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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系 理

时间:2016-05-28

【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第九章 平面解析 几何 9.2 两条直线的位置关系 理

1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行: (ⅰ)对于两条不重合的直线 l1、l2,若其斜率分别为 k1、k2,则有 l1∥l2?k1=k2 (k1,k2 均存 在). (ⅱ)当直线 l1、l2 不重合且斜率都不存在时,l1∥l2. ②两条直线垂直: (ⅰ)如果两条直线 l1、l2 的斜率存在,设为 k1、k2,则有 l1⊥l2?k1?k2=-1 (k1,k2 均存在). (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为 0 时,l1⊥l2. (2)两条直线的交点 直线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 , l2 : A2x + B2y + C2 = 0 ,则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组
? ?A1x+B1y+C1=0, ? ?A2x+B2y+C2=0 ?

的解.

2.几种距离 (1)两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 P1P2= ?x2-x1? +?y2-y1? . (2)点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离
2 2

d=

|Ax0+By0+C| . A2+B2

|C1-C2| (3)两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0(其中 C1≠C2)间的距离 d= 2 . A +B2 【知识拓展】 1.一般地,与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程可设为 Ax+By+m=0;与之垂直的直线方 程可设为 Bx-Ay+n=0. 2.过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+ λ (A2x+B2y+C2)=0 (λ ∈R),但不包括 l2.

1

3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件: (1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式. (2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且 x,y 的系数对应相等. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时,一定有 k1=k2? l1∥l2.( ? ) (2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( ? ) (3)已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1、B1、C1、A2、B2、C2 为常数),若 直线 l1⊥l2,则 A1A2+B1B2=0.( √ ) |kx0+b| (4)点 P(x0,y0)到直线 y=kx+b 的距离为 .( ? ) 2 1+k (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ ) 1 (6)若点 A,B 关于直线 l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线 AB 的斜率等于- ,且线段 AB 的中

k

点在直线 l 上.( √ )

1.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的 ________条件. 答案 充分不必要 解析 (1)充分性:当 a=1 时, 直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 平行; (2)必要性:当直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行时有 a=-2 或 1. 所以“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的充分不必 要条件. 2.(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a=________. 答案 2-1

|a-2+3| 解析 依题意得 =1. 1+1 解得 a=-1+ 2或 a=-1- 2. ∵a>0,∴a=-1+ 2. 3.已知直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8 平行,则实数 m 的值为________. 答案 -7

2

3+m 5-3m 解析 l1 的斜率为- ,在 y 轴上的截距为 , 4 4

l2 的斜率为-

2 8 ,在 y 轴上的截距为 . 5+m 5+m

3+m 2 2 又∵l1∥l2,由- =- 得,m +8m+7=0, 4 5+m 得 m=-1 或-7.

m=-1 时, m=-7 时,

5-3m 8 = =2,l1 与 l2 重合,故不符合题意; 4 5+m 5-3m 13 8 = ≠ =-4,符合题意. 4 2 5+m
2 2

4.(2014?福建改编)已知直线 l 过圆 x +(y-3) =4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直, 则 l 的方程是____________. 答案 x-y+3=0 解析 圆 x +(y-3) =4 的圆心为点(0,3), 又因为直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直, 所以直线 l 的斜率 k=1. 由点斜式得直线 l:y-3=x-0,化简得 x-y+3=0. 5.(教材改编)若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0 与(5a-2)x+(a+4)y-7=0 垂直,则 a= ________. 答案 0 或 1 解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得 a=0 或 a=
2 2

1. 题型一 两条直线的平行与垂直 例 1 (1)已知两条直线 l1:(a-1)?x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0 平行,则 a=________. (2)已知两直线方程分别为 l1:x+y=1,l2:ax+2y=0,若 l1⊥l2,则 a=________. 答案 (1)-1 或 2 (2)-2 解析 (1)若 a=0,两直线方程为-x+2y+1=0 和 x=-3,此时两直线相交,不平行,所 以 a≠0.当 a≠0 时,若两直线平行,则有 (2)方法一 ∵l1⊥l2, ∴k1k2=-1, 即 =-1, 2
3

a-1 2 1 = ≠ ,解得 a=-1 或 a=2. 1 a 3

a

解得 a=-2. 方法二 ∵l1⊥l2, ∴a+2=0,a=-2. 思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时, 不仅要考虑到斜率存在的一般情况, 也要考虑 到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意 x、y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断 两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 已知两直线 l1:x+ysin α -1=0 和 l2:2x?sin α +y+1=0,求 α 的值, 使得: (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2. 解 (1)方法一 当 sin α =0 时,直线 l1 的斜率不存在,l2 的斜率为 0,显然 l1 不平行于

l2.
当 sin α ≠0 时,k1=- 1 ,k2=-2sin α . sin α

1 2 要使 l1∥l2,需- =-2sin α ,即 sin α =± . sin α 2 π 所以 α =kπ ± ,k∈Z,此时两直线的斜率相等. 4 π 故当 α =kπ ± ,k∈Z 时,l1∥l2. 4 方法二 由 A1B2-A2B1=0,得 2sin α -1=0, 所以 sin α =± 2 π .所以 α =kπ ± ,k∈Z. 2 4
2

又 B1C2-B2C1≠0,所以 1+sin α ≠0,即 sin α ≠-1. π 故当 α =kπ ± ,k∈Z 时,l1∥l2. 4 (2)因为 A1A2+B1B2=0 是 l1⊥l2 的充要条件, 所以 2sin α +sin α =0,即 sin α =0,所以 α =kπ ,k∈Z. 故当 α =kπ ,k∈Z 时,l1⊥l2. 题型二 两条直线的交点与距离问题 1 例 2 (1)已知直线 y=kx+2k+1 与直线 y=- x+2 的交点位于第一象限, 则实数 k 的取值 2 范围是________. (2)直线 l 过点 P(- 1,2) 且到点 A(2,3)和点 B(- 4,5)的距离相等,则直线 l 的方程为 ________________________________________________________________________.

4

? 1 1? 答案 (1)?- , ? ? 6 2?

(2)x+3y-5=0 或 x=-1

y=kx+2k+1, ? ? 解析 (1)方法一 由方程组? 1 y=- x+2, ? 2 ?
2-4k ? ?x=2k+1, 解得? 6k+1 ?y=2k+1. ? 1 (若 2k+1=0,即 k=- ,则两直线平行) 2 ∴交点坐标为?

?2-4k,6k+1?. ? ?2k+1 2k+1?

又∵交点位于第一象限, 2-4k ? ?2k+1>0, ∴? 6k+1 ? ?2k+1>0, 1 1 解得- <k< . 6 2 方法二

如图,已知直线

y=- x+2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(4,0),B(0,2).
而直线方程 y=kx+2k+1 可变形为 y-1=k(x+2), 表示这是一条过定点 P(-2,1), 斜率为

1 2

k 的动直线.
∵两直线的交点在第一象限, ∴两直线的交点必在线段 AB 上(不包括端点), ∴动直线的斜率 k 需满足 kPA<k<kPB. 1 1 ∵kPA=- ,kPB= . 6 2 1 1 ∴- <k< . 6 2 (2)方法一 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为
5

y-2=k(x+1),即 kx-y+k+2=0.
|2k-3+k+2| |-4k-5+k+2| 由题意知 = , k2+1 k2+1 即|3k-1|=|-3k-3|, 1 ∴k=- . 3 1 ∴直线 l 的方程为 y-2=- (x+1), 3 即 x+3y-5=0. 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=-1,也符合题意. 1 方法二 当 AB∥l 时,有 k=kAB=- , 3 1 直线 l 的方程为 y-2=- (x+1), 3 即 x+3y-5=0. 当 l 过 AB 中点时,AB 的中点为(-1,4). ∴直线 l 的方程为 x=-1. 故所求直线 l 的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法: 求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线 方程.(2)利用距离公式应注意:①点 P(x0,y0)到直线 x=a 的距离 d=|x0-a|,到直线 y=b 的距离 d=|y0-b|;②两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x,y 的系数化为相等.

(1)如图,设一直线过点(-1,1),它被两平行直线 l1:x+2y-1=0,l2:x+2y-3=0 所截 的线段的中点在直线 l3:x-y-1=0 上,求其方程. 解 与 l1、l2 平行且距离相等的直线方程为 x+2y-2=0. 设所求直线方程为(x+2y-2)+λ (x-y-1)=0, 即(1+λ )x+(2-λ )y-2-λ =0.又直线过(-1,1), ∴(1+λ )(-1)+(2-λ )?1-2-λ =0. 1 解得 λ =- .∴所求直线方程为 2x+7y-5=0. 3 (2)正方形的中心为点 C(-1,0), 一条边所在的直线方程是 x+3y-5=0, 求其他三边所在直
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线的方程. 解 点 C 到直线 x+3y-5=0 的距离

d=

|-1-5| 3 10 = . 5 1+9

设与 x+3y-5=0 平行的一边所在直线的方程是 x+3y+m=0(m≠-5), 则点 C 到直线 x+3y+m=0 的距离

d=

|-1+m| 3 10 = , 5 1+9

解得 m=-5(舍去)或 m=7, 所以与 x+3y-5=0 平行的边所在直线的方程是 x+3y+7=0. 设与 x+3y-5=0 垂直的边所在直线的方程是 3x-y+n=0, 则点 C 到直线 3x-y+n=0 的距离

d=

|-3+n| 3 10 = , 5 1+9

解得 n=-3 或 n=9, 所以与 x+3y-5=0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x-y-3=0 和 3x-y+9=0. 题型三 对称问题 命题点 1 点关于点中心对称 例 3 过点 P(0,1)作直线 l,使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y+10=0 截得的线段 被点 P 平分,则直线 l 的方程为________________. 答案 x+4y-4=0 解析 设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a),则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(-a,2a-6) 在 l2 上,代入 l2 的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得 a=4,即点 A(4,0)在直线 l 上,所 以直线 l 的方程为 x+4y-4=0. 命题点 2 点关于直线对称 例 4 已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2),则点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标 为____________.

? 33 4 ? 答案 ?- , ? ? 13 13?
解析 设 A′(x,y),由已知得

y+2 2 ? ?x+1?3=-1, ? x-1 y-2 ? ?2? 2 -3? 2 +1=0,

7

33 x=- , ? ? 13 解得? 4 y= , ? ? 13

? 33 4 ? 故 A′?- , ?. ? 13 13?
命题点 3 直线关于直线的对称问题 例 5 已知直线 l:2x-3y+1=0,求直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方 程. 解 在直线 m 上任取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上. 设对称点 M′(a,b),则

?a+2?-3??b+0?+1=0, ? ? ? 2 ? ?2?? ? 2 ? ? ? ?b-0 2 ? ?a-2?3=-1,
6 ? ?a=13, 解得? 30 ? ?b=13,

? 6 30? ∴M′? , ?. ?13 13?
设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则
?2x-3y+1=0, ? 由? ? ?3x-2y-6=0,

得 N(4,3). 又∵m′经过点 N(4,3). ∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0. 思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称 ①点 P(x,y)关于 Q(a,b)的对称点 P′(x′,y′)满足?
? ?x′=2a-x, ?y′=2b-y. ?

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称 ① 点 A(a , b) 关 于 直 线 Ax + By + C = 0(B≠0) 的 对 称 点 A′(m , n) , 则 有

8

n-b ? A? - ?=-1, ? ?m-a?? ? B? ? a+m b+n ? ?A? 2 +B? 2 +C=0.
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 是边 AB 上异于 A,B 的一点,光线从点 P 出发, 经 BC,CA 发射后又回到原点 P(如图).若光线 QR 经过△ABC 的重心,则 AP=________. 答案 解析 4 3

建立如图所示的坐标系: 可得 B(4,0),C(0,4),故直线 BC 的方程为 x+y=4, △ABC 的重心为

?0+0+4,0+4+0?,设 P(a,0),其中 0<a<4, ? 3 ? 3 ? ?
a+x y+0 ? ? 2 + 2 =4, 则点 P 关于直线 BC 的对称点 P (x,y),满足? y-0 ? ?x-a??-1?=-1,
1

解得?

?x=4, ? ? ?y=4-a,

即 P1(4,4-a),易得 P 关于 y 轴的对称点 P2(-a,0),

由光的反射原理可知 P1,Q,R,P2 四点共线, 4-a-0 4-a 直线 QR 的斜率为 k= = , 4-?-a? 4+a 4-a 故直线 QR 的方程为 y= (x+a), 4+a
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4 4 2 由于直线 QR 过△ABC 的重心( , ),代入化简可得 3a -4a=0, 3 3 4 4 ?4 ? 解得 a= ,或 a=0(舍去),故 P? ,0?,故 AP= . 3 3 3 ? ?

18.妙用直线系求直线方程

一、平行直线系 由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时,它们的一次 项系数与常数项有必然的联系. 典例 求与直线 3x+4y+1=0 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程. 思维点拨 0(c≠1). 规范解答 解 依题意,设所求直线方程为 3x+4y+c=0(c≠1), 又因为直线过点(1,2), 所以 3?1+4?2+c=0,解得 c=-11. 因此,所求直线方程为 3x+4y-11=0. 温馨提醒 与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程为 Ax+By+C1=0 (C1≠C),再由其他条 件求 C1. 二、垂直直线系 由于直线 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件为 A1A2+B1B2=0.因此,当两直 线垂直时,它们的一次项系数有必要的关系,可以考虑用直线系方程求解. 典例 求经过 A(2,1),且与直线 2x+y-10=0 垂直的直线 l 的方程. 思维点拨 依据两直线垂直的特征设出方程,再由待定系数法求解. 规范解答 解 因为所求直线与直线 2x+y-10=0 垂直,所以设该直线方程为 x-2y+C1=0,又直线 过点(2,1),所以有 2-2?1+C1=0,解得 C1=0,即所求直线方程为 x-2y=0. 温馨提醒 与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为 Bx-Ay+C1=0, 再由其他条件求出 C1. 三、过直线交点的直线系 典例 求经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x-4y+5 =0 垂直的直线 l 的方程. 思维点拨 可分别求出直线 l1 与 l2 的交点及直线 l 的斜率 k,直接写出方程;也可以利用过 交点的直线系方程设直线方程,再用待定系数法求解.
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因为所求直线与 3x+4y+1=0 平行,因此,可设该直线方程为 3x+4y+c=

规范解答 解 方法一 解方程组?
?x-2y+4=0, ? ?x+y-2=0, ?

得 P(0,2).

3 4 因为 l3 的斜率为 ,且 l⊥l3,所以直线 l 的斜率为- , 4 3 4 由斜截式可知 l 的方程为 y=- x+2, 3 即 4x+3y-6=0. 方法二 设直线 l 的方程为 x-2y+4+λ (x+y-2)=0, 即(1+λ )x+(λ -2)y+4-2λ =0. 又∵l⊥l3,∴3?(1+λ )+(-4)?(λ -2)=0, 解得 λ =11. ∴直线 l 的方程为 4x+3y-6=0. 温馨提醒 本题方法一采用常规方法,先通过方程组求出两直线交点,再根据垂直关系求出 斜率,由于交点在 y 轴上,故采用斜截式求解;方法二则采用了过两直线 A1x+B1y+C1=0 与

A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0,直接设出过两直
线交点的方程,再根据垂直条件用待定系数法求解.

[方法与技巧] 1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1、l2,

l1∥l2?k1=k2;l1⊥l2?k1?k2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率一
定要特别注意. 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法. [失误与防范] 1.在判断两条直线的位置关系时, 首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率, 可 根据判定定理判断,若直线无斜率,要单独考虑. |C1-C2| 2.在运用两平行直线间的距离公式 d= 2 2 时,一定要注意将两方程中 x,y 的系数化为 A +B 相同的形式.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟)
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π 1.若曲线 f(x)=xsin x+1 在 x= 处的切线与直线 ax+3y+1=0 互相垂直,则实数 a= 2 ________. 答案 3

?π ? 解析 求导得 f′(x)=sin x+xcos x,故 f′? ?=1, ?2?
所以直线的斜率 k=- =-1,得 a=3. 3 2.设 a,b,c 分别是△ABC 中角 A,B,C 所对边的边长,则直线 sin A?x-ay-c=0 与 bx +sin B?y+sin C=0 的位置关系是________. 答案 垂直 sin A c 解析 方法一 因为直线 sin A?x-ay-c=0 的斜率 k1= ,在 y 轴上的截距 b1=- ;

a

a

a

b sin C 直线 bx+sin B?y+sin C=0 的斜率 k2=- ,在 y 轴上的截距 b2=- ,由正弦 sin B sin B b ? a b c sin A ? 定理 = = ,得 k1?k2= ?? - ?=-1,即直线 sin A?x-ay-c sin A sin B sin C a ? sin B?
=0 与 bx+sin B?y+sin C=0 垂直. 方法二 由正弦定理有 a=2Rsin A,b=2Rsin B(其中 R 为△ABC 外接圆的半径),所以 bsin

A-asin B=2Rsin Bsin A-2Rsin Asin B=0,所以直线 sin A?x-ay-c=0 与 bx+sin B?y
+sin C=0 垂直. 1 3.当 0<k< 时,直线 l1:kx-y=k-1 与直线 l2:ky-x=2k 的交点在第________象限. 2 答案 二 解析 解方程组?
? ?kx-y=k-1, ?ky-x=2k ?

得两直线的交点坐标为?

? k ,2k-1?,因为 0<k<1, ? 2 ?k-1 k-1 ?

所以

2k-1 <0, >0,故交点在第二象限. k-1 k-1

k

4.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 经过定点________. 答案 (0,2) 解析 直线 l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线 l1:y =k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,故直线 l2 经过定点(0,2). 5.从点(2,3)射出的光线沿与向量 a=(8,4)平行的直线射到 y 轴上,则反射光线所在的直线 方程为__________. 答案 x+2y-4=0

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1 解析 由直线与向量 a=(8,4)平行知:过点(2,3)的直线的斜率 k= ,所以直线的方程为 y 2 1 -3= (x-2),其与 y 轴的交点坐标为(0,2),又点(2,3)关于 y 轴的对称点为(-2,3),所以 2 反射光线过点(-2,3)与(0,2),由两点式得直线方程为 x+2y-4=0. 6.已知 M=??x,y?|
? ?

y-3 ? =3?,N={(x,y)|ax+2y+a=0}且 M∩N=?,则 a=________. x-2 ?

答案 -2 或-6 解析 由题可知,集合 M 表示过点(2,3)且斜率为 3 的直线,但除去(2,3)点,而集合 N 表示 一条直线,该直线的斜率为- ,且过(-1,0)点,若 M∩N=?,则有两种情况:①集合 M 表 2 示的直线与集合 N 所表示的直线平行, 即- =3, 解得 a=-6; ②集合 N 表示的直线过(2,3) 2 点,即 2a+2?3+a=0,解得 a=-2,综上,a=-2 或-6. 7.已知两直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,若 l1∥l2,且坐标原点到这两条 直线的距离相等,则 a+b=________. 8 答案 0 或 3

a

a

a+b?a-1?=0, ? ? 4 |b| 解析 由题意得? = . 2 2 2 ? ?a-1? +1 ? a +?-b?
? ?a=2, 解得? ?b=-2 ?

2 ? ?a= , 或? 3 ? ?b=2

经检验,两种情况均符合题意,

8 ∴a+b 的值为 0 或 . 3 π 8.已知直线 l1: ax+y-1=0, 直线 l2: x-y-3=0, 若直线 l1 的倾斜角为 , 则 a=________; 4 若 l1⊥l2,则 a=________;若 l1∥l2,则两平行直线间的距离为________. 答案 -1 1 2 2 解析 若直线 l1 的倾斜角为 π ,则-a=k=tan 45°=1,故 a=-1;若 l1⊥l2,则 a?1+ 4

1?(-1)=0,故 a=1;若 l1∥l2,则 a=-1,l1:x-y+1=0,两平行直线间的距离 d= |1-?-3?| =2 2. 1+1 9.已知△ABC 的顶点 A(5,1),AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5=0,AC 边上的高

BH 所在直线方程为 x-2y-5=0,求直线 BC 的方程.
13

解 依题意知:kAC=-2,A(5,1), ∴lAC 为 2x+y-11=0,
?2x+y-11=0, ? 联立 lAC、lCM 得? ? ?2x-y-5=0,

∴C(4,3).

设 B(x0,y0),AB 的中点 M 为(

x0+5 y0+1
2 , 2

),

代入 2x-y-5=0,得 2x0-y0-1=0,
? ?2x0-y0-1=0, ∴? ?x0-2y0-5=0, ?

∴B(-1,-3),

6 6 ∴kBC= ,∴直线 BC 的方程为 y-3= (x-4), 5 5 即 6x-5y-9=0. 10.已知直线 l 经过直线 l1:2x+y-5=0 与 l2:x-2y=0 的交点. (1)若点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值. 解 (1)易知 l 不可能为 l2,可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ (x- 2y)=0, 即(2+λ )x+(1-2λ )y-5=0, ∵点 A(5,0)到 l 的距离为 3, ∴ |10+5λ -5| ?2+λ ? +?1-2λ ?
2 2

=3,

1 2 即 2λ -5λ +2=0,∴λ =2,或 λ = , 2 ∴l 的方程为 x=2 或 4x-3y-5=0.
?2x+y-5=0, ? (2)由? ?x-2y=0, ?

解得交点 P(2,1),如图,过 P 作任一直线 l,设 d 为点 A 到 l 的距离,则 d≤PA(当 l⊥PA 时 等号成立).

∴dmax=PA= ?5-2? +?0-1? = 10. B 组 专项能力提升
14

2

2

(时间:30 分钟) 11.若点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,则 m +n 的最小值是________. 答案 4 解析 因为点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上, 所以 4m+3n-10=0.
2 2

欲求 m +n 的最小值可先求 ?m-0? +?n-0? 的最小值, 而 ?m-0? +?n-0?
2 2

2

2

2

2

表示 4m+3n-10=0 上的点(m,n)到原点的距离,如图.当过原点的直线与直线 4m+3n-10 =0 垂直时,原点到点(m,n)的距离最小为 2.所以 m +n 的最小值为 4. 12.
2 2

如图,已知直线 l1∥l2,点 A 是 l1,l2 之间的定点,点 A 到 l1,l2 之间的距离分别为 3 和 2, 点 B 是 l2 上的一动点, 作 AC⊥AB, 且 AC 与 l1 交于点 C, 则△ABC 的面积的最小值为________. 答案 6 解析

以 A 为坐标原点, 平行于 l1 的直线为 x 轴, 建立如图所示的直角坐标系, 设 B(a, -2), C(b,3), 且 a<0,b<0. ∵AC⊥AB, 6 ∴ab-6=0,ab=6,b= .

a

1 2 2 Rt△ABC 的面积 S= a +4? b +9 2

15

= ≥

1 2 a +4? 2

36

a2

+9=

1 2

144 2 72+9a + 2

a

1 72+72=6. 2

144 2 当且仅当 9a = 2 ,即 a=-2 时,等号成立.

a

即△ABC 面积的最小值为 6. 13.在平面直角坐标系内,到点 A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的 坐标是________. 答案 (2,4) 解析

如图,设平面直角坐标系中任一点 P,P 到点 A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之 和为 PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD,故四边形 ABCD 对角线 的交点 Q 即为所求距离之和最小的点.∵A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1), ∴直线 AC 的方程为 y-2=2(x-1),直线 BD 的方程为 y-5=-(x-1). 由?
?y-2=2?x-1?, ? ?y-5=-?x-1?, ?

得 Q(2,4).

1 14.已知直线 l:y= x-1, 2 (1)求点 P(3,4)关于 l 对称的点 Q; (2)求 l 关于点(2,3)对称的直线方程.



y -4 ? ?x -3=-2, (1)设 Q(x ,y ),由于 PQ⊥l,且 PQ 中点在 l 上,有? y +4 1 x +3 ? 2 =2? 2 -1, ?
0 0 0 0 0 0

解得

29 ? ?x = 5 , ? 8 ?y =-5, ?
0 0

16

8? ?29 ∴Q? ,- ?. 5? ?5 (2)在 l 上任取一点,如 M(0,-1),则 M 关于点(2,3)对称的点为 N(4,7).∵当对称点不在直 线上时,关于点对称的两直线必平行, ∴所求直线过点 N 且与 l 平行, 1 ∴所求方程为 y-7= (x-4),即为 x-2y+10=0. 2 15.已知三条直线:l1:2x-y+a=0(a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0,且 l1 7 5 与 l2 间的距离是 . 10 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使 P 同时满足下列三个条件: ①点 P 在第一象限; 1 ②点 P 到 l1 的距离是点 P 到 l2 的距离的 ; 2 ③点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2∶ 5. 若能,求点 P 的坐标;若不能,说明理由. 1 7 5 解 (1)直线 l2: 2x-y- =0, 所以两条平行线 l1 与 l2 间的距离为 d= 2 = , 2 2 10 2 +?-1?

?a-?-1?? ? ? 2?? ? ? ??

所以

?a+1? ? 2? ? ? 7 5
5 =

? 1? 7 ,即?a+ ?= , 10 ? 2? 2

又 a>0,解得 a=3. (2)假设存在点 P,设点 P(x0,y0).

若 P 点满足条件②, 则 P 点在与 l1, l2 平行的直线 l′: 2x-y+c=0 上, 且 13 11 即 c= 或 , 2 6 13 11 所以 2x0-y0+ =0 或 2x0-y0+ =0; 2 6 若 P 点满足条件③,由点到直线的距离公式, 有 |2x0-y0+3| 2|x0+y0-1| = , 5 5 2

?c+1? ? ? |c-3| 1? 2?
5 = 2 5



即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, 所以 x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0;
17

由于点 P 在第一象限,所以 3x0+2=0 不可能. 13 联立方程 2x0-y0+ =0 和 x0-2y0+4=0, 2

x0=-3, ? ? 解得? 1 y0= ; ? 2 ?

(舍去)

11 联立方程 2x0-y0+ =0 和 x0-2y0+4=0, 6 1 ? ?x =9, 解得? 37 ? ?y =18.
0 0

?1 37? 所以存在点 P? , ?同时满足三个条件. ?9 18?

18


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