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2018版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算理

时间:2017-10-26


第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合及其运算 理

1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 符号 自然数集 N 正整数集 N (或 N+)
*

整数集 Z

有理数集 Q

实数集 R

2.集合间的基本关系 关系 自然语言 集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即若 符号语言 Venn 图

子集

x∈A,则 x∈B)
集合 A 是集合 B 的子集,且集合 B 中至 少有一个元素不在集合 A 中 集合 A,B 中的元素相同或集合 A,B 互 为子集

A? B(或 B? A)

真子集

A?B(或 B?A)

集合相等

A=B

3.集合的基本运算 运算 交集 自然语言 由属于集合 A 且属于集合 B 的 所有元素组成的集合 由所有属于集合 A 或属于集合 符号语言 Venn 图

A∩B={x|x∈A 且 x∈B}

并集

B 的元素组成的集合
由全集 U 中不属于集合 A 的所 有元素组成的集合

A∪B={x|x∈A 或 x∈B}

补集

?UA={x|x∈U 且 x?A}

【知识拓展】
1

1.若有限集 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集个数为 2 ,真子集的个数为 2 -1. 2.A? B?A∩B=A?A∪B=B. 3.A∩?UA=?;A∪?UA=U;?U(?UA)=A. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( × ) (2){x|y=x +1}={y|y=x +1}={(x,y)|y=x +1}.( × ) (3)若{x ,1}={0,1},则 x=0,1.( × (4){x|x≤1}={t|t≤1}.( √ ) (5)对于任意两个集合 A,B,关系(A∩B)? (A∪B)恒成立.( √ (6)若 A∩B=A∩C,则 B=C.( × ) )
2 2 2 2

n

n

)

1.(教材改编)若集合 A={x∈N|x≤ 10},a=2 2,则下列结论正确的是( A.{a}? A C.{a}∈A 答案 D 解析 由题意知 A={0,1,2,3},由 a=2 2,知 a?A. B.a? A D.a?A

)

2.(2016·江西重点中学联考)已知集合 A={x|x -6x+5≤0},B={x|y= x-3},则 A∩B 等于( )

2

A.[1,3] B.[1,5] C.[3,5] D.[1,+∞) 答案 C 解析 根据题意,得 A={x|x -6x+5≤0}={x|1≤x≤5},
2

B={x|y= x-3}={x|x≥3},
所以 A∩B={x|3≤x≤5}=[3,5]. 3.已知集合 A={x|x -x-2≤0},集合 B 为整数集,则 A∩B 等于( A.{-1,0,1,2} C.{0,1} 答案 A 解析 因为 A={x|x -x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合 B 为整数集,所以集合 A∩B ={-1,0,1,2},故选 A. 4.(2016·天津)已知集合 A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则 A∩B 等于( A.{1} B.{4} )
2 2

)

B.{-2,-1,0,1} D.{-1,0}

2

C.{1,3} 答案 D

D.{1,4}

解析 因为集合 B 中,x∈A,所以当 x=1 时,y=3-2=1; 当 x=2 时,y=3×2-2=4; 当 x=3 时,y=3×3-2=7; 当 x=4 时,y=3×4-2=10; 即 B={1,4,7,10}. 又因为 A={1,2,3,4},所以 A∩B={1,4}.故选 D. 5.(2016·云南名校联考)集合 A={x|x-2<0},B={x|x<a},若 A∩B=A,则实数 a 的取值 范围是____________. 答案 [2,+∞) 解析 由 A∩B=A,知 A? B,

从数轴观察得 a≥2.

题型一 集合的含义 例 1 (1)(2017·济南调研)设 P, Q 为两个非空实数集合, 定义集合 P+Q={a+b|a∈P, b∈Q}, 若 P={0,2,5},Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数是( A.9 B.8 C.7 D.6 (2)若集合 A={x∈R|ax -3x+2=0}中只有一个元素,则 a=________. 9 答案 (1)B (2)0 或 8 解析 (1)当 a=0 时,a+b=1,2,6; 当 a=2 时,a+b=3,4,8; 当 a=5 时,a+b=6,7,11. 由集合中元素的互异性知 P+Q 中有 1,2,3,4,6,7,8,11 共 8 个元素.
?2? (2)若 a=0,则 A=? ?,符合题意; ?3?
2

)

9 若 a≠0,则由题意得 Δ =9-8a=0,解得 a= . 8 9 综上,a 的值为 0 或 . 8 思维升华 (1)用描述法表示集合, 首先要搞清楚集合中代表元素的含义, 再看元素的限制条

3

件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合;(2)集合中元素的互异性常常容易 忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. (1)(2016·临沂模拟)已知 A={x|x=3k-1, k∈Z}, 则下列表示正确的是( A.-1?A C.3k -1∈A(k∈Z)
2

)

B.-11∈A D.-34?A
? ?

(2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0, ,b?,则 b-a=________.
?

b a

?

答案 (1)C (2)2 解析 (1)∵k∈Z,∴k ∈Z,∴3k -1∈A. (2)因为{1,a+b,a}=?0, ,b?,a≠0,
? ? ?
2 2

b a

?

所以 a+b=0,得 =-1, 所以 a=-1,b=1,所以 b-a=2. 题型二 集合的基本关系 例2 (1)(2016·唐山一模)设 A,B 是全集 I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足 A? B )

b a

的 B 的个数是(

A.5 B.4 C.3 D.2 (2)已知集合 A={x|x -2 017x+2 016<0},B={x|x<a},若 A? B,则实数 a 的取值范围是 __________________. 答案 (1)B (2)[2 016,+∞) 解析 (1)∵{1,2}? B,I={1,2,3,4}, ∴满足条件的集合 B 有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共 4 个. (2)由 x -2 017x+2 016<0,解得 1<x<2 016, 故 A={x|1<x<2 016}, 又 B={x|x<a},A? B,如图所示,
2 2

可得 a≥2 016. 引申探究 本例(2)中, 若将集合 B 改为{x|x≥a}, 其他条件不变, 则实数 a 的取值范围是____________. 答案 (-∞,1] 解析 A={x|1<x<2 016},B={x|x≥a},A? B,如图所示,

4

可得 a≤1. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则 会造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时, 关键是将条件转化为元素或区间端点间的 关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题. (1)已知集合 A={x∈R|x +x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若 B? A,则实数
2

a 的值为(
1 1 A. 或- 3 2 1 1 C. 或- 或 0 3 2

) 1 1 B.- 或 3 2 1 1 D.- 或 或 0 3 2

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B? A,则实数 m 的取值范围是 ____________. 答案 (1)D (2)(-∞,4] 解析 (1)由题意知 A={2,-3}. 当 a=0 时,B=?,满足 B? A; 1 当 a≠0 时,ax-1=0 的解为 x= ,

a

1 1 由 B? A,可得 =-3 或 =2,

a

a

1 1 ∴a=- 或 a= . 3 2 1 1 综上,a 的值为- 或 或 0. 3 2 (2)当 B=?时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2; 当 B≠?时,若 B? A,如图,

m+1≥-2, ? ? 则?2m-1≤7, ? ?m+1<2m-1,

解得 2<m≤4.

综上,m 的取值范围为(-∞,4]. 题型三 集合的基本运算 命题点 1 集合的运算 例 3 ( ) (1)(2016·全国乙卷)设集合 A={x|x -4x+3<0},B={x|2x-3>0},则 A∩B 等于
2

5

3? ? A.?-3,- ? 2? ?

3? ? B.?-3, ? 2? ?

? 3? C.?1, ? ? 2?
A.[2,3] C.[1,2) 答案 (1)D (2)B

?3 ? D.? ,3? ?2 ?
2

(2)(2016·浙江)已知集合 P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x ≥4},则 P∪(?RQ)等于( B.(-2,3] D.(-∞,-2]∪[1,+∞)

)

解析 (1)由 A={x|x -4x+3<0}={x|1<x<3},

2

B={x|2x-3>0}={x|x> },
3 ?3 ? 得 A∩B={x| <x<3}=? ,3?,故选 D. 2 ?2 ? (2)由已知得 Q={x|x≥2 或 x≤-2}. ∴?RQ=(-2,2).又 P=[1,3], ∴P∪(?RQ)=[1,3]∪(-2,2)=(-2,3]. 命题点 2 利用集合的运算求参数 例 4 (1)设集合 A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若 A∩B≠?,则 a 的取值范围是( A.-1<a≤2 C.a≥-1
2

3 2

)

B.a>2 D.a>-1 )

(2)集合 A={0,2,a},B={1,a },若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为( A.0 B.1 C.2 D.4 答案 (1)D (2)D

解析 (1)因为 A∩B≠?,所以集合 A,B 有公共元素,作出数轴,如图所示,易知 a>-1.

(2)由题意可得{a,a }={4,16},∴a=4. 思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用 Venn 图表示;集合中的元素若是 连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关 系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. (1)(2016·山东)设集合 A={y|y=2 ,x∈R},B={x|x -1<0},则 A∪B 等于 ( ) B.(0,1) D.(0,+∞)
2

2

x

2

A.(-1,1) C.(-1,+∞)

(2)已知集合 A={x|x -x-12≤0},B={x|2m-1<x<m+1},且 A∩B=B,则实数 m 的取值范

6

围为(

) B.[-1,3] D.[-1,+∞)

A.[-1,2) C.[2,+∞) 答案 (1)C (2)D

解析 (1)∵A={y|y>0},B={x|-1<x<1}, ∴A∪B=(-1,+∞),故选 C. (2)由 x -x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,即-3≤x≤4,所以 A={x|-3≤x≤4}.又 A∩B =B,所以 B? A. ①当 B=?时,有 m+1≤2m-1,解得 m≥2. -3≤2m-1, ? ? ②当 B≠?时,有?m+1≤4, ? ?2m-1<m+1,
2

解得-1≤m<2.

综上,m 的取值范围为[-1,+∞). 题型四 集合的新定义问题 例 5 已知集合 A={(x,y)|x +y ≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}, 定义集合 A ? B={(x1+x2, y1+y2)|(x1, y1)∈A, (x2, y2)∈B}, 则 A ? B 中元素的个数为( A.77 B.49 C.45 答案 C 解析 如图,集合 A 表示如图所示的所有圆点“ ”,集合 B 表示如图所示的所有圆点“ ” +所有圆点“ ”,集合 A ? B 显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点 {(-3, -3), (-3,3), (3, -3), (3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点), 即集合 A ? B 表示如图所示的所有圆点“ ”+所有圆点“ ”+所有圆点“ ”, 共 45 个. 故 D.30 )
2 2

A ? B 中元素的个数为 45.故选 C.

思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义 的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破 解新定义型集合问题难点的关键所在; (2)用好集合的性质. 解题时要善于从试题中发现可以 使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. 定义一种新的集合运算△:A△B={x|x∈A,且 x?B}.若集合 A={x|x -4x+ 3<0},B={x|2≤x≤4},则按运算△,B△A 等于( )
2

7

A.{x|3<x≤4} C.{x|3<x<4} 答案 B

B.{x|3≤x≤4} D.{x|2≤x≤4}

解析 A={x|1<x<3},B={x|2≤x≤4},由题意知 B△A={x|x∈B,且 x?A}={x|3≤x≤4}.

1.集合关系及运算

典例 (1)已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m 等于( A.0 或 3 C.1 或 3
2

)

B.0 或 3 D.1 或 3 或 0
2

(2)设集合 A={0,-4},B={x|x +2(a+1)x+a -1=0,x∈R}.若 B? A,则实数 a 的取 值范围是________. 错解展示 解析 (1)由 A∪B=A 得 B? A,∴m=3 或 m= m, 故 m=3 或 m=0 或 m=1. (2)∵B? A,讨论如下: Δ =4?a+1? -4?a -1?>0, ? ? ①当 B=A={0,-4}时,?-2?a+1?=-4, ? ?a2-1=0, 解得 a=1. ②当 B?A 时,由 Δ =0 得 a=-1, 此时 B={0}满足题意, 综上,实数 a 的取值范围是{1,-1}. 答案 (1)D (2){1,-1} 现场纠错 解析 (1)A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,故 B? A,所以 m=3 或 m= m,即 m=3 或
2 2

m=0 或 m=1,其中 m=1 不符合题意,所以 m=0 或 m=3,故选 B.
(2)因为 A={0,-4},所以 B? A 分以下三种情况: ①当 B=A 时,B={0,-4},由此知 0 和-4 是方程 x +2(a+1)x+a -1=0 的两个根,由 根与系数的关系,得
2 2

8

Δ =4?a+1? -4?a -1?>0, ? ? ?-2?a+1?=-4, ? ?a2-1=0,

2

2

解得 a=1;

②当 B≠?且 B?A 时,B={0}或 B={-4}, 并且 Δ =4(a+1) -4(a -1)=0, 解得 a=-1,此时 B={0}满足题意; ③当 B=?时,Δ =4(a+1) -4(a -1)<0, 解得 a<-1. 综上所述,所求实数 a 的取值范围是(-∞,-1]∪{1}. 答案 (1)B (2)(-∞,-1]∪{1} 纠错心得 (1)集合的元素具有互异性,参数的取值要代入检验. (2)当两个集合之间具有包含关系时,不要忽略空集的情况.
2 2 2 2

1. (2016·四川)设集合 A={x|-2≤x≤2}, Z 为整数集, 则集合 A∩Z 中元素的个数是( A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C 解析 由题意可知,A∩Z={-2,-1,0,1,2},则 A∩Z 中的元素的个数为 5.故选 C. 2.已知集合 M={1,2,3,4},则集合 P={x|x∈M,且 2x?M}的子集的个数为( A.8 B.4 C.3 D.2 答案 B 解析 由题意得 P={3,4},∴集合 P 有 4 个子集. 3.已知集合 A={x|1<x<3},B={x|2m<x<1-m},若 A∩B=?,则实数 m 的取值范围是( 1 A.[ ,+∞) 3 C.(-∞,0] 答案 D 解析 ∵A∩B=?, 1 ①若 2m≥1-m,即 m≥ 时,B=?,符合题意; 3 1 ②若 2m<1-m,即 m< 时, 3 1 B.[0, ) 3 D.[0,+∞) )

)

)

9

1 ? ?m< , 3 需满足? ? ?1-m≤1

1 ? ?m< , 3 或? ? ?2m≥3,

1 1 解得 0≤m< 或?,即 0≤m< . 3 3 综上,实数 m 的取值范围为[0,+∞). 4.(2017·潍坊调研)已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则下图中阴 影部分所表示的集合为( )

A.{0,1} C.{1,2} 答案 B

B.{1} D.{0,1,2}

解析 因为 A∩B={2,3,4,5},而图中阴影部分为 A 去掉 A∩B,所以阴影部分所表示的集合 为{1}. 5.已知集合 A={x|-1<x<0},B={x|x≤a},若 A? B,则 a 的取值范围为( A.(-∞,0] C.(-∞,0) 答案 B 解析 用数轴表示集合 A,B(如图), B.[0,+∞) D.(0,+∞) )

由 A? B,得 a≥0. 6.(2016·河北衡水中学模拟)已知 U 为全集,集合 A={x|x -2x-3>0},B={x|2<x<4}, 那么集合 B∩(?UA)等于( A.{x|-1≤x≤4} C.{x|2≤x<3} 答案 B 解析 ∵A={x<-1 或 x>3}, ∴?UA={x|-1≤x≤3},B={x|2<x<4}, ∴B∩(?UA)={x|2<x≤3}. 7.(2016·宁夏银川二中考试)已知集合 A={x|y=lg(x-x )},B={x|x -cx<0,c>0},若
2 2 2

) B.{x|2<x≤3} D.{x|-1<x<4}

A? B,则实数 c 的取值范围是(
A.(0,1]

) B.[1,+∞)

10

C.(0,1) 答案 B

D.(1,+∞)

解析 由题意知,A={x|y=lg(x-x )}={x|x-x >0}=(0,1),B={x|x -cx<0,c>0}=(0,

2

2

2

c).由 A? B,画出数轴,如图所示,得 c≥1.

8.(2015·浙江)已知集合 P={x|x -2x≥0},Q ={x|1<x≤2},则(?RP)∩Q 等于( A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2] 答案 C 解析 ∵P={x|x≥2 或 x≤0},?RP={x|0<x<2}, ∴(?RP)∩Q={x|1<x<2},故选 C.

2

)

9.已知集合 A={x|x -3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A? C? B 的集 合 C 的个数为( )

2

A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 解析 由 x -3x+2=0,得 x=1 或 x=2,∴A={1,2}. 由题意知 B={1,2,3,4}. ∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共 4 个.
? ? ? 3? 1 *10.设集合 M=?x|m≤x≤m+ ?,N=?x|n- ≤x≤n?,且 M,N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集, 4? 3 ? ? ?
2

如果把 b-a 叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”, 那么集合 M∩N 的“长度”的最小值是( A. 1 2 B. 3 3 1 C. 12 D. 5 12

)

答案 C

m≥0, ? ? 解析 由已知,可得? 3 m+ ≤1, ? ? 4

? 1 1 ?n-3≥0, 即 0≤m≤ ;? 4 ? ?n≤1,

1 即 ≤n≤1,取 m 的最小 3

? 3? ?2 ? ? 3? ?2 ? ?2 3? 值 0,n 的最大值 1,可得 M=?0, ?,N=? ,1?,所以 M∩N=?0, ?∩? ,1?=? , ?,此 4 3 ? ? ? ? ? 4? ?3 ? ?3 4?
3 2 1 时集合 M∩N 的“长度”的最小值为 - = ,故选 C. 4 3 12 11.已知集合 A={m+2,2m +m},若 3∈A,则 m 的值为__________. 3 答案 - 2 解析 ∵3∈A,∴m+2=3 或 2m +m=3.
2 2

11

当 m+2=3,即 m=1 时,2m +m=3,此时集合 A 中有重复元素 3, 不符合集合的互异性,舍去; 3 2 当 2m +m=3 时,解得 m=- 或 m=1(舍去), 2 3 1 当 m=- 时,m+2= ≠3,符合题意, 2 2 3 ∴m=- . 2 12. (2017·南阳月考)设全集 U=R, 集合 A={x|y= x -2x-3}, B={y|y=e +1}, 则 A∪B =__________. 答案 (-∞,-1]∪(1,+∞) 解析 因为 A={x|x≥3 或 x≤-1},B={y|y>1}, 所以 A∪B={x|x>1 或 x≤-1}. 13.已知集合 A={x|x -2x+a>0},且 1?A,则实数 a 的取值范围是__________. 答案 (-∞,1] 解析 ∵1?{x|x -2x+a>0},∴1∈{x|x -2x+a≤0},即 1-2+a≤0,∴a≤1. *14.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1?A,且 k+1?A,那么称 k 是 A 的 一个“孤立元”. 给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8}, 由 S 的 3 个元素构成的所有集合中, 不含“孤 立元”的集合共有________个. 答案 6 解析 依题意可知,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”时,这三个元素一 定是连续的三个自然数.故这样的集合共有 6 个. *15.已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B=(-1,n), 则 m=________,n=________. 答案 -1 1 解析 A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5<x<1}, 由 A∩B=(-1,n),可知 m<1, 则 B={x|m<x<2},画出数轴,可得 m=-1,n=1.
2 2 2 2

2

x

12


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