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浙江省名校新高考研究联盟2018届第一次联考

时间:2018-06-26


绝密★考试结束前

浙江省名校新高考研究联盟 2018 届第一次联考

数学试题卷
命题: 萧山中学 金东平、王芳 平阳中学 温仙仙、童彩棉

考生须知: 1. 本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2. 答题前务必将自己的姓名 ,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答 题纸规定的地方。 3. 答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范答题,在本 试卷纸上答题一律无效。 4. 考试结束后,只需上交答题卷。 参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 柱体的体积公式

P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? 如果事件 A, B 相互独立,那么 P ? AB ? ? P ? A? P ? B ?
如果事件

V ? Sh
其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 锥体的体积公式

A 在一次试验中发生的概率为 p ,那么 n
k n k n?k

V ?

次独立重复试验中事件

A 恰好发生 k 次的概率为 P k ? C p (1 -p) ? k ? 0,1, 2,?, n ? n? ?
1 3 ( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) h

Sh 3 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高

1

球的表面积公式

台体的体积公式

S ? 4?R 2
球的体积公式

V ?

其中 S1 , S 2 分别表示台体的上、下底面积,

V?

3 4

?R 3

h 表示为台体的高

其中 R 表示球的半径

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知 U ? R ,集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 1? ,则 ?U A ? A. ( ?1,1) 2.复数 A.4 B. (??, ?1) ? (1, ??) C. [ ?1,1] D.(??, ?1] ? [1, ??)

3 ? 4i 的模是 i
B.5 C.7 D.25

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? y ≥ 0, ? 3.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≤ 0, 则 z ? 2 x ? y 的取值范围是 ?2 x ? y ≥ 0, ?

A. [4, ??)

B. [0,6]

C. [0,4] C. n ? l

D. [6, ??) D. m ? n

4.已知互相垂直的平面 ? , ? 交于直线 l .若直线 m, n 满足 m //? , n⊥? ,则 A. l //m 5.函数 y ? B. m //n

sin x 的大致图像为 2cos x
y
y

A.

O

x

B.

O

x

y

y

C.
O x

D.

O

x

6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三 百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层 灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的底层共有灯 A.186 盏 B.189 盏 C.192 盏 D.96 盏

7.安排 4 名志愿者完成 5 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安排方 式共有 A.1440 种 B.720 种 C.480 种 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 8.已知向量 a, b 满足 | a ? b |? 4 , | a ? b |? 3 ,则 | a | ? | b | 的范围是 A. [3,5] B. [4,5] C. [3,4] D.240 种 D. [4,7]

9.设 U ? ?1,2,3,?,100? , f 是 U ? U 的映射,则 “ U ? f ( x) x ?U ” 是 “ 当 x1 ? x2 时,

?

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”的
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

10.已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b 的两个零点 x1 , x2 ,满足 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,则 f (0) f (2) 的取值范 围是 A. (0,1) B. (0, 2) C. (1,2) D. (1,4)

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非选择题部分 (共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 11.抛物线 x2 ? y 的焦点坐标是 12.已知随机变量 X 的分布列是: ,离心率是 .

X P
则 m?

0

1

2

1 6

1 3
, E( X ) =

m
. ,
第 13 题图

13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 最长棱的长度是 .

14 . 在 △ ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 若 a ? 2 , B ?

? , tan C ? 7 , 则 4
D

sin A ?
15.若二项式 (ax ?

, S△ ABC ?



1 6 ) (a ? 0) 的展开式中 x3 的系数为 A ,常数项为 B , x

若 A ? 4B ,则 B ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? 16.已知向量 a, b, c 满足 | a |? 1, | b |? k , | c |? 2 ? k 且 a ? b ? c ? 0 ,则 ? ? ? ? b 与 c 夹角的余弦值的取值范围是 . 17.如图, 已知正四面体 D ? ABC ,P 为线段 AB 上的动点 (端点除外) , 则二面角 D ? PC ? B 的平面角的余弦值的取值范围是 .

A P B

C

第 17 题图

三、解答题: 本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ? ? ? ? 18. (本题满分 14 分)已知向量 a ? (sin ? x,sin ? x) , b ? (sin ? x,cos ? x)(? ? 0) .函数 f ( x) ? a ? b 的图像相邻两条对称轴的距离为 (Ⅰ)求 ? 的值;

? . 4

? (Ⅱ)当 x ?[0, ] 时,求函数 f ( x) 的值域. 4

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19. (本题满分 15 分)如图,已知三棱锥 D ? ABC ,

D

DC ? DA ? AB ? 2BC ,AC ? BC , 平面ABD ? 平面CBD ,

M 是 BD 中点.
(Ⅰ)证明: BC ? 平面MAC ; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 ABC 所成的角的正弦值.
A B M

C

第 19 题图

20. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ex ? a( x ? 1) . (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 f ( x) 有最小值且最小值大于 a 2 ? a 时,求 a 的取值范围.



21. (本题满分 15 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,焦距 2 a b 2

为 2. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)记斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,椭 ???? ? ???? ???? ? 圆 C 上存在点 p 满足 OP ? OA ? OB , 求四边形

OAPB 的面积.

第 21 题图

22. (本题满分 15 分)数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,an?1 ? (1 ? (Ⅰ) an?1 ? an ; (Ⅱ)

1 )a (n ? N*) .证明:当 n ? N * 时, n ?n n
2

2n en . ≤ an ≤ n ?1 n ?1

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数学参考答案
一、选择题: (共 8 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1.答案:D 2.答案:B 分析: 1 D 2 B 3 B 4 C 5 A 6 C 7 D 8 B 9 C 10 A

分析: CU A ? ? ??, ?1? ? ?1, ???

3 ? 4i ? 4 ? 3i ? 16 ? 9 ? 5 i

3. 答案:B 4.答案:C 分析:因为 ? ? ? ? l ,所以 l ? ? ,又因为 n ? ? ,所以 n ? l . 5. 答案:A 分析: y ? 6. 答案:C. 分析:设塔的底层共有灯 x 盏,则各层的灯数构成一个首项为 x ,公比为

sin x ? 是奇函数, x ? (0, ) 时, y ? 0 ,故选 A. cos x 2 2
1 的等比数列. 2

1 x(1 ? ( )7 ) 2 ? 381 ,解得 x ? 192 . 1 1? 2
7. 答案:D
2 3 分析:完成一件事情:一人完成两项工作,其余三人每人完成一项工作 C5 A3 ? 240 ,

8. 答案:B

分析: a ? b ? max a ? b , a ? b ? 4 ,

?

?

? ? ? ?2 ? ?2 ? ? ( a ? b )2 ? a ? b ? a ? b ? 25 ,所以 a ? b ? 5 .
9. 答案:C. 分析:“ U ? ? f ( x) x ?U ? ”等价于“ y ? f ( x) 是一一映射”,故选 C. 10. 答案:A. 分析:设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) , 则 f (0) ? x1 x2 , f (2) ? (2 ? x1 )(2 ? x2 ) .

?

? ? ? ?

?

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一方面: f (0) f (2) ? 0 , 另一方面:

? x ? 2 ? x1 ? x2 ? 2 ? x2 2 f (0) ? f (2) ? x1 x2 (2 ? x1 )(2 ? x2 ) ? x1 (2 ? x1 ) x2 (2 ? x2 ) ? ? 1 ) ?1 ? ( 2 2 ? ? “ ? ”的条件是 x1 ? x2 ? 1,但 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,所以“ ? ”取不到.
所以 f (0) ? f (2) 的取值范围是 ? 0,1? . 二、填空题: (共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 11. 答案:焦点坐标是 F (0, ) ,离心率是 1.

2

1 4

1 4 2 3 1 1 1 分析: ? ? m ? 1 ? m ? 6 3 2 8 13. 答案: , 2 3 . 3
12. 答案: 分析:该几何体是四棱锥,体积为 线2 3.

1 1 1 4 E ( x )? 0 ? ? ? 1 ? ? 2 ? 6 3 2 3

8 ,最长棱的长度为方体的对角 3

4 7 , S ?ABC ? 5 4 ? 4 a b 5 2 ? 分析: sin A ? sin( B ? ) ? ,由正弦定理知: ,所以 b ? , 4 5 sin A sin B 4 1 1 5 2 7 7 ab sin C ? ? 2 ? ? ? 2 2 4 5 2 4 15. 答案: B ? 60 . 3 6? r 1 r r r 6? r r 分析: Tr ?1 ? (?1) C6 (ax) ( ) ? (?1)r a 6?r C6 x 2 x 3 2 令 6 ? r ? 3 得 r ? 2 ,则 A ? a4C6 ? 15a4 2 3 4 令 6 ? r ? 0 得 r ? 4 则 B ? (?1)4 a2C6 ? 15a2 , 2 4 2 又由 A ? 4 B 得 15a ? 4 ?15a ,则 a ? 2 , B ? 60 . 1 16. 答案: [ ?1, ? ] 2
14. 答案: sin A ? 分析: 法一:设 b与c 的夹角为 ? ,由题 b ? c ? ?a ,?b ? c ? 2b ? c ? 1
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? ?

? ?

?

? 2 ?2

? ?

2k 2 ? 4k ? 3 3 ? 1? 2 2k ? 4k 2(k ? 1)2 ? 2 ? ? ? ? ? 1 3 k ?2? | 1? ? k ? ?|a |?| b ? c |?| b ? c | ?| 2 2 2 1 ??1 ? cos ? ? ? 2 ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 法二:设 a ? AB, b ? BC, c ? CA ? | C A |? | C B ? 2? 点 C 的轨迹为以 A、B 为焦点的 椭圆.根据椭圆的对称性,当点 C 在椭圆的顶点处取得最值.(注意向量夹角的定义)
即 cos ? ?
1 1 17.答案: (? , ) . 3 3 分析:当点 P 从 A 运动到 B ,二面角 D ? PC ? B 的平面角逐渐增大,二 面角 D ? PC ? B 的平面角最小趋近于二面角 D ? AC ? B 的平面角,最大 趋近于二面角 D ? BC ? A的平面角的补角,故余弦值的取值范围是 1 1 (? , ) . 3 3
D

A P B

C

三、解答题:(本大题共 5 小题,共 74 分). 18. 本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ) f ( x) ? sin ? x ? sin ? x ? cos ? x ?
2

T ? ? 2? ? ,? T ? ? ,? ? ? 2 ……7 分 2 4 2 2? 2 ? 1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? ……10 分 sin(4 x ? ) ? , 0 ? x ? 2 4 2 4 ? 2 ? x ? ? ? ? 3? ? ? ?? sin( ? ) ? ? ? ,1? ……13 分 因为 x ? ?0, ? 4 x ? ? ? ? , ? 4 4 ? 2 ? 4 ? 4 4 ?, ? 4?,
由题知 所以 f ( x) ? ?0, 2 ? 1 ? . ? ? ……14 分

1 1 1 sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2

……4 分

?

2

?

19. 本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想 象 能力和运算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ)由 AD ? AB 得 AM ? BD , D 由 平面ABD ? 平面CBD 得 AM ? 平面CBD ,所以 AM ? BC , 又因为 AC ? BC ,所以 BC ? 平面MAC . ……6 分 (Ⅱ)过 M 作 ME ? AC 且 ME ? AC ? E ,连结 EB . M 由 BC ? 平面MAC 得 平面MAC ? 平面ABC , 所以 ME ? 平面 ABC ,故 ?MBE 为直线 BD 与平面 ABC 所成的 角. ……10 分 A E 不妨设 DC ? DA ? AB ? 2 BC ? 2 .
B

C

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由 AC ? BC 得 AC ? 3 . 由 AM 2 ? MC 2 ? AC 2 , AM 2 ? MB 2 ? AB 2 ,
2(MC 2 ? MB2 ) ? CD2 ? CB2 得 AM ?
3 7 3 , MC ? , MB ? . 2 2 2

所以 ME ?

3 7 3 , sin ?MBE ? , 14 4

3 7 . ……15 分 14 20. 本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题的

故直线 BD 与平面 ABC 所成的角的正弦值是

能 力。满分 15 分。
x (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 R , f ?( x) ? e ? a ,

……2 分

若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上是单调递增的;……4 分 若 a ? 0 ,则当 x ? (??,ln(?a)) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (??, ln(?a)) 上是单调递减; 当 x ? (ln(?a), ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (ln(?a), ??) 上是单调递增;……7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知当 a ? 0 时 f ? x ? 在 R 无最小值, 当 a ? 0 时 f ? x ? 在 x ? ln(?a) 取得最小值, 最大值为 f ? ln(?a) ? ? ?a ? a ? ln(?a) ? 1? ? a ln(?a) 因此 f ? ln(?a) ? ? a ? a ? ln(?a) ? a ?1 ? 0 .
2

……8 分

……9 分 ……11 分

令 g ? a ? ? ln(?a) ? a ?1 , 则 g ? a ? 在 ? ??,0? 是减函数 g (? 1) ? 0, 于是 , 当 ?1 ? a ? 0 时, g ? a ? ? 0 ,当 a ? ?1 时 g ? a ? ? 0 ,因此 a 的取值范围是 ? ?1,0? . ……15 分 21. 本题主要考查直线方程、 直线与椭圆的位置关系等基础知识, 同时考查解析几何的基本思想 方法和运算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ) c ? 1, a ? 2, b ? 3 ,椭圆 C 的方程是:

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

……4 分

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) ,直线 AB : y ? kx ? m

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? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 联立,消去 y ,可得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4
故 ? ? 48(4k 2 ? 3 ? m2 ) ? 0 且

?8km ? x1 ? x2 ? ? ? 3 ? 4k 2 ? 2 ? x ? x ? 4m ? 12 ? 1 2 3 ? 4k 2 ?
由 OP ? OA ? OB ,可得 ?

……7 分

??? ?

??? ? ??? ?

? x0 ? x1 ? x2 , ? y0 ? y1 ? y2

且点 P 在椭圆 C 上.所以

( x1 ? x2 )2 ( y1 ? y2 )2 ? ?1 4 3

……9 分

y ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 其中 x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 , 1 3 ? 4k 2
代入 ( x1 ? x2 )
2
2 2 ( y1 ? y2 )2 可得 4m ? 3 ? 4k . ? ?1 3

?8km

6m

……11 分

4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1 ? k 2


m 4 3 3 ? 4k 2 ? m 2 . d o ?l ? 2 3 ? 4k , 1? k 2

……13

所以四边形 AOBP 的面积 S ? AB do?l ?

4 3 3 ? 4k 2 ? m2 ? m 12m2 ? ? 3 . ……15 3 ? 4k 2 4m2

分 22. 本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识,不等式及其应用,同时考查推理 论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分 15 分。 (Ⅰ)用数学归纳法证明 an ? 0 . (1)当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 0 ; (2)假设当 n ? k 时, ak ? 0 ,

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则 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? (1 ?

1 )ak ? 0 . k2 ? k

由(1) (2)得,当 n ? N * 时, an ? 0 . 所以 an?1 ? (1 ?
1 )an ? an (n ? N*) n ?n
2

……5 分

注:直接给出 an ? 0 不扣分. (Ⅱ)用数学归纳法证明 an ≥
2n . n ?1 2 ; 1?1 2k , k ?1

(1)当 n ? 1 时, a1 ? 1≥

(2)假设当 n ? k 时, ak ≥ 则 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? (1 ?

1 2(k 2 ? k ? 1) 2(k ? 1) ) a ≥ ≥ . k k2 ? k (k ? 1)2 k?2
2n . n ?1

由(1) (2)得,当 n ? N * 时, an ≥ 由 an?1 ? (1 ?
2

……10 分

1 1 1 1 1 , )an 得 ln an?1 ? ln an ? ln(1 ? 2 )≤ 2 ? ? n ?n n ?n n ? n n n ?1

1 1 en en 所以 ln an ≤1 ? ≤1 ? ln(1 ? ) ? ln ,所以 an ≤ . n n n ?1 n ?1

综上,当 n ? N * 时,

2n en . ≤ an ≤ n ?1 n ?1

……15 分

命题:萧山中学 金东平 王 芳 平阳中学 温仙仙 童彩棉

电话:18057153036 电话:18057153077 电话:13706637846 电话:13758831830

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