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上海大学数学分析2013考研真题

时间:2014-07-07


上海大学 2013 年硕士研究生入学考试 数学分析
一:计算题(共 7 题,75 分)
1 ?x 2 ? ? x sin 1; 设函数 f ( x) ? ? 2 x ? 0 ? x?0 x?0

,求 f ?( x) 并讨论一下 f ??(0) 的存在性。

(7 分) 2.计算: I ? ? 3.计算: ?
i ?1 n

1 1 ? e2 x

dx (7 分)

n (n ? 1)!

(复旦版 106 页原题) (7 分)

4.求 f ( x, y) ? x2 ? y 2 在 x ? y ? 1 的条件极值(10 分) 5.已知公式 F ?
km1m2 为两个物体之间吸引力大小的计算公式, 现在有 r2

一水平圆形导线 L: x2 ? y 2 ? R2 ,圆心为 O 点,半径为 R,导线的密
R 处有一质量为 1 的质点,求导 度函数为 ? ( x, y ) ? x x 2 ? y 2 ,在 A(0,0, )

线 L 对质点 A 的引力。 (15 分)
2 2 2 6.求: ?? yzdzdx ,S 为球面 x ? y ? z ? 1 的上半部分,取外侧为正方向。
S

(15 分) 7.: (1)试计算 2x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 9 在点 A(1, ?1, 2) 处的法向量 n1 。 (2)试计算 3x2 ? y2 ? z 2 ? 0 在点 A(1, ?1, 2) 处的法向量 n2 。 (3) 试计算曲线 ?
?2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 9
2 2 2 ? 3x ? y ? z ? 0

在点 A(1, ?1, 2) 处的切向量。 (14 分)

二.证明题(共五题,每题 15 分)

1.设 A,B 都是非空有界数集,定义数集 A ? B ? ? z z ? x ? y, x ? A, y ? B? , 证明: sup( A ? B) ? sup A ? sup B . 2.证明 y ? x 在 ?1, ?? ? 上不一致收敛。
2

3.已 知 f ( x) 在 区 间 ? a, b? 内 有 连 续 导 函 数 , 定 义 二 元 函 数
? f ( x) ? f ( y ) ? x? y F ( x, y ) ? ? ? f ?( x) ? x? y x? y

,证明 F ( x, y) 在区域 D ? ? a, b? ? ? a, b? 内连续。

4.二元函数 f ( x, y ) 在闭区域 D ? ?a, b???c, d ? 上连续,用有限覆盖定理证 明 f ( x, y ) 在 D 上有界。 5. f ( x, y )
1 x


1


x









f ( x, y) ? f ( y, x)







? dx? f ( x, y)dy ? ? dx? f (1 ? x,1 ? y)dy
0 0 0 0


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