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创新设计江苏专用2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习理

时间:2017-08-02

专题二 三角函数与平面向量 第 3 讲 平面向量练习 理
一、填空题 1.设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a·b=________. 解析 由|a+b|= 10得|a+b| =10, 即 a +2a·b+b =10,① 又|a-b|= 6,所以 a -2a·b+b =6,② 由①-②得 4a·b=4,则 a·b=1. 答案 1 → → → → → → 2.(2015·北京卷)在△ABC 中, 点 M, N 满足AM=2MC, BN=NC.若MN=xAB+
2 2 2 2 2

yAC,则 x=__________;y=__________.
→ → → 1→ 1→ 解析 MN=MC+CN= AC+ CB 3 2 1→ 1 → → = AC+ (AB-AC) 3 2 1→ 1→ 1 1 = AB- AC,∴x= ,y=- . 2 6 2 6 答案 1 2 1 - 6



→ 1 → → → → 3.已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若AO= (AB+AC),则AB与AC的夹角为________. 2 → 1 → → → → 解析 由AO= (AB+AC),可得 O 为 BC 的中点,故 BC 为圆 O 的直径,所以AB与AC的夹角为 2 90°. 答案 90° → → 4.已知 O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个动点,若动点 P 满足OP=OA+ → → λ (AB+AC),λ ∈(0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、 内心或外心). → → → → → → → 解析 由已知, 得OP-OA=λ (AB+AC), 即AP=λ (AB+AC), 根据平行四边形法则, 设△ABC → → → 中 BC 边的中点为 D,知AB+AC=2AD,所以点 P 的轨迹必过△ABC 的重心.故填重心. 答案 重心 3 3 5.已知 a,b 均为单位向量,(2a+b)·(a-2b)=- ,则向量 a,b 的夹角为________. 2 3 3 解析 因为 a, b 均为单位向量, 所以(2a+b)·(a-2b)=2-2-3a·b=- , 解得 a·b 2
1



3 a·b 3 π ,所以 cos〈a,b〉= = ,又〈a,b〉∈[0,π ],所以〈a,b〉= . 2 |a||b| 2 6 π 6

答案

6.(2014·江苏卷)如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5, →

CP=3PD,AP·BP=2,则AB·AD的值是________.
→ → → → 1→ 解析 由题图可得,AP=AD+DP=AD+ AB, 4



→ →

→ →

BP=BC+CP=BC+ CD=AD- AB.
→ → ?→ 1→? ?→ 3→? ∴AP·BP=?AD+ AB?·?AD- AB? 4 ? ? 4 ? ? →2 1→ → 3 →2 =AD - AD·AB- AB =2, 2 16 1→ → 3 → → 故有 2=25- AD·AB- ×64,解得AD·AB=22. 2 16 答案 22 → → 7.△ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论中 正确的是________(写出所有正确结论的编号). → → ①a 为单位向量;②b 为单位向量;③a⊥b;④b∥BC;⑤(4a+b)⊥BC. →2 2 解析 ∵AB =4|a| =4,∴|a|=1,故①正确; → → → → ∵BC=AC-AB=(2a+b)-2a=b,又△ABC 为等边三角形,∴|BC|=|b|=2,故②错误; 1→ → → 1 1 → → ∵b=AC-AB,∴a·b= AB·(AC-AB)= ×2×2×cos 60°- ×2×2=-1≠0,故③错 2 2 2 误; → ∵BC=b,故④正确; → → → → →2 →2 ∵(AB+AC)·(AC-AB)=AC -AB =4-4=0, → ∴(4a+b)⊥BC,故⑤正确. 答案 ①④⑤ 8.(2016·淮安月考)如图,在△ABC 中,C=90°,且 AC=BC=3,点 M 满 → → → → 足BM=2MA,则CM·CB=________. 解析 法一 如图,建立平面直角坐标系. 由题意知:A(3,0),B(0,3),

→ → →

→ 3→ 4

→ 3→ 4

2

→ → 设 M(x,y),由BM=2MA, 得?
?x=2(3-x), ? ?y-3=-2y, ?

解得?

?x=2, ? ?y=1, ?

即 M 点坐标为(2,1), → → 所以CM·CB=(2,1)·(0,3)=3. → → → → → →2 → ?2→? →2 2→ → → 1→2 法二 CM·CB=(CB+BM)·CB=CB +CB·? BA?=CB + CB·(CA-CB)= CB =3. 3 3 3 ? ? 答案 3 二、解答题 9.已知向量 a=?cos

? ?

3x 3x x ? ,sin ? ,b=?cos ,-sin ? 2 2? 2 ?

x?

? π? ,且 x∈?0, ?. ? 2? 2? ?

(1)求 a·b 及|a+b|; 3 (2)若 f(x)=a·b-2λ |a+b|的最小值是- ,求 λ 的值. 2 解 (1)a·b=cos 3x x 3x x cos -sin sin =cos 2x, 2 2 2 2

|a+b|=

?cos 3x+cos ? 2 ?
2

x?2 ? 3x x?2 ? +?sin -sin ?
2?

?

2

2?

= 2+2cos 2x=2 cos x,

? π? 因为 x∈?0, ?,所以 cos x≥0, 2? ?
所以|a+b|=2cos x. (2)由(1),可得 f(x)=a·b-2λ |a+b|=cos 2x-4λ cos x, 即 f(x)=2(cos x-λ ) -1-2λ .
2 2

? π? 因为 x∈?0, ?,所以 0≤cos x≤1. 2? ?
①当 λ <0 时,当且仅当 cos x=0 时,f(x)取得最小值-1,这与已知矛盾;

②当 0≤λ ≤1 时, 当且仅当 cos x=λ 时, f(x)取得最小值-1-2λ , 由已知得-1-2λ 3 1 =- ,解得 λ = ; 2 2

2

2

3 ③当 λ >1 时,当且仅当 cos x=1 时,f(x)取得最小值 1-4λ ,由已知得 1-4λ =- , 2 5 1 解得 λ = ,这与 λ >1 相矛盾.综上所述 λ = . 8 2

3

? π? 10.设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈?0, ?. 2? ?
(1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a·b,求 f(x)的最大值. 解 (1)由|a| =( 3sin x) +(sin x) =4sin x, |b| =(cos x) +(sin x) =1, 及|a|=|b|,得 4sin x=1. 1 π ? π? 又 x∈?0, ?,从而 sin x= ,所以 x= . 2 2 6 ? ? (2)f(x)=a·b= 3sin x·cos x+sin x = π? 1 3 1 1 ? sin 2x- cos 2x+ =sin?2x- ?+ , 6? 2 2 2 2 ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

π? π ? π? ? 当 x= ∈?0, ?时,sin?2x- ?取最大值 1. 2? 6? 3 ? ? 3 所以 f(x)的最大值为 . 2 11.(2016·南师附中调研)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 m=(a, 3

b)与 n=(cos A,sin B)平行.
(1)求 A; (2)若 a= 7,b=2,求△ABC 的面积. 解 (1)因为 m∥n,所以 asin B- 3bcos A=0, 由正弦定理,得 sin Asin B- 3sin Bcos A=0, 又 sin B≠0,从而 tan A= 3, π 由于 0<A<π ,所以 A= . 3 (2)法一 由余弦定理,得 a =b +c -2bccos A, π 2 而 a= 7,b=2,A= ,得 7=4+c -2c, 3 即 c -2c-3=0,因为 c>0,所以 c=3, 1 3 3 故△ABC 的面积为 S= bcsin A= . 2 2 法二 由正弦定理,得 7 2 = , π sin B sin 3
2 2 2 2

从而 sin B=

21 ,又由 a>b,知 A>B, 7

4

2 7 ? π? 所以 cos B= ,故 sin C=sin(A+B)=sin?B+ ? 3? 7 ? =sin Bcos π π 3 21 +cos Bsin = . 3 3 14

1 3 3 所以△ABC 的面积为 S= absin C= . 2 2

5


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