 0.8.这种说法 对吗? 解:这种说法是错误的. 首先“击中靶心”这一事件为随机事件,在试验次数仅有 10 次的情 况下,不会呈现明显的规律性.要找到存在的规律性(击中靶心的概率), 必须进行次数足够多的重复试验. 此外,当试验次数足够多时,可近似地把频率看成该事件的概率,但 不能说事件“击中靶心”的概率为 0.8,只能说成“击中靶心的概率约为 0.8”.

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5.某射击运动员在同一条件下进行射击练习,结果如下表:
射击次数 n 击中 10 环的次数 m 击中 10 环的频率
m n

10 8

20 19

50 44

100 93

200 178

500 453

(1)计算表中击中 10 环的各个频率; (2)这名射击运动员射击一次,击中 10 环的概率约为多少? 解:(1)所求频率如下表:
射击次数 n 击中 10 环的次数 m 击中 10 环的频率
m n

10 8 0 .8

20 19 0.95

50 44 0.88

100 93 0.93

200 178 0.89

500 453 0.906

(2)这名射击运动员击中 10 环的概率约为 0.90.
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题型一、必然事件、不可能事件、随机事件
【例 1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件: (1)某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军; (2)同一门炮向同一目标发射多发炮弹,其中 50%的炮弹击中目标; (3)某人给其朋友打电话,却忘记了朋友电话号码的最后一个数字, 就随意在键盘上按了一个数字,恰巧是朋友的电话号码; (4)技术充分发达后,不需要任何能量的“永动机”将会出现. ?思路分析:根据必然事件、不可能事件及随机事件的定义,在一定的 条件下可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件,可知(1)(2)(3)是随 机事件;在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件,知(4)是不 可能事件.
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解:(1)(2)(3)是随机事件;(4)是不可能事件. 准确地掌握随机事件、必然事件及不可能事件的 概念是解题的关键.

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1-1 下列事件中是随机事件的个数是( ) ①连续两次抛掷两枚骰子,两次都出现 2 点;②在地球上,树上掉下 的雪梨不抓住就往下掉;③某人买彩票中奖;④已经有一个女儿,那么第 二次生男孩;⑤在标准大气压下,水加热到 90℃会沸腾. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:②是必然事件,⑤是不可能事件,①③④是随机事件. 答案:C

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题型二、频率与概率
【例 2】某射击运动员进行双向飞碟射击训练,各次训练的成绩记 录如下:
射击次数 击中飞碟数 击中飞碟的频率 100 81 120 95 150 123 100 82 150 119 160 127 150 121

(1)计算各次记录击中飞碟的频率; (2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少? 解:(1)射击次数 100,击中飞碟数是 81,故击中飞碟的频率是 81 =0.810,同理可求得题表中的频率依次是 100 0.792,0.820,0.820,0.793,0.794,0.807. (2)击中飞碟的频率稳定在 0.810,故这个运动员击中飞碟的概率约 为 0.810. 概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率 可以通过求该事件的频率而得.
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2-1 某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下:
投篮次数 n 进球次数 m 进球频率
m n

8 6

10 8

12 9

10 7

16 12

20 15

(1)计算表中进球的频率; (2)这位运动员投篮一次,进球的概率是多少? 解:(1)把表中数据代入公式 fn(A)= ,依次可求得频率


为:0.75,0.8,0.75,0.7,0.75,0.75. (2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是 0.75.

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本节的重点是正确理解随机事件和概率的意义,理解必然事件、不 可能事件、 随机事件是在一定条件下发生的,当条件发生变化时,事件的 性质也发生变化. 必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况,因此,任 何事件发生的概率都满足 0≤P(A)≤1. 随机事件在相同条件下进行大量试验时,呈现规律性,且频率 总是


接近于常数 P(A),称 P(A)为事件 A 的概率. 概率是可以通过频率来“测量”的,或者说频率是概率的一个近似 值,概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.

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