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第八章 第八节 曲线与方程(理科)

时间:2012-04-29


一、选择题 1.(2012·济南模拟 方程 -y)2+(xy-1)2=0 的曲线是 . 济南模拟)方程 的曲线是( 济南模拟 方程(x- - A.一条直线和一条双曲线 . C.两个点 .
?x-y=0, ? - = , 2 解析: - 2 解析:(x-y) +(xy-1) =0?? - ? ? - = ?xy-1=0. ?x=1, ?x=- , =-1, ? = , ? =- ∴? 或? ? = , ? =- =-1. ?y=1, ?y=-

)

B.两条双曲线 . D.以上答案都不对 .

答案: 答案:C

uuur
轨迹是( 轨迹是 ) B.圆 . D.双曲线 .

r uuu

2.长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动, AC =2 CB ,则点 C 的 . 、 轴上移动,

A.线段 . C.椭圆 .

解析: 解析:设 C(x,y),A(a,0),B(0,b),则 a2+b2=9,① , , , , , ,

uuur

r uuu

- , = - , - , 又 AC =2 CB ,所以(x-a,y)=2(-x,b-y), = , ?a=3x, ? 即? 3 ?b=2y, ? = ,



y2 代入① 代入①式整理可得 x2+ 4 =1. 答案: 答案:C 3.如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是圆 如图所示, 如图所示 , 是圆内一定点, 周上一动点, 重合, 然后抹平纸片, 周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD, , 的轨迹是( 设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是 , A.椭圆 . C.抛物线 . 解析:由条件知 解析:由条件知|PM|=|PF|, = , ∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|>|OF| + = + = ∴P 点的轨迹是以 O、F 为焦点的椭圆. 、 为焦点的椭圆. 答案: 答案:A 4.已知 A(0,7),B(0,- ,C(12,2),以 C 为一个焦点作过 A,B 的椭圆,椭圆的另一 . ,-7), , ,- , , 的椭圆, 的轨迹方程是( 个焦点 F 的轨迹方程是 ) )

B.双曲线 . D.圆 .

x2 A.y2- =1(y≤-1) . ≤ 48 x2 B.y2- =1(y≥1) . ≥ 48 y2 C.x2- =1(x≤-1) . ≤ 48 y2 D.x2- =1(x≥1) . ≥ 48 解析: 由题意知|AC|=13, =15, =14, |AF|+|AC|=|BF|+|BC|, |AF|-|BF| |BC|= , |AB|= , 解析: 由题意知 = , 又 + = + , ∴ - 的双曲线的下支. =|BC|-|AC|=2,故点 F 的轨迹是以 A,B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的下支.又 c=7, - = , , 为焦点, = , x2 a=1,b2=48,∴点 F 的轨迹方程为 y2- =1(y≤-1). = , , ≤ . 48 答案: 答案:A 5.已知定点 A(2,0),它与抛物线 y2=x 上的动点 P 连线的中点 M 的轨迹方程为 . 的轨迹方程为( , A.y2=2(x-1) . - C.y2=x-1 . - B.y2=4(x-1) . - 1 D.y2= (x-1) . 2 -
0

)

= 2 ?x=x +2, 解析: 解析:设 P(x ,y ),M(x,y),则? , , , y = ?y= 2 .
0 0 0 2 - 所以 4y =2x-2.

?x0=2x-2, - , ? 所以? ,由于 y2=x0, 0 ? ?y0=2y.

1 即 y2=2(x-1). - . 答案: 答案:D 二、填空题 且以圆的切线为准线, 6.已知圆的方程为 x2+y2=4,若抛物线过点 A(-1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线, . , - 、 且以圆的切线为准线 则抛物线的焦点轨迹方程是____________. . 则抛物线的焦点轨迹方程是 解析: 解析:设抛物线焦点为 F,过 A、B、O 作准线的垂线 AA1、BB1、OO1,则|AA1|+|BB1| , 、 、 + =2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,∴|FA|+|FB|=4,故 F 点的轨迹 = ,由抛物线定义得 + = + , + = , 的椭圆(去掉长轴两端点 去掉长轴两端点). 是以 A、B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆 去掉长轴两端点 . 、 为焦点, x2 y2 答案: 答案: 4 + 3 =1(y≠0) ≠ x y 7.直线a+ . =1 与 x、y 轴交点的中点的轨迹方程是 、 轴交点的中点的轨迹方程是__________. . 2-a - x y 解析: 参数法 参数法)设直线 解析:(参数法 设直线a+ =1 与 x、y 轴交点为 A(a,0)、B(0,2-a),A、B 中点为 、 、 - , 、 2-a - a a M(x,y),则 x= ,y=1- ,消去 a,得 x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0,x≠1. , , , + = , ≠ , ≠ , ≠ , ≠ =2 = -2

答案: + = ≠ , ≠ 答案:x+y=1(x≠0,x≠1) 三、解答题 8.如图,已知 F(1,0),直线 l:x=- ,P 为平面上的动点,过点 如图, =-1, 为平面上的动点, 如图 , : =-

r uuu uuu r
的方程. 迹 C 的方程.

r uuu uuu r

P 作 l 的垂线,垂足为点 Q,且 QP · QF = FP · FQ .求动点 P 的轨 的垂线, , 求动点

解:法一:设点 P(x,y),则 Q(-1,y), 法一: , , - , ,

r uuu uuu r

r uuu uuu r

,-y)= - , - , 由 QP · QF = FP · FQ ,得(x+1,0)·(2,- =(x-1,y)·(-2, + ,- y),化简得 C:y2=4x. , :

r uuu uuu r r uuu uuu r r uuu r uuu r uuu

r uuu uuu r r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu

法二: 法二:由 QP · QF = FP · FQ , 得 FQ ·( PQ + PF )=0,∴( PQ - PF )·( PQ + PF )=0, = , = , ∴ PQ 2- PF 2=0.∴| PQ |=| PF |. ∴ = 是抛物线,由题意, ∴点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为 y2=4x. 9.已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=- ,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆的圆心为点 C. . =-1, 和直线 =- (1)求动点 C 的轨迹方程; 求动点 的轨迹方程;

uuu uuu r r
(2)过点 F 的直线 l2 交轨迹于两点 P、Q,交直线 l1 于点 R,求 RP · RQ 的最小值. 过点 的最小值. 、 , , 的距离, 解:(1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离, 由题设知点 为焦点, 为准线的抛物线, ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线, ∴动点 C 的轨迹方程为 x2=4y. (2)由题意知,直线 l2 的方程可设为 y=kx+1(k≠0),与抛物线方程联立消去 y,得 x2 由题意知, = + ≠ , 由题意知 , -4kx-4=0. - = 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=4k, , , , x1x2=-4. =- 2 又易得点 的坐标为(- ,-1), 又易得点 R 的坐标为 -k,- ,

uuu uuu r r 2 2 ∴ RP · RQ =(x1+k,y1+1)·(x2+k,y2+1)
2 2 =(x1+k)(x2+k)+(kx1+2)(kx2+2) + 2 4 =(1+k2)x1x2+(k+2k)(x1+x2)+k2+4 + + 2 4 =-4(1+ + =- +k2)+4k(k+2k)+k2+4 + 1 =4(k2+k2)+8. +

1 2 2 时取等号, ∵k +k2≥2,当且仅当 k =1 时取等号, ,

r uuu uuu r

r uuu uuu r

∴ RP · RQ ≥4×2+8=16,即 RP · RQ 的最小值为 16. × + = , 10.(2011·天津高考 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b)(a>b>0)为动点,F1、F2 分 . 天津高考)在平面直角坐标系 为动点 天津高考 , 为动 x2 y2 的左、右焦点.已知△ 为等腰三角形. 别为椭圆a2+b2=1 的左、右焦点.已知△F1PF2 为等腰三角形. (1)求椭圆的离心率 e; 求椭圆的离心率 ;

r uuuu uuuu r
(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, 两点, 是直线 PF2 上的点. 设直线 B M 上的点. =-2, , 两点, 满足 AM · BM =- , 的轨迹方程. 求点 M 的轨迹方程. 解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0). 设 - , . c c 由题意,可得|PF2|=|F1F2|,即 (a-c)2+b2=2c,整理得 2(a)2+a-1=0, 由题意,可得 = , - ) , = , c c 1 1 得 =-1(舍),或 = .所以 e= . a=- 舍 , a 2 所以 =2 (2)由(1)知 a=2c,b= 3c, 由 知 = , = , 可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2, - . 直线 PF2 的方程为 y= 3(x-c). =

?3x +4y =12c , A,B 两点的坐标满足方程组? 并整理 , 消去 y 并整理,得 5x2-8cx=0,解得 = , = ( - ) ?y= 3(x-c).
8 x1=0,x2= c. , 5 , ?x1=0, 得方程组的解? , ?y1=- 3c, , ?x =5c, ? 3 3 ?y = 5 c.
2 2

2

2

2

8

8 3 3 不妨设 A(5c, 5 c),B(0,- 3c). , , ,- .

uuuu r 8 3 3 的坐标为(x, , 设点 M 的坐标为 ,y),则 AM =(x-5c,y- 5 c), - , - , r uuuu BM =(x,y+ 3c). , + .
3 由 y= 3(x-c),得 c=x- 3 y. = - , = -

uuuu r 8 3 3 8 3 3 于是 AM =( 15 y-5x,5y- 5 x), - , - , r uuuu BM =(x, 3x). , . uuuu uuuu r r =-2, 由 AM · BM =- ,

8 3 3 8 3 3 =-2, 即( 15 y-5x)·x+(5y- 5 x)· 3x=- , - + - =-
2 化简得 18x -16 3xy-15=0. - =

18x2-15 3 将 y= = 代入 c=x- 3 y, = - , 16 3x 10x2+5 得 c= 16x >0.所以 x>0. = 所以 因此, - = 因此,点 M 的轨迹方程是 18x2-16 3xy-15=0(x>0). .


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