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等差等比数列对比性质表

时间:2018-07-02


等差数列与等比数列性质的比较

等差数列性质 1、定义

等比数列性质

a n+1 -a n =d(n ? 1) ; a n -a n-1 =d(n ? 2)

a n+1 =q(n ? 1) an
n



an =q(n ? 2) a n-1
n ?1 n?m

2、通项 公式

an ? a1 ? (n ? 1) d
an ? am ? (n ? m ) d(n,m ? N ? )

a ? a ?q a ? a ?q
1 n m

3、 前n项 和

s s

n

?

(a1 ? a n)n 2 n(n ? 1) d 2

q=1 , Sn =na1 ; a1 (1-q n ) 1-q a -a q = 1 n 1-q A b a、A、b 成等比数列 ? ? a A 2 (不等价于 A =ab ,只能 ? ); a n 是其前 k 项 a n-k 与后 k 项 a n+k 的 q ? 1,Sn =
等比中项,即: a n =a n-k ? a n+k
2

n

? n a1 ?

a、A、b 成等差数列 ? A= 4、中项

a+b ; 2

a n 是其前 k 项 a n-k 与后 k 项 a n+k 的等差中 a +a 项,即: a n = n-k n+k 2

5、 下标和 公式

a ?a ?a ?a 特别地,若 m+n=2p,则 a ? a ? 2 a
若 m+n=p+q,则
m n p q m n

若 m+n=p+q,则
p

a ?a ? a ?a 特别地,若 m+n=2p,则 a ? a ? a
m n p q
m n

2 p

6、 首尾项 性质

等差数列的第 k 项与倒数第 k 项的和等于 首尾两项的和, 即:

等比数列的第 k 项与倒数第 k 项的积 等于首尾两项的积, 即:

a ?a ?a ?a
1 n 2

n ?1

? ? ? a k ? a n ?( k ?1)

a ?a ? a ?a
1 n 2

n ?1

? ? ? a k ? a n ?( k ?1)

a }为等差数列,若 m,n,p 成等差数列, 则 a , a , a 成等差数列
{
n
m n p

{

a

n

}为等比数列,若 m,n,p 成等差

数列,则 等比数列{

a ,a ,a
m n

p

成等比数列

(两个等差数列的和仍是等差数列) 等差数列{ 则数列{

(两个等比数列的积仍是等比数列)

a
n

n

},{
n

b

n

}的公差分别为 d , e ,

d ?e
7、结论

a ?b

}仍为等差数列,公差为

列,公差为 pq

b }的公比分别为 p, q ,则数列{ a ? b }仍为等比数
n

a

},{

n

n

n

取出等差数列的所有奇(偶)数项,组成 的新数列仍为等差数列,且公差为 2d 若 a m =n,a n =m(m ? n), 则 am ? n ? 0 若 Sm =n,Sn =m(m ? n), 则

取出等比数列的所有奇(偶)数项, 组成的新数列仍为等比数列, 且公比 为

q

2

无此性质; 无此性质; 无此性质;

Sm ? n ? ? (m ? n)


s

m

? sn (m ? n), 则 sm? m ? 0
2m

s ,s
m

? sm , s3m ? s2 m , ? 成等差数列,
2

s ,s
m

2m

? sm , s3m ? s2 m , ? 成等差

公差为 m d

数列,公比为
1

q

m

等差数列与等比数列性质的比较
? qs

当项数为偶数 2n 时,

a a 当项数为奇数 2n ? 1 时, s ? s


s s s



? s奇 ? nd
?
n

当项数为偶数 2n 时,

s







n ?1





? a中

当项数为奇数 2n ? 1 时,

s

2 n ?1

? (2n ? 1) a中
n n ?1
①定义法:

s



? a1 ? q s偶

s s

奇 偶

?

①定义法: an ? an ?1 ? d ? n ? 2? ②等差中项概念; 2an ? an ?1 ? an ?1 ? n ? 2? 8、等差(等 比)数列的判 断方法 ③函数法:an ? pn ? q(p ,q为常数) 关于 n 的一 次函数 ? 数列{an } 是首项为 p+q,公差为 p ? ? 0 ? 的等差数列; ④数列 {a n } 的前 n 项和形如

an ?q an ?1
2 n

an an ? 2 ? an ?1 (an ? 0) ②等差中项概念;
③函数法:an ? cq ( c,q 均为不为 0 的 ④数列 {a n } 的前 n 项和形如

n ? N? ), 常数, 则数列 ? an ? 是等比数列.
Sn ? Aq n ? A ( A ,q 均为不等于 0 的常

Sn ? an2 ? bn

(a,b 为常数),那么数列 {a n } 是等差数列, 9、共性

数且 q≠1),则数列 ? an ? 是公比不为 1 的等比数列.

非零常数列既是等差数列又是等比数列

2


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