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2016~2017学年四川省成都七中(高二上)期末数学试卷(文科)(精校版,含答案)

时间:2018-01-10

2016~2017 学年四川省成都七中(高二上)期末数学试卷(文科)

2016~2017 学年四川省成都七中(高二上)期末数学试卷(文科)
第Ⅰ卷(选择题,60 分) 一、
1.

选择题(每小题 5 分,共 60 分)


命题 p :“ a ? ?2 ”是命题 q :“直线 ax ? 3y ? 1 ? 0 与直线 6 x ? 4 y ? 3 ? 0 垂直”成立的( A.充要条件 C.必要非充分条件 B.充分非必要条件 D.既非充分也非必要条件

2.

成都七中为了全面落实素质教育,切实有效减轻学生课业负担,拟从林荫、高新两个校区的初高中 学生中抽取部分学生进行调查, 事先已了解到初中三个年级、 高中三个年级学生的课业负担情况有 较大差异,而男女生课业负担差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( A.简单随机抽样 C. 按年级分层抽样 B.按性别分层抽样 D.系统抽样 ( D. 相离 ( ) ) )

3.

2 圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 与圆 ( x - 2)2 ? (y - 1 ) ? 9 的位置关系为

A.内切 4. 已知方程

B.相交

C.外切

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 2 ? k 2k ? 1
? ?) B. (2,
C. (1,2) D. ( ,1)

A. ( ,2)

1 2

1 2

5.

已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 ,那么双曲线的渐近线方程为 ( a 2 b2
B. x ? y ? 0 C. 2 x ? y ? 0 D . 3x ? y ? 0



A. 2 x ? y ? 0 6.

已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 2, x ?[?5,5] ,在定义域内任取一点 x0 ,使 f(x0 ) ? 0 的概率是( A.



1 10

B.

2 3

C.

3 10

D.

4 5
( )

7.

与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线的方程为 A. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 3 x - 4 y ? 5 ? 0 B. 3 x - 4 y - 5 ? 0 D. 3 x ? 4 y - 5 ? 0

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8.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 已知实数 x , y 满足不等式组 ? x - y ? 0 ,则 z ? x ? 3 y ? 7 的最大值为 ? x ? ?3 ?
A. - 5 B. 11 C. 15 D. 19





9.

执行左下图程序框图,若输出的结果为 43 ,则判断框内应填入的条件是 A. z ? 20 ? B. z ? 42 ? C. z ? 50 ?





D. z ? 52 ?

10. 成都七中随机抽查了本校 20 个同学, 调查它们平均每天在课外从事体育锻炼的时间 (单位: 分钟) , 根据所得数据的茎叶图,以 5 为组距将数据分为 8 组,分别是 [0,5),[5,10),? ? ?, [35,40] ,作出频率分 布直方图如由上图所示,则原始的茎叶图可能是 ( )

A.

B.

C.

D.

11. 已知⊙ C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1与 x 轴切于 A 点,与 y 轴切于 B 点,设劣弧 AB 的中点为 M ,则 过点 M 的圆 C 的切线方程是 A. y ? x ? 2 ? 2 C. y ? x - 2 ? 2 B. y ? x ? 1 ? ( )

2 2

D. y ? x ? 1 ? 2

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(0, ) 12. 等腰梯形 ABCD 中, AB ∥ CD 且 AB ? 2 AD ,设 ?DAB ? ? , ? ? ,以 A 、 B 为焦点, 2
且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 ;以 C 、 D 为焦点,且过点 A 的椭圆的离心率为 e 2 ,则( A.当 ? 增大时, e1 增大, e1 ? e2 为定值 B.当 ? 增大时, e1 减小, e1 ? e2 为定值 C.当 ? 增大时, e1 增大, e1 ? e2 增大 D.当 ? 增大时, e1 减小, e1 ? e2 减小 )

?

第Ⅱ卷(非选择题,90 分) 二、 填空题(每题 5 分,满分 20 分)

13. 命题 p : ?x ? R, x ? 0 的否定是_________________________ 14. 已知双曲线 x 2 ? my2 ? 1的虚轴长是实轴长的 3 倍,则实数 m 的值是________________

15. 已知在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 x 2 ? 2 y 的焦点为 F , M (3,5) ,点 Q 在抛物线上,则

MQ ? QF 的最小值为________________

16. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 x ? y ? 2 x ? 2 y 围成的图形的面积为______________
2 2

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三、

解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

17. (本小题满分 10 分)某市统计局就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画出样本

,1500 )。 的频率分布直方图,每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在 [1000
(1)求居民收入在 [3000 ,3500 ) 的频率; (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数; (3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,按收入从这 10000 人中用分层抽样方法抽 出 100 人作进一步分析,则应在月收入为 [2500 ,3000 ) 的人中抽取多少人?

18. (本小题满分 12 分)口袋中装有 4 个形状大小完全相同的小球,小球的编号分别为 1,2,3,4 ,甲、 乙、丙依次有放回地随机抽取 1 个小球,取到小球的编号分别为 a, b, c 。 (1)在一次抽取中,若有两人抽取的编号相同,则称这两人为“好朋友”,求甲、乙两人成为“好朋 友”的概率; (2)求抽取的编号能使方程 a ? b ? 2c ? 6 成立的概率。

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19. (本小题满分 12 分)某科研所对新研发的一种产品进行合理定价,该产品按事先拟定的价格试销 得统计数据。 单价 x (元) 销量 y (件)
?

8
90
?

8 .2
84

8 .4
83

8 .8
75

8 .6
80

9
68

(1)①求线性回归方程 y ? b x ? a ;②谈谈商品定价对市场的影响; (2)估计在以后的销售中,销量与单价服从回归直线,若该产品的成本为 4 .5 元/件,为使科研所 获利最大,该产品定价应为多少?

(附: b ?

?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

, a ? y ? b x, x ? 8.5, y ? 80 )

?

?

2

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(m ? 1 )y ? 7m ? 4 ? 0 。 20. (满分 12 分) 已知⊙ C:x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 20 ? 0 , 直线 l : (2m ? 1) x ?
(1)求证:直线 l 与⊙ C 恒有两个焦点; (2) 若直线 l 与⊙ C 的两个不同交点分别为 A,B , 求线段 AB 中点 P 的轨迹方程, 并求弦 AB 的 最小值。

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21. (本小题满分 12 分)已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上每一点到点 F (1,0) 的距离减去它到 y 轴 距离的差都是 1 。 (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 M (m,0)(m ? 0) 任作一条直线与曲线 C 交于 A,B 两点,点 N ( n,0) ,连接 AN , BN , 且 m ? n ? 0 ,求证: ?ANM ? ?BNM .

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22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点 M 与左、右焦点 F1 , F2 构成三 a 2 b2

角形 MF1F2 面积为 3 ,又椭圆 C 的离心率为 (1)求椭圆 C 的方程;

3 。 2

(2)直线 l 与椭圆 C 交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,且满足 x1 ? x2 ? 2 , y1 ? y 2 ? 0 ,又直线

l1 : y ? kx ? m 是线段 AB 的垂直平分线,求实数 m 的取值范围;
(3)椭圆 C 的下顶点为 N ,过点 T (t ,2)(t ? 0) 的直线 TM , TN 分别与椭圆 C 交于 E,F 两点,若

△TMN 的面积是 △TEF 的面积的 ? 倍,求 ? 的最大值。

y
T M F O E N Q

x

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参考答案
一、 选择题
6~10:C A D B B 11~12:A B

1~5:A C B C D

二、

填空题
14.

13. ?x0 ? R, x0 ? 0

1 9

15.

11 2

16. 4? ? 8

三、

解答题

,3500 ) 的频率为 0.0003 ? 500 ? 15% . 17.【解析】 (1)居民收入在 [3000
(2)中位数为 2000 ? 500 ?

4 ? 2400 , 5

平均数为 1250 ?10% ? 1750 ? 20% ? 2250 ? 25% ? 2750 ? 25% ? 3250 ?15% ? 3750 ? 5% ? 2400 ,

,2750. 其众数 2250 ,3000 ) 的人中抽取 25 人. (3)在月收入为 [2500

18.【解析】 (1)将甲、乙依次取到小球的编号记为 ( a, b) ,则基本事件有

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) ,共16 个.
记“甲、乙两人成为好朋友”为事件 M ,则 M 包含的情况有 (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) ,共 4 个人,

分别为 (1,3), (2,2), (3,1) , 当丙抽取的编号 c ? 2 时,a ? b ? 2 ,∴ ( a, b) 为 (1,1) ,当丙抽取的编号 c ? 3 或 c ? 4 时,方程 a ? b ? 2c ? 6 不成立.综上,事件 N 包含的基本事件有 4 个, ∴ P( N ) ?

4 1 ? . 64 16

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19.【解析】 (1)①依题意:

b?

?

? ( x ? x)( y
i ?1 i 6 i ?1 i

6

i

? y)
2

? ( x ? x)

? ?20, a ? y ? b x ? 80 ? 20? 8.5 ? 250,

?

?

∴回归直线的方程为 y ? ?20x ? 250. ②由于 b ? ?20 ? 0 ,则 x , y 负相关,故随定价的增加,销量不断降低. (2)设科研所所得利润为 w ,设定价为 x ,∴ w ? ( x ? 4.5)(?20x ? 250) ? ?20x 2 ? 340x ?1125, ∴当 x ?
?

340 ? 8.5 时, wmax ? 320.故当定价为 8.5 元时, w 取得最大值. 40

20.【解析】 (1)证明:∵⊙ C:x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 20 ? 0 ,即 ( x ?1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25 ,

(m ? 1 )y ? 7m ? 4 ? 0 化为 m(2 x ? y ? 7) ? ( x ? y ? 7) ? 0 恒过直线: 又∵直线 l : (2m ? 1) x ? 2 x ? y ? 7 ? 0, x ? y ? 4 ? 0 的交点 Q(3,1 ) 且点 Q 在⊙ C 内部,∴直线 l 与⊙ C 恒有两个焦点.

(1)由题意知,设点 P( x, y ) 为弦 AB 的中点, 由(1)可知 CP ? QP ? 0 ,点 P 的轨迹方程是以 CQ 为直径的圆为 ( x ? 2) ? ( y ? ) ?
2 2

3 2

5 ,由圆的几 4

) 何性质可知,当 Q(3,1 是弦 AB 的中点时, AB 最小.
弦心距 d ? CQ ? 5 ,⊙ C 的半径为 5 ,∴ AB min ? 2 5 ? ( 5 ) ? 4 5 .
2 2

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21.【解析】 (1)设 P( x, y ) 是曲线 C 上任意一点,那么点 P( x, y ) 满足: ( x ? 1) ? y ? x ? 1 ,化简
2 2

得 y 2 ? 4x . (2)设过点 M (m,0)(m ? 0) 的直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 设 l 的方程为 x ? ?y ? m ,由 ?

? x ? ?y ? m 得 y 2 ? 4?y ? 4m ? 0, ? ? 16(?2 ? m) ? 0 , 2 ? y ? 4x

于是 ?

? y1 ? y2 ? 4? ①, y y ? ? 4 m ? 1 2
y1 y 2?y1 y2 ? (m ? n)( y1 ? y2 ) ? 4? (m ? n) ? 2 ? ? ? 0, x1 ? n x2 ? n ( x1 ? n)(x2 ? n) ( x1 ? n)(x2 ? n)

∴ k AN ? k BN ?

∵ m ? n ? 0 ,∴ ?ANM ? ?BNM .

22.【解析】 (1)椭圆离心率 e ?

c a 2 ? b2 3 ,又 bc ? 3, a 2 ? b2 ? c 2 ,解得 a ? 2, b ? 1 , ? ? a a 2

∴椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)设 AB 的中点 D( x0 , y0 ) ? x1 ? x2 ? 2x0 ? 2 ? x0 ? 1, y1 ? y2 ? 2 y0 ( y0 ? 0) ,
2 2 x12 ? 4 y12 ? 4, x2 ? 4 y2 ? 4 ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ? k AB ? ?

1 1 ?? , 4 y0 k

∴ k ? 4 y0 ? l1 : y ? 4 y0 x ? m .当 x0 ? 1 时, y0 ? 4 y0 ? m ,所以 y0 ? 所以 D 点的坐标为 (1,-

m . 3

m m 1 m ) ,又 D (1,- ) 在椭圆 C 内部,所以 ? (- ) 2 ? 1 , 3 3 4 3

解得 m 的取值范围是 (?

3 3 3 3 ,0) ? (0, ). 2 2
1 MN t ? t , 2

(3)设 E( x3 , y3 ), F ( x4 , y4 ) ,因为 S△TMN ?

直线 TM 方程为: x ? t ( y ? 1) ,直线 TN : 3x ? ty ? t ? 0 ,

联立 ?

? x ? t ( y ? 1) t2 ? 4 ? 8t t 2 ? 4 2 2 2 2 ? t ? 4 y ? 2 t y ? t ? 4 ? 0 ? y ? y ? 1 ? ? E ( , ), 3 3 2 2 t2 ? 4 t2 ? 4 t2 ? 4 ?x ? 4 y ? 4

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联立 ?

?3x ? t ( y ? 1) t 2 ? 36 24t 36 - t 2 2 2 2 2 ? t ? 36 y ? 2 t y ? t 36 ? 0 ? y ? y ? 1 ? ? F ( , ), 4 4 2 2 t 2 ? 36 t 2 ? 36 36 ? t 2 ?x ? 4 y ? 4
? 24t t (t 2 ? 4) ? 2 ?t t2 ? 4 t ?4 t2 ? 9 2 t t 2 ? 12 t 2 ? 9 (t 2 ? 4)

所以 E 到直线 TN : 3x ? ty ? t ? 0 的距离 d ?

?



( t t 2 ? 36)(t 2 ? 4) t 2 ? 12 t 2 ? 9 1 , TF ? ( x4 ? t ) ? ( y4 ? 2) ? ,? S?TEF ? TF d ? 2 t 2 ? 36 2 (t ? 12)(t 2 ? 12)
2 2

S ?TMN t 2 ? 36(t 2 ? 4) 16t 2 16 4 ?? ? ? 1? 4 ? 1? ? (取等条件 2 2 2 144 S ?TEF (t ? 12) t ? 24t ? 144 t 2 ? 2 ? 24 3 t
4 , ? 的最大值为 . t 2 ? 12 ? t ? ?2 3 ) 3

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