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直线与方程知识点及典型例题

时间:2018-06-27


第三章 直线与方程知识点及典型例题
1. 直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° 2. 直线的斜率 ① 定义:倾斜角不是 90° 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用 k 表示。即 k=tan?。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0° , k = tan0° =0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当 ? ? 0? ,90? 时, k ? 0 ;

?

?

? 当 ? ? 90? ,180? 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90 时, k 不存在。

?

?

例.如右图,直线 l1 的倾斜角?=30°,直线 l1⊥l2,求直线 l1 和 l2 的斜率. 解:k1=tan30°= ∴k2 =— 3 例:直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 的倾斜角是( A.120° B.150° ) C.60° D.30°

y l1 ?2 o l2

3 ∵l1⊥l2 ∴ k1·k2 =—1 3
?1

x

② 过两点 P1 (x1,y1)、P1(x1,y1) 的直线的斜率公式: k ? 注意下面四点:

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90° ; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例.设直线 l1 经过点 A(m,1)、B(—3,4),直线 l2 经过点 C(1,m)、D(—1,m+1), 当(1) l1/ / l2 (2)

l1⊥l1 时分别求出 m 的值

※三点共线的条件:如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等,那么这三点共线。 3. 直线方程 ① 点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0° 时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90° 时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是

x=x1。
② 斜截式:y=kx+b,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b

③ 两点式:

y ? y1 x ? x1 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 P1 (x1,y1)、P1(x1,y1) ? y2 ? y1 x2 ? x1

④ 截矩式:

x y ? ? 1 其中直线 l 与 x 轴交于点(a,0),与 y 轴交于点(0,b),即 l 与 x 轴、y 轴的 a b

截距分别为 a、b。 注意:一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 ①两个截距都不为 0 但不可能一个为 0,另一个不为 0. 其方程可设为: ⑤ 一般式:Ax+By+C=0(A,B 不全为 0) 注意:(1)在平时解题或高考解题时,所求出的直线方程,一般要求写成斜截式或一般式。 ???各式的适用范围 (3)特殊式的方程如: 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数); ②或都为 0 ;

x y ? ? 1 或 y=kx. a b

平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数);

例题:根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式: 1 (1)斜率是 ? ,经过点 A(8,—2); 2 (2)经过点 B(4,2),平行于 x 轴; 3 (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 , ?3 ; 2 (4)经过两点 P1(3,—2)、P2(5,—4); 例 1:直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,若直线经过原点且位于第二、四象限,则( A.C=0,B>0 B.C=0,B>0,A>0 C.C=0,AB<0 4. 两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

. . . . ) D.C=0,AB>0

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 5. 已知两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, (A1 与 B1 及 A2 与 B2 都不同时为零) 若两直线相交,则它们的交点坐标是方程组 ? 若方程组无解 ? l1 // l 2 ; 6. 点的坐标与直线方程的关系 几何元素 点P 直线 l 点 P(xo,yo)在直线 l 上 代数表示 坐标 P(xo,yo) 方程 Ax+By+C=0 坐标 ( x0 , y0 ) 满足方程:Ax+By+C=0 坐标(xo,yo)满足方程组 ?

?A 1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 的一组解。 ?A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

若方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

点 P(xo,yo)是 l1、l2 的交点

?A 1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 ?A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

7. 两条直线的位置关系的判定公式 A1B2—A2B1≠0 方程组有唯一解 两直线相交

?A 1 B 2 ? A 2 B 1 ? 0 ? ?B 1 C 2 ? B 2 C 1 ? 0 ,
或 A1C2—A2C1 ≠ 0

无解

两直线平行

?A 1 B 2 ? A 2 B 1 ? 0 ? ?B 1C 2 ? B 2 C1 ? 0
或 A1C2—A2C1 = 0

有无数个解

两直线重合

两条直线垂直的判定条件:当 A1、B1、A2、B2 满足 答:A1A2+B1B2=0 经典例题;

时 l1⊥l2。

例 1.已知两直线 l1: x+(1+m) y =2—m 和 l2:2mx+4y+16=0,m 为何值时 l1 与 l2①相交②平行 解:

例 2. 已知两直线 l1:(3a+2) x+(1—4a) y +8=0 和 l2:(5a—2)x+(a+4)y—7=0 垂直,求 a 值 解:

例 3.求两条垂直直线 l1:2x+ y +2=0 和 l2: mx+4y—2=0 的交点坐标 解: 例 4. 已知直线 l 的方程为 y ? ?

1 x ?1, 2

(1)求过点(2,3)且垂直于 l 的直线方程;(2)求过点(2,3)且平行于 l 的直线方程。

8. 两点间距离公式:设 A(x1,y1)、B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点,
2 2 则|AB|= ( x 2 ? x 1 ) ? ( y 2 ? y1 )

9. 点到直线距离公式:一点 P(xo,yo)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d ? 10. 两平行直线距离公式

| Ax o ? Byo ? C | A2 ? B2

例:已知两条平行线直线 l1 和 l2 的一般式方程为 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0, 则 l1 与 l2 的距离为 d ?

C1 ? C 2 A2 ? B2

例 1:求平行线 l1:3x+ 4y —12=0 与 l2: ax+8y+11=0 之间的距离。

例 2:已知平行线 l1:3x+2y —6=0 与 l2: 6x+4y—3=0,求与它们距离相等的平行线方程。 12. 中点坐标公式:已知两点 P1 (x1,y1)、P1(x1,y1),则线段的中点 M 坐标为(

x1 ? x 2 y ? y2 , 1 ) 2 2

例. 已知点 A(7,—4)、B(—5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程。 13. 对称点与对称直线的求法 例 1:已知直线 l:2x—3y+1=0 和点 P(—1,—2). (1) 分别求:点 P(—1,—2)关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称点 Q 坐标 (2) 分别求:直线 l:2x—3y+1=0 关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称的直线方程. (3) 求直线 l 关于点 P(—1,—2)对称的直线方程。 (4) 求 P(—1,—2)关于直线 l 轴对称的直线方程。

例 2:点 P(—1,—2)关于直线 l: x+y—2=0 的对称点的坐标为



例 3:已知圆 C1:(x+1)2+(y—1)2=1 与圆 C2 关于直线 x—y—1=0 对称,则圆 C2 的方程为: A. (x+2)2+(y—2)2=1 B. (x—2)2+(y+2)2=1 C. (x+2)2+(y+2)2=1 D. (x—2)2+(y—2)2=1




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