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第40讲 圆锥曲线综合问题【理科】

时间:2012-08-24

数学第一轮复习讲义

《圆锥曲线方程》

第四十讲
复习目标:

圆锥曲线综合问题

1、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定; 2、掌握弦长与距离的求法。

一、基础知识回顾:
1、直线与圆锥曲线的位置的判定 由直线与圆锥曲线(含圆)的方程联立后,消去一个未知数(如 y ) ,得到一个关于另一个 未知数(如 x )的一元二次方程,则可根据判别式 ? 来讨论交点的个数: 位置关系 相交 相切 相离 思考: (1)平行于抛物线轴的直线与抛物线交点的个数为多少? (2)平行于双曲线渐近线的直线与双曲线交点的个数为多少? 2 、 斜 率 为 k 的 直 线 与 圆 锥 曲 线 交 于 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 两 点 , 则 弦 长
| A B | =__________________。

判别式的符号

直线与圆锥曲线交点的个数

3、如果在设直线方程时设计斜率,要注意分_________________、_______________两种情 况进行讨论;为了避免讨论,过焦点 F ( c , 0 ) 的直线,可设为________________。 4、圆锥曲线过焦点的弦成为焦点弦,求焦点弦的长度时,除用弦长公式外,还可用 ___________________________求弦长。

二、基础知识自测
1、直线与抛物线有一公共点是直线与抛物线相切的( A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 2、 已知双曲线 x ?
2



y

2

?1, 过点 P (2,1) 作一直线交双曲线与 A , B 两点, 并使 P 为 A B 中点,

3

则直线 A B 的斜率为( A、3 B、4 3、以椭圆
x
2

) C、5 D、6
x
2

?

y

2

? 1 的右焦点为圆心,且与双曲线
-1-

?

y

2

? 1 的渐近线相切的远的方程

169

144

9

16

数学第一轮复习讲义

《圆锥曲线方程》

为(
2


2

A、 x ? y ? 1 0 x ? 9 ? 0 C、 x ? y ? 10 x ? 9 ? 0
2 2 2 2

B、 x ? y ? 1 0 x ? 9 ? 0
2 2

D、 x ? y ? 10 x ? 9 ? 0
2 2

4、已知椭圆 x ? 2 y ? 4 ,则以 (1,1) 为中点的弦的长度为(
30 3


3 2

A、 3 2

B、 2 2 3

C、

D、

6

5、直线 l : y ? k ( x ? 是( A、 [0, ? ) C、 [0,
?
2 )?(

2 ) 与曲线 x ? y ? 1( x ? 0 ) 相交于 A , B 两点,则直线 l 的倾斜角范围
2 2

) B、 (
?
2 ,? )

? ?
, 2 2 3? 4

)?( )

? 3?
, 2 2

)

D、 (

?
4

,

6、 直线 y ? kx ? 1( k ? R ) 与焦点在 x 轴上的椭圆 ________________。

x

2

?

y t

2

? 1 恒有公共点,则 t 的取值范围是

5

三、典例剖析
题型一、直线与圆锥曲线的位置关系 例 1、直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C : 2 x ? y ? 1 的右支交于不同的两点 A , B 。
2 2

(Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使得以线段 A B 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F ?若存在,求 出 k 的值;若不存在,说明理由。

-2-

数学第一轮复习讲义

《圆锥曲线方程》

跟踪练习: 抛物线 y ? a x ? 1 与直线 y ? x 相切,则 a ? (
2

) D、 1

A、

1 8

B、

1 4

C、

1 2

题型二、中点弦及弦长问题 例 2、已知双曲线 2 x ? y ? 2 ,直线 l 与双曲线交于 A , B 两点, A B 的中点为 M (2,1) ,求
2 2

l 的方程及 | A B | 。

变式训练: 上例中,过 B (1,1) 能否作直线 l ,使 l 与双曲线交于 Q 1 , Q 2 两点,且点 B 是 Q1Q 2 的中点?若
l 存在,求出它的方程;若不存在,说明理由。
' ' '

-3-

数学第一轮复习讲义

《圆锥曲线方程》

题型三:圆锥曲线中的范围问题 例 3、已知椭圆 率为 e 。 (Ⅰ)
a
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于两点 A , B ,椭圆的 离心

? 3, e ?

3 3

时,求 A B 的长度及 A B 中点的坐标;
??? ??? ? ?

c

(Ⅱ)当

3 3

?e?

2 2

,并且 O A ? O B ? 0 ( O 为坐标原点)时,求椭圆长轴长的取值范围。

跟踪练习: 设 a ? 0 , f ( x ) ? a x ? b x ? c ,曲线 y ? f ( x ) 在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 出切线的倾斜角的取值范
2

围为 [0,

?

] ,则 P 到曲线 y ? f ( x ) 对称轴距离的取值范围是(


b ?1 2a |]

4 1 A、 [0 , ] a

B、 [0,

1 2a

]

C、 [0 , |

b a

|]

D、 [0, |

-4-

数学第一轮复习讲义

《圆锥曲线方程》

第四十讲
一、选择题: 1.过双曲线
x a
2 2

《圆锥曲线综合问题》课后定时达标
审核人:董茂庆 使用时间:2011.1

命题人:董茂庆

?

y b

2 2

? 1? a ? 0 , b ? 0 ? 的右顶点 A 作斜率为 ? 1 的直线,该直线与双曲线的两
1 2

条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? A
x a

BC ,则双曲线的离心率是(

)

2
2 2

B
? y b
2 2

3

C

5

D 10
? 1 只有一个公共点, 则

2.设双曲线

? 1? a ? 0 , b ? 0 ? 的一条渐近线与抛物线 y ? x

2

双曲线的离心率为( ) A
5 4

B

5

C

5 2

D

5

3.斜率为 2 的直线 l 过双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? 0 , b ? 0 ? 的右焦点,且与双曲线的左,右两支

分别相交,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( ) A
e? 2

B 1? e ?

3
2 2

C 1? e ?

5

D e?

5

4.若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是( )
? ?? ? ? 15 3
2

A



15 ? ? 3 ? ?

B ? 0,
? ?

?

15 ? ? 3 ? ?

C

? ?? ? ?

? ,? 0 ? 3 ? 15

D ??
? ?

?

? , 1? ? ? 3 ? 15

5.设抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为 F , 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A , B 两点, ? AOB 的最 则 小面积是( ) A
2

B 2

C 4

D 1

二、填空题 6.过抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A , B 两点,若线段
2

0

AB 的长为 8,则 p =

-5-

数学第一轮复习讲义

《圆锥曲线方程》

7.过双曲线 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? 0 , b ? 0 ? 的一个焦点作圆 x ? y
2

2

? a 的两条切线,切点分
2

别为 A , B ;若 ? AOB ? 120 ( O 是坐标原点) ,则双曲线 C 的离心率为
0
2 8.设坐标原点为 O ,抛物线 y ? 2 x 与过焦点的直线交于 A , B 两点,则 OA ? OB 等于

三、简答题: 9.(2010 天津)已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的离心率 e=

3 2

,连接椭圆的四个顶点得到

的菱形的面积为 4. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B,已知点 A 的坐标为(-a,0). (i)若| A B| =
4 2 5

,求直线 l 的倾斜角;
???? ??? ?

( (ii)若点 Q 0 , y 0) 在线段 AB 的垂直平分线上,且 Q A ? Q B = 4 .求 y 0 的值.

-6-

数学第一轮复习讲义

《圆锥曲线方程》

10. 2010 山东) ( 如图, 已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a> b> 0 ) 的

离心率为

2 2

, 以该椭圆上的点和椭圆的左、 右焦点 F1 , F 2

为顶点的三角形的周长为 4 ( 2 ? 1) .一等轴双曲线的顶点 是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点, 直线 P F1 和 P F2 与椭圆的交点分别为 A、 B 和 C 、 D . (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
k (Ⅱ)设直线 P F1 、 P F2 的斜率分别为 k 1 、 k 2 ,证明 k 1 · 2 ? 1 ;

C (Ⅲ)是否存在常数 ? ,使得 A B ? C D ? ? A B · D 恒成立?若 存在,求 ? 的值;若不

存在,请说明理由.

-7-

数学第一轮复习讲义

《圆锥曲线方程》

第四十讲
命题人:董茂庆
2 2

《圆锥曲线综合问题》当堂检测
审核人:董茂庆
2 2 2 2 2

使用时间:2011.1 )

1、在同一坐标系中方程 a x ? b y ? 1 与 a x ? b y ? 1 ( a ? b ? 0) 的曲线大致是(

2、点 P 到点 A (1, 0) 和直线 x ? ? 1 的距离相等,且点 P 到直线 l : y ? x 的距离等于 样的点 P 一共有( ) A、1 个 B、2 个
2 2

2 2

,这

C、3 个

D、4 个
?

3、过双曲线 x ? y ? 4 的右焦点 F 作倾斜角为 1 0 5 的直线,交双曲线于 P , Q 两点,则
| F P | ? | F Q | 的值为________________.
2 2 2 2

4、若直线 y ? kx ? 2 ( k ? R ) 与焦点在 x 轴上的椭圆 围是____________。

x 9

?

y t

? 1 恒有公共点,则 t 的取值范

5、过点 P (8,1) 的直线与双曲线 x ? 4 y ? 4 相交于 A , B 两点,且 P 是线段 A B 的中点,求
2 2

直线 A B 的方程。

-8-


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