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1-5正弦函数的图像与性质(一)

时间:2011-05-21


正弦函数的图像与性质(第一课时 5.1 与 5.2 5.2) 正弦函数的图像与性质
年级学科:高一数学 编案人:关君 审稿人: 日期:2010-4-16

一、学习目标
经历正弦函数图像的画法的过程及方法,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准 确的画法,理解正弦函数图像的画法:描点法、几何法、五点法,体会五点法的好处。

㈡5.2 正弦函数的图象 1.用代数描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的 描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的? 1.用代数描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的? π 4π 2π 3π π 5π π x 0 π 7π
6

2π y 0 0.5 0.866 1 0.866 0.5 0 -0.5 -0.866 -1 -0.866 -0.5 0
3 2 3 6 6
3

π

2

5π 3

11π 6

二、学习重难点
教学重点:正弦函数图像 : 教学难点:利用单位圆中的正弦线通过平移描正弦函数图像的点 :

1

y

三、学习过程及方法指导 学习过程及方法指导 ㈠5.1 从单位圆看正弦函数的性质 正弦线(阅读课本 P23 内容,完成下列填空) 1、正弦线 设任意角α 的终边与单位圆交于点 P ,过点 P 做 x 轴的垂线,垂足 M ,称线段 MP 为角α 的正弦线。 点拨: 点拨:正弦线 MP 实质是以 M 为起点, P 为终点的 有向线段,当与 y 轴同向时表示正弦值为正值, 当与 y 轴反向时,表示正弦值为负值, 而用其长度表示正弦值的绝对值。 2、在单位园中画出下列各角的终边位置和正弦线 、 π π π π α = ;α = ;α = ;α = ;
6 4 3 2 2π 3π 5π α = ;α = ;α = ;α = π 3 4 6 7π 5π 4π 3π α = ;α = ;α = ;α = ; 6 4 3 2 5π 7π 11π α = ;α = ;α = ; α =2 π ; 3 4 6 观察上图中的各角的正弦线,回答下列问题:

o
P

π
2

π

3π 2



x

α
O
M

?1
A 2.思考(1): 2.思考(1):①观察右图如何用 思考(1) 几何方法在直角坐标系中 作出点 π,sinπ)? B( 3 3 ②用几何方法在直角坐标系中
π 3

y

B

π
3

1

2π 3

π

x

-1

o

1

作出点 C( 2π,sin 2π). 3 3 思考(2): 思考(2): 请借助上面作点 C 的方法,在直角坐标系中作出正弦函数y = sinx,x ∈ [ 0, 2π ] 的图象? (π,sinπ) 3 3 1

-1

o π
?1

π
3

π
2

(1)图像特征 (2)图像特征 (3)图像特征 (4)图像特征 (5)图像特征 (6)图像特征 (7)图像特征

? 定义域 ? 值域 ? 最大值 ? 最小值 ? 各个象限函数值符号 ? 周期性

6

2 5 π π 3 6

π

7π 6

4 π 3

3 π 2

5 π 3

1π 1 6



图1
终边相同角的三角函数值相等 即sin(x+2kπ)=sinx, k∈Z

y = sin x x ∈ [ 0, 2π ]
只要把

f ( x + 2kπ ) = f ( x) 利用图象平移

y = sin x x ∈ R

2 ? 在[0, π ]上单调性

y = sin x x ∈ [ 0, 2π ] 上的图像向左、向右平行移动(每次移动 2π 个单位长 度) ,就得正弦函数 y = sin x x ∈ R 的图象,把这个图像叫做正弦曲线。用此 正弦曲线 正弦曲线。

方法完成下图:

y
1 ?

?4π
7 π 2

?3π

?2π


3π ? 2 ?

π π
2







3.关于 x 轴对称: y = f ( x) ? y = ? f ( x) 说明:
x

7π ? 2

5π ? 2

π
2

3π 2

5π 2

7π 2

-1

四、自我测试 1.在 1. [ 0, 2π ] 上满足 sin x ≥ 2 的 x 的取值范围是 π 2π 2.函数 y = sin x ( 6 ≤ x≤ 3 ) 的值域为 2. 3.y=2+sinx, x ∈ [0, 2π ] 的图象与 y = 5 的图象有多少个交点? 3. 2 4. 函数 y = 5sin x ,当 x = 当x=
时, ymax = 时, ymin = 。 ;

1

归纳几何描点法 几何描点法做法:(1)等分、(2)作正弦线、(3)平移、(4)连线 几何描点法 问:几何描点法作图精确,但过程比较繁,我们在作正弦函数 y=sinx x∈[0,2π] 的图象时,描出了 12 个点,但其中起关键作用的点是哪些?分别说出它们的坐标: 图象的最高点 ,最低点 ,与 x 轴的交点 。 点, (阅读课本 24 页倒数两段) 共有 3.简图作法 简图作法: 3.简图作法:五点法 步骤(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点) 其中五点法最常 归纳小结 1.代数描点法(误差大) 用,要牢记五个 正弦曲线 2.几何描点法(精确但步骤繁) 关键点的坐标。 。 的作法 3.五点法(重点掌握) 1.用不同颜色分别作出下列函数简图(五点法作图) 例 1. (1)y=2sinx ,x [0,2π y=sinx[0,2π 解:(1)y=2sinx ,x∈[0,2π]、y=sinx-1 x∈[0,2π] 列表 x 0 2π y=sinx y=2sinx y=sinx-1 描点作图 y=-sinx, [0,2π y=1-sinx, [0,2π (2) y=-sinx, x∈[0,2π]、y=1-sinx, x∈[0,2π] 列表 x y=sinx y=-sinx y=1-sinx 问题:分析说明以上函数图像与正弦函数图像的联系? 问题 1.竖直平移: y = f ( x) ? y = f ( x) + b 说明:

。 。

5.若 f ( x ) 是奇函数,当 x >0 时, f ( x ) = x ? sin x ,则当 x <0 时,
f ( x) =


6.方程 6.

sinx =lgx 的 x 的解有多少个?

y
【知识小结】 】

o
y

x
五、知识拓展 17 函数 f ( x ) = ? sin 2 x + sin x + a ,若 1≤ f ( x ) ≤ 4 对一切 x ∈ R 都恒成立,求实数 a 的取值范围。

o

x

六、教(学)后反思

2.竖直伸缩: y = f ( x) ? y = Af ( x) 说明:


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