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一赛题的另解及推广

时间:2015-06-21


中 学 生数 学 ? 2 0 1 3 年 2月 上 ? 第4 5 9期 ( 高中)  



数  学 

赛题的另解及推广  
北京 市第 1 1 9中学 ( 1 0 0 0 2 2 )   杨连 旺 

寸 学  

北 京市朝 阳区教研 中心 ( 1 0 0 0 2 8 )   王 灰 英 

竞   赛 


( 2 0 1 1年 北 京 市 中 学 生数 学竞 赛 初 赛 ( 高 
) 第 5题 ) 设 P 为 正 方 形 ABC D 内一 点 , P A   1 , PB = 2 , P C一 3 , 则 AP BC 的 面 积 为 
) .  

s △ P B c 一寺PB ? BC s i n  P B C  
厶 

_- , ,  
?   一

1  
一  

+3   z  + 3  

毒  

。 z‘ 百
9一 ’ _    

一T

 

(  



2   ( A ) 2 +  ̄ 2


( B) 2



2  

2‘  

选( A) .  

( C) 2 +√ 2  


( D) 2 一√ 2  


说 明  ( 1 x / 5 —2 √ 2 恰 是 点 P 为 正方 形 外 
点时, 正方 形 的边 长 , 由此 看来 , 这 种 解 法 的 



竞 赛题 的另解 

本题用 纯 几 何 解 法 , 综合 性强 , 技 巧 性 也 
高. 本 题 如 果 采 用 三 角 知 识 可 轻 松 地 获 得 解  决. 下 面就 给 出这 种 比较简捷 易想 的办 法.   解  如 图 1 , 设 正 方 形 
ABC D 的 边 长 为 X,设   AB P— a , 则  PB C一 9 0 。  


优 点是 一次 计 算 可 完 成 点 P 在 正 方 形 内部 或  外 部 两种情 况 的计 算.  
( 2) 此 法 中 利 用 了 s i n   PB C —  

c o s  AB P, 而C O S   AB P 已经算 出 , 使 求 三 角  形 面积 的计算 过程 非常 简捷.  
( 3 ) 在高 中学完 三 角 形 的正 弦 定 理 和余 弦 

a.  

定 理后 , 解决 几何 问题 的思路更 加广 阔.   在△AB P中, 应 用 余 弦  ( 4 ) 这种方法 还可以推广到正方体 中, 下 
图1  

定 理 1  一 
2 xc os  ,  

+ 2  一 2 ?  

面是推 广 的问题.  
二、 竞 赛 题 的 推 广 

化简, 得 4 x c o s a —z   +3   在 AB PC中 , 有 
3   一z   +2  一 2?2 xc o s ( 9 0 。 一口 ) ,  

① 


已知点 P为正 方体 ABC D~A   B   C   D  内 

点, 且 P A1 —1 , P A一√ 2 , PB=PD=, i. f  
求 正方体 A_ B C D—A   B   C   D 的棱长.  
解  如 图 2 ,设 

化简, 得 4 x s i n a —L z   一5   ①、 ②两 式平方 相加 , 得 
1 6 x   :(  。 4 - 3 )  + ( z。 一5 )  ,  

② 

D 

PAA 1一 d,   PAB 一  ,   BI  

P AD一) , , 正方 体 AB C D  


整理, 得  ~ l O x 。 +1 7 —0 .  

A   B   C 1 D  的棱长 为 z .  
在 △P AA  中, 由 余  B   图2   z - 。 +( √ 2 ) 。 一1   +1  

D 

解得z = √5 +2   或z = √ 5 —2  .   当z = √ 5 —2   时, A C : √ 1 0 -4   <3 与 
点 P 在 正 方 形 AB C D 内矛 盾, 所 以 正 方 形 

弦 定 理 得 

2 , / 2 x  

2 , , / 2 x  

AB C D 的边长 为 z=√5 +2 √ 2 .  

同理 , 在 △P AB和A P AD 中 ,  
。  一   :   ,  

◇  卷 

此时 s i n  P BC =s i n ( 9 0 。 一d ) 一C O S a ,  
而 c o s  一  ,  

2 √ 2 3 2  

2 √ 2 z  
( 下转 第 3 3页 )  

N ] t l k : z x s s . c b p t . c n k i . n e t

?

3 0 ?@ -  ̄: z x s s @ c h i n a j o u r n a L   n e t . c n  

中 学 生 数 学 ?2 0 1 3 年 2月 上 ? 第4 5 9期 ( 高中)  

像 分别 相交 于 A 和 B, 则 点 A 与 B 关 于直 线 Y  
—  

为a =O , 方程 z +厂  ( z ) 一m 的解 为 p 一1时 ,  

对称 , 点 A 的横 坐标 为 a, 点 B的纵 坐标 为 

则口 +  :1 ≠2 .  
推 广 2 若 函数 Y 一厂 (  ) 存 在反 函数  —  f  ( z ) , 且方 程 z? ,(  ) 一m 有唯 一 的 实数 解 


号 一 J 8 , 所 以 a 一 号 一 8 , 即   + J 8 一 号 .  
所以(   一1 ) +( z   一1 ) 一普 ,   则z   +  一÷ , 故选( c ) .  
我们 可以把上述 两个例子推 广到一般情 况.   推 广 1 若 函数  = : = 厂( z ) 存 在 反 函数  — 
f  ( z ) , 且方 程 z +厂(  ) =   有 唯一 的实数 解 

高  

方 程 z? f  ( z )  ̄ - - - m 有 唯一 的实 数解 , 则a  
一 m .  

鸯  
围 
饱 

?  

证 明  因为 a满 足 z? 厂 ( z ) 一m,  
所 以 d?厂 ( 口 ) =  .  

又 因为 J 9 是方 程 X ?f  ( z ) 一仇 的解 , 所  以   ? f 一   ( 卢 ) 一m. 令 f 一   ( 卢 ) 一“ , 贝 0   一厂( “ ) ,   代入 卢? f  ( 卢 ) = = = m, 得 税? 厂 (   ) 一m.  

a, 方程 z +,  ( z ) 一m 有 唯一 的实 数 解  , 则a  
+ —  .  

由于方程 . 7 2 ?  ( z) 一  有 唯 一 的 实 数 解 
口 ,

证明  因为 a满 足 z+厂 ( z ) 一m,  
所以 a +厂 (   ) 一m.   又 因 为 口是 方 程 z+  (  ) 一  的 解 , 所 

所以 a 一 .  

因 此 d? I 9 =  ? 厂 (   ) 一 m.  

推广 3 若 函数  一,( z ) 存 在 反 函数  —   f  ( z ) , 且方 程 z 一- 厂 ( z ) 一W t 有 唯一 的 实数 解 
a ,

以卢 +厂 一   ( 卢 ) 一m. 令 f  ( J 8 ) 一  , 贝 0  一厂 (  ) ,   代入 +- 厂  ( 卢 ) 一  , 得 +- 厂 ( “ ) 一 .  

方程 z +, 1( 一z ) 一m 有 唯 一 的实 数 解 卢,  

由于方程 z + 厂( z ) 一m 有 唯 一 的 实 数 解 
a, 所 以a 一 .   因此 a +口 一“ +- 厂 (  ) = : : m.  

则 a +  一m.   证 明  因为 a满 足 z一- 厂 ( z ) 一  ,  
所以 d 一厂 (   ) = m.  

值得 一提 的是 : 在 推论 1中 , 如 果 方 程  + 

又 因为  是 方程 z+f  ( 一 ) 一m 的解 ,   所以 J 8 +厂  ( 一卢 ) 一m. 令 f  ( 一p ) =M ,  

厂 ( z ) 一   有 多个实数解 , 上述结论 不一定成立 .  
如: 厂 ( z ) 一l 一( z 一1 ) 。 , m一2 , 则 f  ( z )  


则p 一一厂 ( “ ) , 代 入  +f  ( 一卢 ) 一 m, 得u 一 
厂( “ ) 一 m.  

1 - 5 5 / I -x 。 .  
方程 z+厂(  ) 一m 有 三 个 实数 解 a 一0 , a  

由于方 程 z一厂( z ) 一m 有 唯 一 的 实 数 解 
d ,

一1 , 口 一2 ; 方程 z +f  ( z ) 一m 也 有 三 个 实 数 

所 以  一 “ .  

解8 =2 , 口 一1 , p =o . 若 方 程 z+厂(  ) 一  的解 

因此 a +J 9 : 一 厂 ( M ) 一  。  

( 责审   曹讨 生)  

( 上接 第 3 0页 )  
z   +(   )  一 (   )  
∞   — —   一

棱 长 为  的正 方 体 的外 接球 的直 径 为 1 ,  
z   一1  
一   ‘  

寸 

与 已知矛 盾.   所以, 正 方 体 AB C D—A   B   C   D 的棱 长  为√ 3 .  

因为 C O S   a +C O S 。   +C O S   y 一1 ,  

所P l (








z√zz

1 ) 。 + 、 ( x 2 2 √ - 2 z 1 , ]   + 、 ( x 2 2 √ - 2   I ] ,   一 1 .  
3 x   ~l O x。 +3 —0,  

整理 , 得

其实 ,   是点 P在正方体外部 时, 正 方 体 
AB C D - A   B   C   Dl 的棱 长.  

( z   一3 ) ( 3 x   一1 ) 一0 ,  

取 正根

z 一  或  z 一   .  

( 责审   营讨 生)  

◇ 

穆 

N l t l k : z x s s . c b p t . c n k i . n e t

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一道克罗地亚国家数学竞赛题的另证与推广 - 以上解答由《中学数学》2010年增刊(2)第181页给出,解答比较简洁但不方便推广,本文给出本试题的另解并推广之.