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坐标系与参数方程教案

时间:2011-05-02


高中数学选修 4-4 坐标系与参数方程
一、【课程目标】 、【课程目标】 课程目标 本专题的内容包括:坐标系、曲线的极坐标方程、平面坐标系中几种变换、参数 方程。 通过本专题的教学,使学生简单了解柱坐标系、球坐标系,掌握极坐标和参数方 程的基本概念, 了解曲线的多种表现形式; 通过从实际问题中抽象出数学问题的过程, 使学生体会数学在实际中的应用价值;培养学生探究数学问题的能力和应用意识。 二、【知识结构网络】 、【知识结构网络】 知识结构网络

坐标系与参数方程
坐标系
直角坐标系 极坐标系 球坐标系与柱坐标系 平移变换、 伸缩变换

曲线的极 坐标方程

平面坐标系 中的变换 参数方程

意义

直线、圆、 圆锥曲线

意义、互化、应用、欣赏

第一章
【课标要求】 课标要求】 要求

坐标系

1.坐标系:了解极坐标系;会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置;会进行极坐标 坐标系: 和直角坐标的互化。了解在球坐标系、柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法(本节 内容不作要求)。 2.曲线的极坐标方程:了解曲线的极坐标方程的求法;会进行曲线的极坐标方程与 曲线的极坐标方程: 直角坐标方程的互化;了解简单图形(过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆) 的极坐标方程。 3.平面坐标系中几种常见变换(本节内容不作要求)了解在平面直角坐标系中的平 平面坐标系中几种常见变换 移变换与伸缩变换。 第一课时直角坐标系 第一课时直角坐标系
1

一、教学目的: 教学目的 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:体会直角坐标系的作用 重难点:教学重点 教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 教学难点 三、教学方法 教学方法:启发、诱导发现教学. 方法 四、教学过程: 教学过程 、 (一) 平面直角坐标系与曲线方程 1、 教师设问: 问题 1: 如何刻画一个几何图形的位置?问题 2: 如何创建坐标系? 问题 3: (1).如何把平面内的点与有序实数对(x,y)建立联系?(2).平面直角坐标系中 点和有序实数对(x,y)是怎样的关系?问题 4: 如何研究曲线与方程间的关系?结合课 本例子说明曲线与方程的关系? 2、思考交流:(1).在平面直角坐标系中,圆心坐标为(2,3)、 5 为半径的圆的

方程是什么? (2).在平面直角坐标系中,圆心坐标为(a,b)半径为 r 的圆的方程 是什么? 3、 、学生活动:学生回顾并阅读课本,思考讨论交流。教师准对问题讲解。 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 (1) 、数轴 它使直线上任一点 P 都可以由惟一的实数 x 确定 (2) 、平面直角坐标系 :在平面上 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点, 在平面上 并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系 平面直角坐标系。它使平面上任一 平面直角坐标系 点 P 都可以由惟一的实数对(x,y)确定 (3) 、空间直角坐标系 :在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当 取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间 空间 直角坐标系。它使空间上任一点 P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定 直角坐标系 (4) 、抽象概括:在平面直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: A.曲线 C 上的点坐标都是方程 f(x,y)=0 的解;

2

B.以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上。那么,方程 f(x,y)=0 叫作曲线 C 的方程,曲线 C 叫作方程 f(x,y)=0 的曲线。 (5) 、学生写直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程并作出相应的图形。 4、学生练习:课本 P3 练习中 1、2 题。 5、建系时,根据几何特点选择适当的直角坐标系。 建系时,根据几何特点选择适当的直角坐标系。 (1)如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点; (2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴; (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。 、 (二) 平面直角坐标轴中的伸缩变换 1、在平面直角坐标系中进行伸缩变换,即改变 x 轴或 y 轴的单位长度,将会对图形 产生影响。 2、探究:(1)在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y),保持纵坐标不变,将横坐标 x 探究:(1) 缩为原来的 ,就得到正弦曲线 y=sin2x。上述的变换实质上就是一个坐标的压

缩变换,即: 设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标不变,将横坐标

x 缩为原来

1 2

,得到点 P’(x’,y’).坐标对应关系为

{

x '= 1 x 2 y '= y
通常把叫做平面

直角坐标系中的一个压缩变换。 直角坐标系中的一个压缩变换。 (2) 怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sinx?写出其坐标变换。 在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y),保持纵坐标不变,将横坐标 x 缩为原来的 将纵坐标变为原来的 3 倍,就得到正弦曲线 y=3sin2x. ,在此基础上,

设点 P(x,y)经变换得到点为 P’(x’,y’)

{

x' = 1 x 2 y ' =3 y
这就是变换公式。 这就是变换公式。通常把

这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。 这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。 3、例题:课本 P4 例 1.在下列平面直角坐标系中,分别作出以圆点为圆心,6 为半径 例题: 的圆: (1)、x 轴与 y 轴具有相同的单位长度; 、X 轴上的单位长度为 Y 轴上单位长度的 (2)

3

2 倍; (3) 轴上的单位长度为 Y 轴上单位长度的 、X 教师分析:关键是建立坐标伸缩变换关系式。 学生练习,教师准对问题讲评。

1 2

倍。

反思归纳:在平面直角坐标系中进行坐标伸缩变换,关键是探析坐标伸缩变换公 在平面直角坐标系中进行坐标伸缩变换,关键是探析坐标伸缩变换公 在平面直角坐标系中进行坐标伸缩变换 式。 4、巩固训练:课本 P6 页练习题。 巩固训练: (三)求轨迹方程 1.一炮弹在某处爆炸,在 A 处听到爆炸的时间比在 B 处晚 2s,已知 A、B 两地相距 800 米,并且此时的声速为 340m/s,求曲线的方程。

2.在面积为 1 的 ?PMN 中, tan ∠PMN = 求以 M,N 为焦点并过点 P 的椭圆方程。

1 , tan ∠MNP = ?2 ,建立适当的坐标系, 2

教师分析,学生练习,准对问题讲评。 反思归纳:求轨迹方程的方法和一般步骤。方法:定义法、直接法、相关点法、 待定系数法、参数法。一般步骤: 、恰当建系; 、分析曲线特征,揭示隐含条 (1) (2) 件; (3) 、找出曲线上与任意点有关的位置关系和满足的几何条件; (4)列出方程。 、小结: (四) 小结:本节课学习了以下内容:1.如何建立直角坐标系; 2.建标法的基本 步骤;3.什么时候需要建标;4、求轨迹方程的方法和一般步骤;5、在平面直角坐 标系中进行坐标伸缩变换,关键是探析坐标伸缩变换公式。 、作业: (五) 作业:课本 P7 页 3、8、9、11 五、教学反思: 教学反思: 反思

4

第二课时 一、教学目的: 教学目的: 知识目标:理解极坐标的概念

极坐标系的的概念

能力目标:能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角 坐标系中刻画点的位置的区别. 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:理解极坐标的意义 重难点:教学重点 教学难点: 教学难点:能够在极坐标系中用极坐标确定点位置 三、教学方法 教学方法:启发、诱导发现教学. 方法 四、教学过程: 教学过程: 、复习引入: (一) 复习引入: 情境 1:军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷,如何确 定它们的位置以便将它们引爆? 情境 2:如图为某校园的平面示意图,假设某同学在教学楼 处。 (1) 他向东偏 60°方向走 120M 后到达什么位置?该位 置唯一确定吗? (2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描述? 问题 1:为了简便地表示上述问题中点的位置,应创建怎样的坐标系呢? 问题 2:如何刻画这些点的位置? 这一思考,能让学生结合自己熟悉的背景,体会在某些情况下用距离与角度来刻 画点的位置的方便性,为引入极坐标提供思维基础. 、讲解新课: (二) 讲解新课: 从情镜 2 中探索出:在生活中人们经常用方向和 距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上 一点的位置的思想,就是极坐标的基本思想。 1、极坐标系的建立:

5

在平面上取一个定点 O,自点 O 引一条射线 OX,同时确定一个单位长度和计算角 度的正方向(通常取逆时针方向为正方向) , 这样就建立了一个极坐标系。 极坐标系。 极坐标系 (其中 O 称为极点,射线 OX 称为极轴。 ) 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点 M,用 ρ 的长度,用 θ 表示线段 OM 叫做

表示从 OX 到 OM 的角度,ρ

点 M 的极径, θ 叫做点 M 的极角,有序数对(ρ, θ)就叫做 M 的极坐标。 特别强调:由极径的意义可知 ρ≥0;当极角 θ 的取值范围是[0,2 π )时,平面上的 点(除去极点)就与极坐标(ρ,θ)建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极 径 ρ=0,极角是任意角. 3、负极径的规定:在极坐标系中,极径 ρ 允许取负值,极角 θ 也可以去任意的正角 或负角,当 ρ<0 时,点 M (ρ,θ)位于极角终边的反向延长线上,且 OM= ρ 。 M (ρ,θ)也可以表示为 ( ρ ,θ + 2kπ )或(? ρ ,θ + (2k + 1)π ) (k ∈ z ) 、应用导练 (三) 应用导练 、应用 例 1 写出下图中各点的极坐标(见教材 P10 页) A(4,0) B(2, 2 )

π

4π C(6, 3



4π D(4, - 3



E(6, -1200 )

3π π F(-6, 3 )G(-3, 2 )
反思归纳: (1) 、平面上一点的极坐标是否唯一?(2) 、若不唯一,那有多少种 反思归纳: 表示方法?(3) 、坐标不唯一是由谁引起的?(4) 、不同的极坐标是否可以写出统一 表达式。约定:极点的极坐标是 ρ =0, θ 可以取任意角。 变式训练 :在极坐标系里描出下列各点 A(3,0) B(6,2 π )C(3, 例 2 在极坐标系中,
6

π
2

)D(5,

4π 5π 5π )E(3, )F(4, π )G(6, ) 3 6 3

(1) (2)

已知两点 P(5,

5π π ) (1, ) ,求线段 PQ 的长度; ,Q 4 4

答案:6

已知 M 的极坐标为(5,θ)且 θ= -2 π < θ <0

π
3

,写出符合条件的点 A 的极坐标: ρ >0,

解:当 ρ >0 时,点 A(5,
π

π
3

)的极坐标的一般形式为(5, 2Кπ+ 3 ) (K∈Z)令

π

-2 π < 2Кπ+ 3 <0,解得 k=-1,

∴ θ= π

3

-2 π =-

5π 5π ,∴ 点 A 的坐标为(5,). 3 3

变式训练: 变式训练:1、若 ?ABC 的的三个顶点为 A(5,

5π 5π 7π ), B (8, ), C (3, ), 判断三角形的形状. 2 6 6

答案:正三角形。2、若 A、B 两点的极坐标为 ( ρ1 ,θ1 ), ( ρ 2 ,θ 2 ) 求 AB 的长以及 ?AOB 的 面积。 为极点) (O 例 3 已知 Q(ρ,θ) ,分别按下列条件求出点 P 的极坐标。 (1) 是点 Q 关于极点 O 、P 的对称点; 、 是点 Q 关于直线 θ = (2) P

π
2

的对称点; 、 是点 Q 关于极轴的对称点。 (3) P

答案: (1) (-ρ, 2kπ +θ)(2) ; (ρ, 2kπ + π -θ)(3) ; (ρ , 2kπ +2 π -θ) 。

π 5 3、在极坐标系中,如果等边 ?ABC 的两个顶点是 A(2, ), B (2, ), 求第三个顶点 C 的坐 4 4
标。 、巩固与练习: (四) 巩固与练习:课本 P10 页练习题 2 、小结: (五) 小结:本节课学习了以下内容:1.如何建立极坐标系。 2.极坐标系的基本 要素是:极点、极轴、极角和度单位 3.极坐标中的点与坐标的对应关系。 、作业: (六) 作业:课本 P18 页 A 组 1、2 五、教学反思: 教学反思: 反思 P25 页 B 组 3

7

第三课时 一、教学目的: 教学目的

极坐标与直角坐标的互化

知识目标:掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 能力目标:会实现极坐标和直角坐标之间的互化 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 重难点:教学重点 教学难点:互化关系式的掌握 教学难点 三、教学方法 教学方法:启发、诱导发现教学. 方法 四、教学过程: 教学过程 、复习引入: (一) 复习引入: 情境 1:若点作平移变动时,则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境 2:若点作旋转变动时,则点的位置采用极坐标系描述比较方便 问题 1:如何进行极坐标与直角坐标的互化? 问题 2:平面内的一个点的直角坐标是 (1, 3 ) ,这个点如何用极坐标表示? 学生回顾 理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义 正确画出点的位置,标出极径和极角,借助几何意义归结到三角形中求解 、讲解新课: (二) 讲解新课: 直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长 度单位。平面内任意一点 P 的指教坐标与极坐标分别为 ( x, y ) 和 ( ρ , θ ) ,则由三角函数 的定义可以得到如下两组公式: {
x = ρ cos θ y = ρ sin θ

ρ 2 = x2 + y2
{
tan θ = y x

说明 1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 2、通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时,取

ρ ≥0, 0 ≤ θ ≤ 2π 。
3、互化公式的三个前提条件
8

(1). 极点与直角坐标系的原点重合; (2). 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合; (3). 两种坐标系的单位长度相同. 、举例应用: (三) 举例应用: 、举例应用 例 1、 【课本 P10 页例 2 题】 把下列点的极坐标化成直角坐标: (1)A(2, 4 )


(2)B(4,

14 π 3 )

π (3)M(-5, 6 )

(4)N(-3,- π ).

学生练习,教师准对问题讲评。

变式训练: 变式训练:在极坐标系中,已知 A(2, ), B (2,? ), 求 A,B 两点的距离 6 6 反思归纳: 反思归纳:极坐标与直角坐标的互化的方法。 例 2、 【课本 P11 页例 3】若以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立直角坐标系. (1) (2) 已知 A 的极坐标 (4,
5π ), 求它的直角坐标, 3

π

π

已知点 B 和点 C 的直角坐标为 (2,?2)和(0,?15) 求它们的极坐标. ( ρ >0,0≤ θ <2 π )

学生练习,教师准对问题讲评。 变式训练: 变式训练:把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定 ρ >0,0≤ θ < 2π )
A(?1,1), B (0,?2), C (3,4), D (?3,?4)

反思归纳: 反思归纳:极坐标与直角坐标的互化的方法。 例 3、如图是某校园的平面示意图,假设某同学在教学楼处,试以此点为极点建立坐 标系,说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来。 为教学楼、B (A 为体育馆、 为图书馆、 为实验楼、 为办公楼。 C D E AB=60m、 AE=50m、 <CAB=60 度、 <DAE=45 度) 。 分析:以 A 点为极点,AB 所在的直线为极轴,建立极坐标系,问题易于解决。 学生练习,教师引导学生反思。

9

D

C

E

A

B

变式训练 在极坐标系中,已知三点
M (2,? ), N (2,0), P (2 3 , ) .判断 M , N , P 三点是否在一条直线上. 3 6

π

π

、 ( 四) 小

结:本节课学习了以下内容: 1.极坐标与直角坐标互换的前提条件; 2.互换的公式; 3.互换的基本方法。

、课后作业: (五) 课后作业:课本 P12 页 1、2 五、教学反思: 教学反思: 反思

P25 页 A 组中 3

10

第四课时 一、教学目的: 教学目的

直线和圆的极坐标方程 和圆的极坐标方程

知识目标:掌握极坐标方程的意义 能力目标:能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:直线和圆的极坐标方程的求法 重难点:教学重点 教学难点: 教学难点:对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解 三、教学模式:启发、诱导发现教学. 教学模式 四、教学过程: 教学过程 、复习引入: (一) 复习引入: 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置;极坐标也有同样作用? 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程; 极坐标系的建立是否可以求曲线方程? 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置? 2、曲线的方程和方程的曲线(直角坐标系中)定义 3、求曲线方程的步骤 、讲解新课: (二) 讲解新课: 1、引例:以极点 O 为圆心 5 为半径的圆上任意一点极径为 5,反过来,极径为 5 的点 引例: 引例 都在这个圆上。 因此,以极点为圆心,5 为半径的圆可以用方程 ρ = 5 来表示。 2、提问:曲线上的点的坐标都满足这个方程吗? 提问: 提问 3、定义:一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 f ( ρ , θ ) = 0 的点 定义: 定义 在曲线上,那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程,这条曲线称为这个 极坐标方程的曲线。 4、求直线和圆的极坐标方程 求 【课本 P13 页例 5】求经过点 A(3,0) 且与极轴垂直的直线 l 的极坐标方程。 例 1、

11

教师分析:设动点的极坐标抓住几何图形特征建立关系式。 学生练习。

M

O

A

X

变式训练: 变式训练:已知点 P 的极坐标为 (1, π ) ,那么过点 P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。 答案: ρ cos θ = ?1

π 【课本 P13 页例 6】求经过点 A(2,0)、倾斜角为 6 的直线的极坐标方程。 例 2、
分析: 分析:设动点的极坐标,在三角形 OAM 中利用正弦定理可解。学生练习。 反思归纳: 反思归纳:以上题目均为求直线的极坐标方程,方法是设动点的极坐标,抓住几何 图形特征建立 ρ 与 θ 的关系式。 【课本 P14 页例 8】求圆心在(a,0)(a>0)、半径为 a 的圆的极坐标方程 例 3、 学生练习,准对问题讲评。 变式训练:求圆心在 A(3, ) 且过极点的圆 A 的极坐标方程。 2 、巩固与练习: (三) 巩固与练习:课本 P14 页练习中 2、3 、小结: (四) 小结:本节课学习了以下内容:1.如何求直线和圆的极坐标方程 。2.极坐标 系中曲线与方程的关系和直角坐标系中曲线与方程的关系是一致的。3、掌握求直线和 圆的极坐标方程的方法和步骤。 、作业: (五) 作业:课本 P18 页 A 组 六、教学反思: 教学反思: 4、11 B 组中 1

π

12

第五课时 一、教学目的: 教学目的

曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

知识目标:掌握极坐标系中直线和圆的方程,会进行曲线的极坐标方程与直角坐 标方程的互化 能力目标:巩固求曲线方程的方法和步骤、会进行曲线的极坐标方程与直角坐标 方程的互化 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 重难点:教学重点 教学难点:寻找关于ρ,θ的等式 教学难点 三、教学方法 教学方法:启发、诱导发现教学. 方法 四、教学过程: 教学过程 、复习引入: (一) 复习引入: 、复习引入
3 问题情境:情境 1: ρ cos θ = 3 , ρ = 5 , ρsisθ = 2 , θ = π 分别表示什么曲线?情 4

境 2:上述方程分别表示了直线与圆,把这些直线与圆一般化,它们的方程分别是什 么?我们知道,同一条曲线在不同的坐标系中,会有不同的方程。为了研究问题方便, 有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程。根据点的直角坐标 与极坐标互化关系式,曲线方程两种形式的互化便可以顺利完成。 、题目探析,体会感受过程, (二) 题目探析,体会感受过程,归纳总结 、题目探析 1、基础巩固导练 (1).已知点 P 的极坐标是(1, π ) ,则过点 P 且垂直极轴的直线极坐标方程 是 .

(2) .在极坐标系中, 曲线 ρ = 4 sin(θ ?

π
3

) 一条对称轴的极坐标方程

.

(3).在极坐标中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ρ = 4 cos θ 于 A、B 两点. 则|AB|= .

(4).已知三点 A(5,

π
2

),B(-8,

11 7 π ),C(3, π ),则ΔABC 形状为 6 6

.

13

(5).已知某圆的极坐标方程为:ρ –4 2 ρcon(θ-π/4)+6=0 则:A.圆的普通方 . : 程 为 、 .
5π 2 2 ; (3) 2 3 ; . (4) .等边三角形; (5).(x-2) +(y-2) =2; 6

2

;B.圆上所有点(x,y)中 xy 的最大值和最小值分别

(2) θ = . (1) .ρcosθ= -1; ;9、1; 2、例题精讲

例 1、 【课本 P15 页例 10】将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程。 (1) 、ρcosθ ?ρ sin θ ? 2 =0;
(2) ρ ? cos θ = 0 ; 、 (3) 、

ρ

2

cos 2θ = 16

学生练习, 教师准对问题讲评。 反思归纳: 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法。 反思归纳: 例 2、 【课本 P15 页例 11】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程。

x (1) 、X-Y-2=0; 、 x + y ? 2ax = 0 ; 、 25 + (2) (3)
2 2

2

y
9

2

= 1 (4) 64 、

y

2

? x = 1 (5 ) 、 36

2

y

2

= ?48x

反思归纳: 反思归纳:曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法。

、强化巩固导练: (三) 强化巩固导练:学生练习课本 P17 页练习题中 2、3、5 、强化巩固导练 (四) 小结:本节课学习了以下内容:1.求曲线的极坐标方程,就是建立以ρ,θ为 、小结: 、小结 变量的方程;类似于直角坐标系中的 x,y;2.求直线和圆的极坐标方程的基本步骤。3、 要会熟练地进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化。 、作业: (五) 作业:课本 P18 页 A 组 5、6、10 、作业 B 组中 2

课外练习(1)化在直角坐标方程 x 2 + y 2 ? 8 y = 0 为极坐标方程, (2)化极坐标方程

π ρ = 6 cos(θ ? ) 为直角坐标方程。
3

五、教学反思: 教学反思:

14

第六课时 一、教学目的: 教学目的

圆锥曲线统一的极坐标方程 圆锥曲线统一的极坐标方程 曲线统一

知识目标:进一步学习在极坐标系求曲线方程 能力目标:求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二重难点:教学重点 二重难点:教学重点:圆锥曲线极坐标方程的统一形式 教学难点:方程中字母的几何意义 教学难点 三、教学方法 教学方法:启发、诱导发现教学. 方法 四、教学过程: 教学过程: 、复习引入: (一) 复习引入: 1、问题情境 情境 1:直线与圆在极坐标系下都有确定的方程,我们熟悉的圆锥曲线呢? 情境 2:按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗? 2、学生回顾 (1) .求曲线方程的方程的步骤 (2) .两种坐标互化前提和公式 (3) .圆锥曲线统一定义 (二) 、讲解新课: 1、由必修课的学习我们已经知道:与一个定点的距离和一条定直线(定点不在定直 线上) 的距离的比等于常数 e 的点的轨迹, e=1 时, 当 是抛物线。 那么当 0<e<1 及 e>1 时,点的轨迹是什么曲线呢?可以借助极坐标系进行讨论。 2、圆锥曲线的统一方程 设定点的距离为 P ,求到定点到定点和定直线的距离之比为常数 e 的点的轨迹 的极坐标方程。分析:①建系 ②设点 ③列出等式 ④用极坐标 ρ 、 θ 表示上述等式,并化简得极坐标方程

15

说明:⑴为便于表示距离,取 F 为极点,垂直于定直线 l 的方向为极轴的正方向。 ⑵ e 表示离心率, P 表示焦点到准线距离。

3500

3000

2500

2000

A
1500

M L1

1000

l
500

-3000

-2000

-1000

O
-500

F

1000 B

2000

3000

4000

5000

6000

-1000

L2

-1500

-2000

-2500

ρ = 1?eep θ 学生根据分析求出圆锥曲线的统一方程, cos
3 、 圆 锥 曲 线 的 统 一 方 程 ,
(1 ? e ) x +
2 2

ρ = 1?eep θ cos

化 为 直 角 坐 标 方 程 为

y

2

? 2e px = e
2

2

p

2

,由此可由 e 与 0 和 1 的大小关系确定曲线形状。

4、思考交流:学生讨论交流课本 P18 页的问题:当 0<e<1 时,方程(1)表示了 什么曲线?角 θ 在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点?当 e>1 时,方程(1)表 示了什么曲线?角 θ 在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点? 2、例题讲解 例题:2003 年 10 月 15—17 日,我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射 并按预定方案安全、准确的返回地球,它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭 圆,椭圆的近地点(离地面最近的点)和远地点(离地面最远的点)距离地面分别为

16

200km 和 350km,然后进入距地面约 343km 的圆形轨道。若地球半径取 6378km,试写 出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。 变式训练 已知抛物线 y 2 = 4 x 的焦点为 F 。 (1)以 F 为极点, x 轴正方向为极轴的正方向,写出此抛物线的极坐标方程; (2)过取 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若|AB|=16,运用抛物线的极坐标 方程,求直线 l 的倾斜角。 (三)、巩固练习:从极点 O 作圆 C:ρ=8cos θ 的弦 ON,求 ON 的中点 M 的轨迹方程。 答案:ρ=4cos θ (四) 、小结:本课学习了以下内容:1、我们推导了圆锥曲线统一的极坐标方程,体 会和掌握了求曲线的极坐标方程的方法步骤。2、把圆锥曲线统一的极坐标方程化为 了直角坐标方程,从而判断了曲线形状,强化了互化公式的应用。3、进一步理解和 掌握了圆锥曲线统一的定义。 (五) 、作业:课本 P19 页 A 组中 8、9、10 五、教学反思: 教学反思: 反思 B 组中 2

17

第七课时 一、教学目的: 教学目的

常用曲线的极坐标方程

知识目标:进一步领会求简单曲线的极坐标方程的基本方法 能力目标:感受极坐标系椭圆抛物线和双曲线的完美统一 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:运用互换公式,求曲线的性质 重难点:教学重点 教学难点:准确求出曲线的直角坐标系方程 教学难点 三、教学方法 教学方法:讲练结合,探析归纳。 方法 四、教学过程: 教学过程 、复习引入: (一) 复习引入: 学生回顾 1.求曲线极坐标方程的方法 2.常用曲线的极坐标方程 、 (二) 基础训练 1.直线 ρ cos(θ + α ) = m(α ≠ 2.极坐标方程 ρ =
kπ 2
k ? z ) 的斜率是

. 。

答案:cotα 椭圆

16 表示的曲线是 2 ? sin θ

3.曲线 ρ sin θ = 2 和 ρ = 4 sin θ ( ρ > 0,0 ≤ θ < 2π ) 的交点坐标 4.在极坐标系中与圆 ρ = 4 sin θ 相切的一条直线方程为 A、 ρ sin θ = 2 C、 ρ cos θ = 4 5.椭圆 ρ =
9 的长轴长 5 ? 4 cos θ



C )

B、 ρ cos θ = 2 D、 ρ cos θ = ?4 . 答案:10

6. (2009 上海理 上海理)在极坐标系中,由三条直线 θ = 0 , θ =

π
3



ρ cos θ + ρ sin θ = 1 围成图形的面积是________.

【答案】

3? 3 4

w. w.w. k. s.5.u.c.o.m

【解析】化为普通方程,分别为:y=0,y= 3 x,x+y=1,画出三条直线的

18

图象如右图,可求得 A(

3 ?1 3 ? 3 1 3? 3 , ) ,B(1,0) ,三角形 AOB 的面积为: × 1 × = 2 2 2 2

3? 3 4
7. 2009 安徽理)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同 ( 安徽理) 的长度单位。已知直线的极坐标方程为 θ = 于两点 A 和 B,则|AB|=_______. [解析] 直线的普通方程为 y = x ,曲线的普通方程 ( x ? 1) + ( y ? 2) = 4
2 2

π

4

( ρ ∈ R ) ,它与曲线 ( x ? 1)2 + ( y ? 2) 2 = 4 相交

∴ | AB |= 2 2 ? (
2

|1 ? 2 | 2 ) = 14 1+1

(二) 、典型题目探析:

例1 【课本 P19 页 B 组中 10】 求曲线 ρ cos θ + 1 = 0 关于直线 θ =
学生练习教师准对问题讲评。 ρsin θ =-1】 【

π
4

对称的曲线方程。

例 2、(2009 辽宁理)(本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方 程为 ρ cos( θ ? )=1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点。 3 (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程。 解: (Ⅰ)由 ρ cos(θ ?
1 x + 2 即 x + 3 2 3 y 0 时, = y = 1

π

π
3

) = 1得 ρ ( cos θ +

1 2

3 sin θ ) = 1 ,从而 C 的直角 2

2

θ θ

= =

ρ ρ

= =

2 ,所以 2 3 3

M ,所以

( 2 ,0 ) N ( 2 3 3 ,

π
2

时,

π
2

)

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为 (0,
3 2 3 π

2 3 ) 3

所以 P 点的直角坐标为 (1. 3 ), 则P点的极坐标为( 3 , 6 ), 例 3、已知 A、B 为椭圆 (1)求证
x2 y2 + = 1(a > b > 0) 上两点,若 OA ⊥ OB 。 O 为原点) ( a 2 b2

1 1 + 为定值; 2 | OA | | OB | 2

19

(2)求 ?AOB 面积的最值。 (三) 巩固与练习 、巩固与练习 、 x2 y2 设 P、Q 是双曲线 2 ? 2 = 1(0 < a < b) 上的两点,若 OP ⊥ OQ 。 a b 求证:
1 1 + 为定值; 2 | OP | | OQ | 2

、小结: (四) 小结:本节课学习了以下内容: 1.熟练掌握直角坐标与极坐标的互化公式进行互化; 2.仔细审题,准确把握题目要求; 3.注意回答题目的的背景是直角坐标还是极坐标. 、作业: (五) 作业:课本 P25A 组中 3、4、5、 五、教学反思: 教学反思: 反思 B 组中 2

20

第八课时 一、教学目的: 教学目的

球坐标系与柱坐标系

知识目标:了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标:了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和 重难点:教学重点 联系。 教学难点:利用它们进行简单的数学应用。 教学难点 三、教学方法 教学方法:启发、诱导发现教学. 方法 四、教学过程: 教学过程 、复习引入: (一) 复习引入: 情境:我们用三个数据来确定卫星的位置,即卫星到地球中心的距离、经度、纬 度。 问题:如何在空间里确定点的位置?有哪些方法? 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 (二) 、讲解新课: 1、球坐标系 设 P 是空间任意一点,在 oxy 平面的射影为 Q,连接 OP,记| OP |= r ,OP 与 OZ 轴正向所夹的角为 θ ,P 在 oxy 平面的射影为 Q,Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转 过的最小正角为 ? ,点 P 的位置可以用有序数组 (r , θ , ? ) 表示,我们把建立上述对应关 系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组 (r , θ , ? ) 叫做点 P 的球坐标,其中 r ≥0,0≤ θ ≤ π ,0≤ ? <2 π 。 空间点 P 的直角坐标 ( x, y, z ) 与球坐标 (r , θ , ? ) 之间的变换关系为:

21

?x 2 + y 2 + z 2 = r 2 ? ? x = r sin θ cos ? ? ? y = r sin θ sin ? ? z = r cos θ ?

M

Z O

r

P

2、柱坐标系 设 P 是空间任意一点,在 oxy 平面的射影为 Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表 示点在 平面 oxy 上的极坐标,点 P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系 的坐标系叫做柱坐标系 有序数组(ρ,θ,Z)叫点 P 的柱坐标,其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R 空间点 P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为:

? x = ρ cos θ ? ? y = ρ sin θ ? z=z ?

22

M

Z O

r

P

3、数学应用 例 1 建立适当的球坐标系,表示棱长为 1 的正方体的顶点. 变式训练:建立适当的柱坐标系, 表示棱长为 1 的正方体的顶点. 例 2.将点 M 的球坐标 (8, 变式训练 1.将点 M 的直角坐标 (?1,?1, 2 ) 化为球坐标. 2.将点 M 的柱坐标 (4,

π 5π
3 , 6

) 化为直角坐标.

π
3

,8) 化为直角坐标.

3.在直角坐标系中点 (a, a, a ) (a >0)的球坐标是什么? 例 3.球坐标满足方程 r=3 的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程. 变式训练 极坐标满足方程 ρ =2 的点所构成的图形是什么? 例 4.已知点 M 的柱坐标为 ( 2 ,

π
4

,3), 点 N 的球坐标为 (2,

π π

, ), 求线段 MN 的长度. 4 2

23

? ? π ? 思考:在球坐标系中,集合 M = ?(r , θ , ? ) 2 ≤ r ≤ 6,0 ≤ θ ≤ ,0 ≤ ? ≤ 2π ? 表示的图形的 2 ? ? ?

体积为多少? (三) 、巩固练习:课本 P22 页练习 3 (四) 、小结:本节课学习了以下内容:1.球坐标系的作用与规则; 2.柱坐标系的作 用与规则。3、球坐标、柱坐标、直角坐标的互化公式的理解与运用。 (五)、作业:课本 P22 页 1、2、3 五、教学反思: 教学反思: 反思

24


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