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导与练重点班2017届高三数学一轮复习第7节圆锥曲线的综合问题第三课时定点定值存在性专题课时训练理

时间:2017-03-30


第三课时

定点、定值、存在性专题

【选题明细表】 知识点、方法 圆锥曲线的定点问题 圆锥曲线的定值问题 圆锥曲线的存在性问题
2

题号 4,5 7 1,2,3,6

1.在直角坐标系 xOy 中,点 M(2,- ),点 F 为抛物线 C:y=mx (m>0)的焦点,线段 MF 恰被抛物线 C 平分. (1)求 m 的值; (2)过点 M 作直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,设直线 FA,FM,FB 的斜率分别为 k1,k2,k3,问 k1,k2,k3 能否构成公差不为零的等差数列?若能,求出直线 l 的方程;若不能,请说明理由. 解:(1)由题意得抛物线 C 的焦点 F 的坐标为(0, 上, 所以 -=m,8m +2m-1=0,
2

),线段 MF 的中点 N(1,

- )在抛物线 C

所以 m=(m=-舍去). 2 (2)由(1)知抛物线 C:x =4y,F(0,1). 设直线 l 的方程为 y+=k(x-2), A(x1,y1),B(x2,y2),由 得 x -4kx+8k+2=0, 2 Δ =16k -4(8k+2)>0, 所以 k< 或 k> .
2

由根与系数的关系得 假设 k1,k2,k3 能构成公差不为零的等差数列, 则 k1+k3=2k2. 而 k1+k3= +

=

1

=

=

=

=

,

k2=

=-,

所以

=-,8k +10k+3=0,

2

解得 k=-(符合题意)或 k=-(不合题意,舍去). 所以直线 l 的方程为 y+=-(x-2), 即 x+2y-1=0. 所以 k1,k2,k3 能构成公差不为零的等差数列,此时直线 l 的方程为 x+2y-1=0. 2.(2016 郑州模拟)已知动点 P 到定点 F(1,0)和到直线 x=2 的距离之比为 ,设动点 P 的轨迹 为曲线 E,过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A,B 两点,直线 l:y=mx+n 与曲线 E 交 于 C,D 两点,与线段 AB 相交于一点(与 A,B 不重合). (1)求曲线 E 的方程; 2 2 (2)当直线 l 与圆 x +y =1 相切时,四边形 ACBD 的面积是否有最大值.若有,求出其最大值及对 应的直线 l 的方程;若没有,请说明理由. 解:(1)设点 P(x,y),由题意可得 整理可得+y =1. 2 曲线 E 的方程是+y =1. (2)设 C(x1,y1),D(x2,y2), 由已知可得|AB|= .
2

= ,

当 m=0 时,不合题意. 2 2 当 m≠0 时,由直线 l 与圆 x +y =1 相切, 可得
2 2

=1,

即 m +1=n .

2

联立 消去 y 得(m +)x +2mnx+n -1=0, 2 2 2 2 2 Δ =4m n -4(m +) (n -1)=2m >0, x1= ,x2= ,
2 2 2

S 四边形 ACBD=|AB||x2-x1|=

=

≤ ,

当且仅当 2|m|=

,即 m=± 时等号成立,

此时 n=± ,经检验可知,

直线 l 的方程为 y= x- 或直线 y=- x+ 时四边形 ACBD 的面积最大,最大值为 . 3.(2016 陕西模拟)已知 A 是椭圆 M:x +5y =5 与 y 轴正半轴的交点,F 是椭圆 M 的右焦点,过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 B,C 两点. (1)若|OB|=|OC|,求 B,C 两点的坐标; (2)是否存在直线 l,使得|AB|=|AC|?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由. 2 2 2 解:(1)由 x +5y =5 可得+y =1, 所以 c=2, 所以 F(2,0),A(0,1). 由椭圆的对称性可知,满足|OB|=|OC|的直线 l 有两种: ①当直线 l⊥x 轴时,令 x=2,y=± .
2 2

所以 B,C 两点的坐标分别为(2,

)和(2,-

).

②当直线 l 与 x 轴重合时,B,C 两点的坐标分别为(

,0)和(-

,0).

(2)①易知,当直线 l 与 x 轴重合时,|AB|=|AC|, 此时直线 l 的方程为 y=0. ②当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 不符合题意. ③当直线 l 与坐标轴不垂直时 , 设过点 F 的直线的斜率为 k, 直线 l 与椭圆 M 的交点 B(x1,y1),C(x2,y2),BC 的中点 N(x0,y0),则 l:y=k(x-2). 联立 得(1+5k )x -20k x+20k -5=0,
2 2 2 2

3

所以 x1+x2=

.

所以 x0=

,y0=

,

所以要使|AB|=|AC|,只要 AN⊥BC. 所以 ·k=-1,
2

所以 5k -8k+1=0, 所以 k= ,

所以直线 l 的方程为 y=

(x-2).

综上,符合题意的直线 l 的方程为 y=0 或 y=

(x-2).

4.(2015 吉林东北师大附中三模)已知双曲线 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= ,虚轴长为 2. (1)求双曲线 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与双曲线 C 相交于 A,B 两点(A,B 均异于左、 右顶点),且以 AB 为直径的 圆过双曲线 C 的左顶点 D,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. (1)解:由题设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 由已知得= ,2b=2,又 a +b =c ,解得 a=2,b=1, 所以双曲线的标准方程为-y =1. (2)证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 得(1-4k )x -8mkx-4(m +1)=0, 则 x1+x2= ,x1x2= ,
2 2 2 2 2 2 2

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k x1x2+mk(x1+x2)+m =

2

2

.

以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D(-2,0), 所以 kADkBD=-1,

4



·

=-1,

所以 y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0, 所以
2

+
2

+

+4=0,

所以 3m -16mk+20k =0. 解得 m=2k 或 m= .

当 m=2k 时,l 的方程为 y=k(x+2),直线过定点(-2,0),与已知矛盾; 当 m= 时,l 的方程为 y=k(x+ ),直线过定点(- ,0),经检验符合已知条件.

故直线 l 过定点,定点坐标为(- ,0). 5.(2016 开封模拟)已知抛物线 C:x =4y. (1)设 P 为直线 l:x-y-2=0 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (2)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值. 2 2 解:(1)抛物线 C 的方程为 x =4y,即 y=x , 求导得 y′=x. 设 A(x1,y1),B(x2,y2) (其中 y1=,y2=), 则切线 PA,PB 的斜率分别为 x1,x2, 所以切线 PA 的方程为 y-y1=(x-x1), 即 y=x-+y1,即 x1x-2y-2y1=0. 同理可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=0. 因为切线 PA,PB 均过点 P(x0,y0), 所以 x1x0-2y0-2y1=0, x2x0-2y0-2y2=0, 所以(x1,y1),(x2,y2)为方程 x0x-2y0-2y=0 的两组解. 故直线 AB 的方程为 x0x-2y-2y0=0. (2)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1. 所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1, 联立方程
2

消去 x 整理得 y +(2y0- )y+

2

=0,

由根与系数的关系可得 y1+y2= -2y0,y1y2= , 所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1= + -2y0+1.
5

又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=y0+2, 所以 + -2y0+1=2 +2y0+5=2(y0+) +,
2

所以当 y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为. 6.(2015 西安模拟)已知椭圆 C:+=1(a>b>0)经过点(1, ),离心率为 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 y=k(x-1)(k≠0)与椭圆 C 交于 A,B 两点,点 M 是椭圆 C 的右顶点,直线 AM 与直线 BM 分别与 y 轴交于点 P,Q,试问以线段 PQ 为直径的圆是否过 x 轴上的定点?若是,求出定点坐标; 若不是,说明理由. 解:(1)由题意得 解得 a=2,b=1. 2 所以椭圆 C 的方程是+y =1. (2)以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点, 由 得(1+4k )x -8k x+4k -4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则有 x1+x2= ,x1x2= .
2 2 2 2

又因为点 M 是椭圆 C 的右顶点,所以点 M(2,0), 由题意可知直线 AM 的方程为 y= (x-2),

故点 P(0,-

).

直线 BM 的方程为 y=

(x-2),故点 Q(0,-

).

若以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 N(x0,0),则等价于

·

=0 恒成立,

又因为

=(x0,

),

=(x0,

),

6

所以

·

= +

·

= +

=0 恒成立,

又因为(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=

-2·

+4=

,

y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k [x1x2-(x1+x2)+1]=k (

2

2

-

+1)=

,

所以 +

= +

=

-3=0,

解得 x0=±

. ,0)或(,0). ,0).

即 x 轴上的定点为(

故以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点(±

7.(2016 枣庄模拟)已知椭圆 C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为 F1,F2,离心率为,过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,且△MNF2 的周长为 8. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过原点 O 的两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,求证:点 O 到直线 AB 的距离 为定值,并求出这个定值. 解:(1)由题意知 4a=8,所以 a=2. 因为 e=,所以= =1-e =,所以 b =3.
2 2

所以椭圆 C 的方程为+=1. (2)由题意,当直线 AB 的斜率不存在时,可设 A(x0,x0),B(x0,-x0). 又 A,B 两点在椭圆 C 上,所以+=1,即 = ,

所以点 O 到直线 AB 的距离 d=

=

.

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m. 由 消去 y 得(3+4k )x +8kmx+4m -12=0,
2 2 2 2 2

由Δ >0 得 3+4k >m .设 A(x1,y1),B(x2, y2), 则 y1=kx1+m,y2=kx2+m, 所以 x1+x2=,x1x2= .

7

因为 OA⊥OB,所以 x1x2+y1y2=0, 所以 x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0, 2 2 即(k +1)x1x2+km(x1+x2)+m =0. 所以(k +1)
2 2

2

+m =0,

2

整理得 7m =12(k +1),满足Δ >0. 所以点 O 到直线 AB 的距离 d= = = 为定值.

综上,点 O 到直线 AB 的距离为定值,且这个定值为

.

8


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