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第七章第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图

时间:2016-05-31


[2017 高考导航] 知识点 考纲下载 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这 些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简 易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用 斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了 解空间图形的不同表示形式. 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的 简单命题. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中 线面平行的有关性质与判定定理. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中 线面垂直的有关性质与判定定理. 1.了解空间向量的概念, 了解空间向量的基本定理及其意义, 掌 握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判 断向量的共线和垂直. 1.理解直线的方向向量及平面的法向量. 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系. 3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单 定理(包括三垂线定理). 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的 夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的应用.

空间几何体的结构及三视 图和直观图

空间几何体的表面积与体 积 空间点、直线、平面之间的 位置关系

空间中的平行关系 空间中的垂直关系

空间向量及其运算

立体几何中的向量方法

第 1 讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图

1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 结构特征 有两个面互相平行,其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边 棱 柱 都互相平行 棱 锥 有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱 台 棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫做棱台 (2)旋转体的形成 几何体 圆 柱 圆 锥 圆 台 旋转图形 矩形 直角三角形或 等腰三角形 直角梯形或 等腰梯形 旋转轴 矩形一边所在的直线 或对边中点连线所在直线 一直角边所在的直线或等腰 三角形底边上的高所在直线 直角腰所在的直线或 等腰梯形上下底中点 连线所在直线 直径所在的直线 多面体

球 半圆或圆 2.直观图 (1)画法:常用斜二测画法. (2)规则:①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′轴,y′轴的夹角为 45° (或 135°),z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中 仍平行于坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段 长度在直观图中变为原来的一半. 3.三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、 正上方观察几何体画出的轮廓线. (2)三视图的画法 ①基本要求:长对正,高平齐,宽相等. ②画法规则:正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽;看不到的线画虚线. 1.辨明三个易误点 (1)台体可以看成是由锥体截得的,但一定要强调截面与底面平行. (2)注意空间几何体的不同放置对三视图的影响. (3)几何体展开、折叠问题,要抓住前后两个图形间的联系,找出其中的量的关系. 2.由三视图还原几何体的方法

3.斜二测画法中的“三变”与“三不变” ?坐标轴的夹角改变, “三变”?与y轴平行的线段的长度变为原来的一半,

?

? ?图形改变. 平行性不改变, ? ? “三不变”?与x,z轴平行的线段的长度不改变, ? ?相对位置不改变.

(这是边文,请据需要手工删加) (这是边文,请据需要手工删加) 1.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆柱、圆锥、球的组合体 解析:选 C.当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩形和三角形,只有球满 足任意截面都是圆面. 2.(必修 2P10 习题 1.1B 组 T1 改编)如图,长方体 ABCDA′B′C′D′中被截去一部 分,其中 EH∥A′D′,则剩下的几何体是( )

A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.简单组合体 答案:C 3. (2014· 高考江西卷)一几何体的直观图如图, 下列给出的四个俯视图中正确的是(

)

解析:选 B.该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且 五面体的一个面即为长方体的一个面, 五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边 距离相等,因此选 B. 4.(必修 2P21 习题 1.2A 组 T2(4)改编)若某几何体的三视图如图所示,则该几何体为 ________.

答案:四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体 5.

在直观图(如图所示)中, 四边形 O′A′B′C′为菱形且边长为 2 cm, 则在平面直角坐标系 xOy 2 中,四边形 ABCO 为________,面积为________cm . 解析:由斜二测画法的特点,知该平面图形的直观图的原图,即在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCO 是一个长为 4 cm,宽为 2 cm 的矩形,所以四边形 ABCO 的面积为 8 cm2. 答案:矩形 8

考点一 空间几何体的结构特征[学生用书 P126] 给出下列几个命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱; ③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] ①不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②正确;③错误,棱台的 上、 下底面是相似且对应边平行的多边形, 各侧棱延长线交于一点, 但是侧棱长不一定相等. [答案] B

判定与空间几何体结构特征有关命题的方法 (1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型, 在条件不变的情况下,变换 模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定. (2)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即 可. 1.给出下列四个命题: ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱; ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥; ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体; ④若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱. 其中错误的命题的序号是________. 解析: 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析, 故 ①③都不正确,②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明,故也不正确,④平行六面体的 两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行,故④也不正确. 答案:①②③④

考点二 空间几何体的三视图(高频考点)[学生用书 P126] 空间几何体的三视图是每年高考的热点,题型为选择题或填空题,难度适中,属于中档 题. 高考对三视图的考查常有以下三个命题角度: (1)根据几何体的结构特征确认其三视图. (2)根据三视图还原直观图. (3)由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图. (1)

(2015· 高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 (2)(2016· 济宁模拟)点 M,N 分别是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱 A1B1,A1D1 的中点, 用过点 A,M,N 和点 D,N,C1 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图 1 所 示,则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图 2 中的( )

A.①②③ C.①③④

B.②③④ D.②④③

[解析] (1)

根据三视图, 可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥 VABCD, 其中 VB⊥平面 ABCD, 且底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,VB=1.所以四棱锥中最长棱为 VD.连接 BD,易知 BD = 2, 在 Rt△VBD 中, VD= VB2+BD2= 3. (2)由正视图的定义可知:点 A,B,B1 在后面的投影点分别是 D,C,C1,线段 AN 在 后面的投影面上的投影是以 D 为端点且与线段 CC1 平行且相等的线段, 即正视图为正方形, 另外线段 AM 在后面的投影线要画成实线,被遮挡的线段 DC1 要画成虚线,正视图为②; 同理可得侧视图为③,俯视图为④. [答案] (1)C (2)B

解决三视图问题的策略 (1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等” 的原则. (2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几 何体也是由这些简单的几何体组合而成的;其次,要遵循以下三步:①看视图,明关系;② 分部分,想整体;③综合起来,定整体. 2.(1)(2014· 高考福建卷)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可 能是( ) A.圆柱 C.四面体 (2)(2016· 郑州质量检测) B.圆锥 D.三棱柱

(

一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 )

解析:(1)选 A.由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角 形,而圆柱的正视图不可能为三角形,故选 A. (2)选 C.注意到在三视图中,俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等,而在选项 C 中,其 3 宽度为 ,与题中所给的侧视图的宽度 1 不相等. 2

考点三 空间几何体的直观图[学生用书 P127] 已知△ABC 是边长为 a 的正三角形,求直观图△A′B′C′的面积. [解] 如图所示的实物图和直观图.

1 3 由图可知,A′B′=AB=a,O′C′= OC= a. 2 4 在图中作 C′D′⊥A′B′交 x′轴于点 D′, 2 6 则 C′D′= O′C′= a. 2 8 1 1 6 6 所以 S△A′B′C′= A′B′·C′D′= ×a× a= a2. 2 2 8 16

平面图形直观图与原图形面积间的关系 对于几何体的直观图,除掌握斜二测画法外,记住原图形面 2 积 S 与直观图面积 S′之间的关系 S′= S,能更快捷地进行相关问题的计算. 4 3.如图,一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45°,腰和上底 长均为 1 的等腰梯形,则该平面图形的面积为________.

2+1 1 2 解析:直观图的面积 S′= ×(1+1+ 2)× = . 2 2 2 S′ 故原平面图形的面积 S= =2+ 2. 2 4 答案:2+ 2

,[学生用书 P127]) 考题溯源——由三视图还原几何体

(2014· 高考课标全国卷Ⅰ)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是 一个几何体的三视图,则这个几何体是( )

A.三棱锥 C.四棱锥 [解析] 如图,几何体为三棱柱.

B.三棱柱 D.四棱柱

[答案] B 本考题是由教材人教 A 版必修 2 P15 练习题第 4 题“如图是一个几何体 的三视图,想象它的几何结构特征,并说出它的名称.”演变而来.

已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示,则在下列图形中,可以是该 几何体的俯视图的图形有( )

A.①②③⑤ C.①②④⑤ 答案:D

B.②③④⑤ D.①②③④

1.

(2016· 青岛模拟)将长方体截去一个四棱锥后, 得到的几何体的直观图如图所示, 则该几 何体的俯视图为( )

解析:选 C.长方体的侧面与底面垂直,所以俯视图是 C. 2.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰, 以下四个命题中,假命题是( ) A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 解析:选 B.因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等,所以它的顶点在底面的射影到底 面的四个顶点的距离相等,故 A、C 正确,且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相 等,故 D 正确,B 不正确,如底面是一个等腰梯形时结论就不成立. 3. (2016· 山西省高三年级四校联考)如图是一个体积为 10 的空间几何体的三视图, 则图 中 x 的值为( )

A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选 A.根据给定的三视图可知,该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的 1 组合体,所以几何体的体积 V=3×2×1+ ×3×2×x=10,解得 x=2. 3 4.(2016· 山西省考前质量检测)

某几何体的正视图与俯视图如图所示, 若俯视图中的多边形为正六边形, 则该几何体的 侧视图的面积为( ) 15 A. B.6+ 3 2 3 C. +3 3 D.4 3 2 解析:选 A.侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成,矩形的长为 3,宽为 2,面积为 1 3 3×2=6.等腰三角形的底边为 3,高为 3,其面积为 × 3× 3= ,所以侧视图的面积为 2 2 3 15 6+ = . 2 2 5.有一个长为 5 cm,宽为 4 cm 的矩形,则其直观图的面积为________. 2 解析: 由于该矩形的面积 S=5×4=20(cm2), 所以其直观图的面积 S′= S=5 2(cm2). 4 答案:5 2 cm2 6.如图所示的 Rt△ABC 绕着它的斜边 AB 旋转一周得到的图形是________.

解析:

过 Rt△ABC 的顶点 C 作线段 CD⊥AB,垂足为 D,所以 Rt△ABC 绕着它的斜边 AB 旋 转一周后应得到是以 CD 作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体. 答案:两个圆锥的组合体 7.已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的各侧面图形中,是直角三角形 的有________个.

解析:由三视图知该几何体是一个四棱锥,它的一个侧面与底面垂直,且此侧面的顶点 在底面上的射影为对应底边的中点,易知其有两个侧面是直角三角形. 答案:2 8.

已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所示,那么此三棱柱正(主)视 图的面积为________. 解析:由正三棱柱的特征及侧(左)视图可得正(主)视图是一个矩形,其中一边的长是侧 (左)视图中三角形的高,另一边是棱长.因为侧(左)视图中三角形的边长为 2,所以高为 3, 所以正视图的面积为 2 3. 答案:2 3 9.

如图,在四棱锥 PABCD 中,底面为正方形,PC 与底面 ABCD 垂直,图为该四棱锥的 正视图和侧视图,它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形.

(1)根据所给的正视图、侧视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积; (2)求 PA. 解:(1)

该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为 6 cm 的正方形,如图,其面积为 36 cm2.

(2)由侧视图可求得 PD= PC2+CD2= 62+62=6 2 cm. 由正视图可知 AD=6 cm,且 AD⊥PD, 所以在 Rt△APD 中, PA= PD2+AD2= (6 2)2+62=6 3 (cm). 10.某几何体的三视图如图所示.

(1)判断该几何体是什么几何体? (2)画出该几何体的直观图. 1 解:(1)该几何体是一个正方体切掉两个 圆柱后得到的几何体. 4 (2)直观图如图所示.


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