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高三数学专题01-二次函数综合问题例谈

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二次函数综合问题 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了,易于变形(一般式、顶点式、零点式等) ,所以,在解决二次函数 的问题时,常常借助其解析式,通过纯代数推理,进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式 y ? ax2 ? bx ? c (c ? 0) 中有三个参数 a, b, c . 解题的关键在于:通过三个独 立条件“确定”这三个参数. 例1 已知 f ( x ) ? ax ? bx ,满足 1 ? f ( ?1) ? 2 且 2 ? f (1) ? 4 ,求 f ( ?2) 的取值范围. 2 分析:本题中,所给条件并不足以确定参数 a , b 的值,但应该注意到:所要求的结论不是 f ?? 2? 的确 定值,而是与条件相对应的“取值范围” ,因此,我们可以把 1 ? f ( ?1) ? 2 和 2 ? f (1) ? 4 当成两个独立 条件,先用 f ?? 1? 和 f ?1? 来表示 a , b . 解:由 f ?1? ? a ? b , f ?? 1? ? a ? b 可解得: a? 1 ( f (1) ? f (?1)), 2 2 b? 1 ( f (1) ? f (?1)) 2 (*) 将以上二式代入 f ( x ) ? ax ? bx ,并整理得 ? x2 ? x ? ? x2 ? x ? ? ? f ?x ? ? f ?1?? ? f ( ? 1 ) ? 2 ? ? 2 ? ?, ? ? ? ? ∴ f ?2? ? f ?1? ? 3 f ?? 1? . 又∵ 2 ? f (1) ? 4 , 1 ? f (?1) ? 2 , ∴ 5 ? f ?2? ? 10 . 例 2 设 f ? x ? ? ax ? bx ? c? a ? 0? ,若 f ? 0? ? 1 , f ?1? ? 1 , f ? -1? ? 1 , 试证明:对于任意 2 ? 1 ? x ? 1 ,有 f ? x ? ? 5 . 4 分析:同上题,可以用 f ?0?, f ?1?, f ?? 1? 来表示 a, b, c . 解:∵ f ?? 1? ? a ? b ? c, f ?1? ? a ? b ? c, f ?0? ? c , ∴ a? 1 1 ( f ?1? ? f ?? 1? ? 2 f ?0?), b ? ( f (1) ? f (?1)), c ? f ?0? , 2 2 ? x2 ? x ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? ? ? f ? 1 ? f ?0 ? 1 ? x 2 . ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ∴ f ? x ? ? f ?1?? ? ? ? 1 ∴ 当 ? 1 ? x ? 0 时, x2 ? x x2 ? x f ? x ? ? f ?1? ? ? f ?? 1? ? ? f ?0 ? ? 1 ? x 2 2 2 ? x2 ? x x2 ? x ? ? 1? x2 2 2 ? x2 ? x ? ? x2 ? x ? 2 ? ?? ? 2 ? ??? ? 2 ? ? ? (1 ? x ) ? ? ? ? 2 ? ?x ? x ? 1 1 5 5 ? ?( x ? ) 2 ? ? . 2 4 4 当 0 ? x ? ?1时, f ? x ? ? f ?1? ? x2 ? x x2 ? x ? f ?? 1? ? ? f ?0 ? ? 1 ? x 2 2 2 x2 ? x x2 ? x ? ? ? 1? x2 2 2 ? x2 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ?? ? (1 ? x 2 ) ? 2 ? ??? ? ? 2 ? ? ? ? ? ?x2 ? x ? 1 1 5 5 ? ?( x ? ) 2 ? ? . 2 4 4 综上,问题获证. 1.2 利用函数与方程根的关系,写出二次函数的零点式 y ? a?x ? x1 ??x ? x2 ?. 例3 设 二 次 函 数 f ? x ? ? ax ? bx ? c? a ? 0? , 方 程 f ? x ? ? x ? 0 的 两 个 根 x1 , x 2 满 足 2 0 ? x1 ? x 2 ? 1 . 当 x ? ?0, x1 ? 时,证明x?f??. 1 a 分析:在已知方程 f ? x ? ? x ? 0 两根的情况下,根据函数与方程根的关系,可以写出函数 f ?x ? ? x 的 表达式,从而得到函数 f ( x) 的表达式. 证明:由题意可知 f ( x) ? x ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) . 1 , a ? 0 ? x ? x1 ? x 2 ? ∴ ∴ a( x ? x1 )(x ? x2 ) ? 0 , 当 x ? 0, x1 时, f ( x) ? x . 2 ? ? 又 f ( x) ? x1 ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ? x ? x1 ? ( x ? x1 )(ax ? ax2 ? 1) , x ? x1 ? 0, 且ax ? ax2 ? 1 ? 1 ? ax2 ? 0, ∴ f ( x) ? x1 , 综上可知,所给问题获证. b ? 4ac ? b 2 ? 1.3 紧扣二次函数的顶点式 y ? a? x ? , 对称轴、最值、判别式显合力 ? ? 2a ? 4a ? 例4 已知函数 f ( x ) ? 2 ? z 2 a 。 2x (1)将 y ? f ( x) 的图象向右平移两个单位,得到函数 y ? g ( x) ,求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)函数 y ? h( x) 与函数 y ? g ( x) 的图象关于直线 y ? 1 对称,求函数 y ? h( x) 的解析式; 1 f ( x) ? h( x) ,已知 F ( x) 的最小值是 m 且 m ? 2 ? 7 ,求实数 a 的取值范围。 a a x?2 ? x?2 ; 解:(1) g

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