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2017年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)——数学(理科)

时间:2017-04-13


2017 年沈阳市高中三年级教学质量监测(一) 数
命题:沈阳市第 31 中学 闫 通 沈阳市第 120 中学 张丽娜 主审:沈阳市教育研究院 王孝宇

学(理科)
东北育才学校 王成栋 沈河教师学校 王丽萍 朱晓丽

沈阳市第 36 中学 曹 明 沈阳市回民中学

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. 已知集合 A ? ?x | x? x ? 3? ? 0? , B ? ?? 1,0,1,2,3?,则 A ? B ? ( A. ?? 1? 2. B. ?1,2? C. ?0,3? ) D. ?? 1,1,2,3? ) D. 第四象限 ) D. ?

已知 i 是虚数单位,复数 i ? z ? 1 ? 2i ,则复数 z 在复平面内对应的点位于( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限

3.

? 1? 已知平面向量 a ? ?3,4? , b ? ? x, ? ,若 a // b ,则实数 x 为( ? 2?
A. ?

2 3

B.
x

2 3


C.

3 8

3 8

4.

1 ?1? 命题 p : “ ?x ? N ? , ? ? ? ”的否定为( 2 ?2?
1 ?1? A. ?x ? N ? ,? ? ? 2 ?2?
x

1 ?1? B. ?x ? N ? ,? ? ? 2 ?2?

x

1 ?1? C. ?x ? N ? , ? ? ? 2 ?2?

x

1 ?1? D. ?x ? N ? ,? ? ? 2 ?2?


x

5.

2 已知直线 l : y ? k x ? 3 和圆 C : x 2 ? ? y ? 1? ? 1 ,若直线 l 与圆 C 相切,则 k ? (

?

?

A. 0 6.

B.

3

C.

3 或0 3

D.

3或0


如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的表面积是 ( A. 36 ? 6 10 B. 36 ? 3 10 C. 54

D. 27 7. 将 A、 B、 C、 D 这 4 名同学从左至右随机地排成一排, 则 “A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 1 名同学” 的概率是( A. ) B.

1 2

1 4

C.

1 6

D.

1 8

8.

中国古代数学著作《孙子算经》种有这样一道算术题: “今有物 不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们 把此类题目称为 “中国剩余定理” 。 若正整数 N 除以正整数 m 后 的余数为 n ,则记为 N ? n?mod m? ,例如 11 ? 2?mod3? 。现将 该问题一程序框图的算法给出, 执行该程序框图, 则输出的 n ? ( A. 21 C. 23 ) B. 22 D. 24

9.

将函数 f ? x ? ? 2 sin? ? ?x ?
?

?? ? 个单位,得到函数 y ? g ? x ? 的图像,若 ??? ? 0 ? 的图像向右平移 4? 4?
) D.

? ? ?? y ? g ? x ? 在 ? ? , ? 上为增函数,则 ? 的最大值为( ? 6 3?
A. 3 B. 2 C.

3 2

5 4

10. 已知 S 、 A 、 B 、 C 是球 O 表面上的不同点, SA ? 平面 ABC , AB ? BC , AB ? 1 , BC ? 2 ,若 球 O 的表面积为 4? ,则 SA ? ( A. ) C.

2 2

B. 1

2

D.

3 2

x2 y2 11. 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左、 右焦点分别为 F1 、F2 , 点 M 与双曲线 C 的焦点不重合, a b
点 M 关于 F1 、 F2 的对称点分别是 A 、 B ,线段 MN 的中点在双曲线的右支上,若 | AN | ? | BN |? 12 , 则 a ?( A. 3 ) B. 4 C. 5 D. 6

? 2x ? 2 , x ?1 3 ? 12. 已知函数 f ? x ? ? ? 2 ,则函数 F ? x? ? f ? f ? x?? ? 2 f ? x? ? 的零点个数是( 2 ? ?| log2 ? x ? 1? | , x ? 1
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7



第 II 卷(共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 )

1 ? 13. 二项式 ? ? x ? ? 的展开式中的常数项为。 2x ? ?

6

?x ? 0 ? 14. 若实数 x 、 y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为。 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
2 C 的对边分别为 a 、 b、 b?c ?8, 15. 已知 ?ABC 的三个内角 A 、 面积为 S , 且满足 4S ? a 2 ? ?b ? c ? , c, B、

则 S 的最大值为。

? x? 16. 设函数 f ? x ? ? g ? ? ? x 2 , 曲线 y ? g ? x ? 在点 ?1, g ?1?? 处的切线方程为 9 x ? y ? 1 ? 0 , 则曲线 y ? f ? x ? 在 ?2?
点 ?2, f ?2?? 处的切线方程为。 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,首项 a1 ? 1 ,且 a1 、 a2 、 a4 成等比数列。 I. II. 求数列 ?an ? 的通项公式; 设数列 ?bn ? 满足 bn ? an ? 2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

18. (本小题满分 12 分) 为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关,现从该市高三理科生中 随机抽取 50 名学生进行调查,得到如下 2 ? 2 列联表: (单位:人) 报考“经济类” 男 女 6 14 不报“经济类” 24 6 合计 30 20

合计 I. II.

20

30

50

据此样本,能否有 99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关? 若以样本中各事件的频率作为概率估计全是总体考生的报考情况,现从该市的全体考生(人数众 多)中随机抽取 3 人,设 3 人中报考“经济类”专业人数为随机变量 X ,求随机变量 X 的概率分 布及数学期望。

附:参考数据:

P?? 2 ? k ?
k

0.05 3.841
2

0.010 6.635

(参考公式: ? 2 ?

n?n11n22 ? n12 n21 ? ) n1? n2? n?1n? 2

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 AA1C1C ? 底面 ABC , AA1 ? A1C ? AC ? AB ? BC ? 2 ,且点 O 为 AC 中点。 I. II. 证明: A1O ? 平面 ABC ; 求二面角 A ? A1B ? C1 的大小。

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : I. II.

2 x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的左焦点 F1 ? 6 ,0 , e ? 。 2 2 a b

?

?

求椭圆 C 的方程; 如图, R? x0 , y0 ? 是椭圆 C 上一动点,由原点 O 向圆 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? 4 引两条切线,分别交椭
2 2

圆与点 P 、 Q ,若直线 OP 、 OQ 的斜率存在,并记为 k1 、 k2 ,求证: k1k 2 为定值; III. 在 II 的条件下,试问 OP 2 ? OQ 2 是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x? ? e x ? 1 ? x ? ax2 。 I. II. 当 a ? 0 时,求证: f ? x ? ? 0 ; 当 x ? 0 时,若不等式 f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围;

III. 若 x ? 0 ,证明 ?e x ? 1?ln? x ? 1? ? x 2 。

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? ?1 ? cos ? 在直角坐标系 xOy 中,直线 l : y ? x ,圆 C : ? ( ? 为参数) ,以坐标原点极点, x 轴的 ? y ? ?2 ? sin ?
正半轴为极轴建立极坐标系。 I. II. 求直线 l 与圆 C 的极坐标方程; 设直线 l 与圆 C 的交点为 M 、 N ,求 ?CMN 的面积。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ?| x ? a | ? x , (a ? 0 ) 。 I. II. 若 a ? 3 ,解关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 ; 若对于任意的实数 x ,不等式 f ? x ? ? f ? x ? a ? ? a 2 ?

1 2

a 恒成立,求实数 a 的取值范围。 2


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